筅四川省瀘縣教研室　金　俊

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新舊人教版“有理數(shù)的乘法”教材比較分析

筅四川省瀘縣教研室金俊

新人教版教材（2012年6月第1版，以下簡稱新教材）在“有理數(shù)的乘法”這一節(jié)內(nèi)容的編排上與舊人教版（2007年3月第3版，以下簡稱舊教材）有很大的區(qū)別，可以說是“另起爐灶”完全不同.現(xiàn)就新舊兩個版本的教材內(nèi)容加以比較分析.

一、導(dǎo)入語的變化

舊教材的導(dǎo)入語是“我們已經(jīng)熟悉正數(shù)及0的乘法運算，引入負數(shù)以后，怎樣進行有理數(shù)的乘法運算呢？”

新教材的導(dǎo)入語是“我們已經(jīng)熟悉正數(shù)及0的乘法運算，與加法類似，引入負數(shù)后，將出現(xiàn)3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）這樣的乘法.該怎樣進行這一類的運算呢？”

新教材增加了“與加法類似”，一方面，從學(xué)生已有的知識、經(jīng)驗入手找到了新知識的“生長點”，學(xué)生易理解、接受；另一方面，也向?qū)W生滲透了“類比”的數(shù)學(xué)思想方法.

新教材將舊教材籠統(tǒng)的“有理數(shù)的乘法運算”具體為“3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）”等乘法算式，更具體，目標(biāo)更明確.且一個式子代表一種類型：3×（-3）代表正數(shù)乘負數(shù)，（-3）×3代表負數(shù)乘正數(shù)，（-3）×（-3）代表負數(shù)乘負數(shù).

二、法則探索過程的變化

1.舊教材

如圖1，一只蝸牛沿直線爬行，它現(xiàn)在的位置恰在直線l上的點O.

圖1

（1）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？

（2）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？

（3）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？

（4）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？

為區(qū)分方向，我們規(guī)定：向左為負，向右為正，為區(qū)分時間，我們規(guī)定：以前為負，以后為正.

（1）3分后蝸牛應(yīng)在l上點O右邊6cm處（圖2），這樣可以表示為（+2）×（+3）=+6；①

圖2

（2）3分后蝸牛應(yīng)在l上點O左邊6cm處（圖3），這樣可以表示為（-2）×（+3）=-6；②

圖3

（3）3分前蝸牛應(yīng)在l上點O左邊6cm處（圖4），這樣可以表示為（2）×（-3）=-6；③

圖4

（4）3分前蝸牛應(yīng)在l上點O右邊6cm處（圖5），這樣可以表示為（-2）×（-3）=6.④

圖5

觀察①～④式，根據(jù)你對有理數(shù)乘法的思考，填空：

正數(shù)乘正數(shù)積為______數(shù)；

負數(shù)乘正數(shù)積為______數(shù)；

正數(shù)乘負數(shù)積為______數(shù)；

負數(shù)乘負數(shù)積為______數(shù)；

乘積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的______.

有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.

任何數(shù)與0相乘，都得0.

……

由上可知，舊教材借助數(shù)軸，通過蝸牛在直線上運動的實例來研究有理數(shù)的乘法.書中研究了4個問題：第一個問題，正數(shù)與正數(shù)相乘，用以前所學(xué)的知識容易理解；第二個問題，類比有理數(shù)加法的講法，向右為正，向左為負，不難得出負數(shù)與正數(shù)相乘的結(jié)果；第三個問題，不僅規(guī)定了向右為正向左為負，還規(guī)定了以前為負以后為正，這是一個關(guān)鍵點，學(xué)生比較難理解；第四個問題，有了第三個問題作鋪墊，繼續(xù)第三個問題的思路，第四個問題就比較好理解了.

縱觀舊教材有理數(shù)乘法的探索過程，它的優(yōu)點是：用蝸牛在直線上運動的實例來研究有理數(shù)的乘法，化抽象為直觀，非常符合初一學(xué)生的年齡特征和認知特點.它的不足有：一是規(guī)定多.如規(guī)定“向右為正，向左為負，以前為負，以后為正”，有學(xué)生提出“為什么不直接規(guī)定出有理數(shù)的乘法法則”.二是頭緒多.一會兒向右，一會兒向左，一會兒現(xiàn)在以前，一會兒現(xiàn)在以后，容易把學(xué)生搞糊涂.三是法則的得出牽強附會，說服力不足.分別只用了一個式子就得出“正數(shù)乘正數(shù)積為正數(shù)；負數(shù)乘正數(shù)積為負數(shù)；正數(shù)乘負數(shù)積為負數(shù)；負數(shù)乘負數(shù)積為正數(shù)”，編者的用意在于通過實例用不完全歸納法得出有理數(shù)乘法的法則，推理方法是合情推理，但實例太少不足以服人.

