◇ 吉林 于興君

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)或代數(shù)式的最值問題是各類考試中比較常見的題型，也是高考中的重要考點(diǎn).此類問題難度不小，但破解方法較多，常見的方法有基本不等式法、待定系數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法、換元法、柯西不等式法等.本文結(jié)合一道二元代數(shù)式的最值問題來加以實(shí)例剖析，結(jié)合多維視角切入.

題目已知正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，則的最大值為.

角度1基本不等式法

解法1由于正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，所以

角度2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)法

解法2由于正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，則有a＝1－b(0＜b＜1)，那么0＜b＜1，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知fmax(b)＝此時(shí)

角度3換元法

解法3由于正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，可設(shè)a＝所以

角度4柯西不等式法

解法4由于正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，所以

角度5因式分解法

解法5由于當(dāng)x 為正數(shù)時(shí)，(2x－1)2≥0，則4x2－4x＋1≥0，即4x2＋5x＋1≥9x，(x＋1)(4x＋1)≥9x，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

角度6三角換元法

解法6由于正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，設(shè)a＝所以

當(dāng)且僅當(dāng)sin22α＝1，即時(shí)，等號(hào)成立.

角度7導(dǎo)數(shù)法

解法7由于正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，則a＝1－b(0＜b＜1)，那么則令f′(b)＝0，即解 得所以fmax(b)＝此時(shí)