2.新教材

思考：觀察下面的乘法算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

3×3=9；

3×2=6；

3×1=3；

3×0=0.

可以發(fā)現(xiàn)，上述算式有如下規(guī)律：隨著后一乘數(shù)逐次遞減1，積逐次遞減3.

要使這個規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立，那么應(yīng)有：

3×（-1）=-3；

3×（-2）=_______；

3×（-3）=_______.

思考：觀察下面的算式，你又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

3×3=9；

2×3=6；

1×3=3；

0×3=0.

可以發(fā)現(xiàn)，上述算式有如下規(guī)律：隨著前一乘數(shù)逐次遞減1，積逐次遞減3.

要使上述規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立，那么你認為下面的空格應(yīng)填寫什么數(shù)？

（-1）×3=_______；

（-2）×3=_______；

（-3）×3=_______.

從符號和絕對值兩個角度觀察上述所有算式，可以歸納為：正數(shù)乘正數(shù)，積為正數(shù)；正數(shù)乘負數(shù)，積是負數(shù)；負數(shù)乘正數(shù)，積也是負數(shù).積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.

思考：利用上面歸納的結(jié)論計算下面的算式，你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？

（-3）×3=_______；

（-3）×2=_______；

（-3）×1=_______；

（-3）×0=_______.

可以發(fā)現(xiàn)，上述算式有如下規(guī)律：隨著后一乘數(shù)逐次遞減1，積逐次遞減3.

按照上述規(guī)律，下面的空格可以各填什么數(shù)？從中可以歸納出什么結(jié)論？

（-3）×（-1）=_______；

（-3）×（-2）=_______；

（-3）×（-3）=_______.

可以歸納出結(jié)論：負數(shù)乘負數(shù)，積為正數(shù)，乘積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.

一般地，有理數(shù)的乘法法則為：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數(shù)與0相乘，都得0.

……

可見，新教材對有理數(shù)乘法法則的得出與舊教材完全不一樣，它是通過三個“思考”，從學(xué)生熟悉的正數(shù)和0的乘法運算出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生找規(guī)律，猜想出正數(shù)與負數(shù)相乘，負數(shù)與負數(shù)相乘，負數(shù)與0相乘的運算法則.這樣設(shè)計找準(zhǔn)了新知識的“生長點”，且強調(diào)了新的運算法則是在原有運算規(guī)律仍然成立的基礎(chǔ)上得出來的.

三個“思考”是循序漸進的.第一個思考算式左邊都是3×□的形式，先讓學(xué)生根據(jù)已有知識概括規(guī)律，然后在“要使這個規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立”的引導(dǎo)下，給出3乘一個負數(shù)的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上，后兩個“思考”就可以讓學(xué)生通過模仿獨立解決了.第二個“思考”解決之后，教材進行了小結(jié)，歸納出正數(shù)乘正數(shù)、正數(shù)乘負數(shù)、負數(shù)乘正數(shù)三種情況的結(jié)論.然后通過第三個“思考”，先運用得到的結(jié)論解決（-3）×正數(shù)的問題，得出規(guī)律后，再解決（-3）×負數(shù)的問題，并進一步歸納出“負數(shù)×負數(shù)”的運算結(jié)果.

三、新教材建議

（1）新教材在第一個和第二個“思考”中用“要使上述規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立”的語句，有老師反映在邏輯上講不通，給人的感覺成了不是要去發(fā)現(xiàn)正數(shù)與負數(shù)相乘、負數(shù)與負數(shù)相乘的規(guī)律，而是用正數(shù)與正數(shù)相乘的規(guī)律去硬套正數(shù)與負數(shù)、負數(shù)與負數(shù)的乘法，筆者也有類似的感覺.教材之所以要用這樣的語句是為了強調(diào)有理數(shù)乘法法則其實是一種規(guī)定，給出這種規(guī)定的原則是“使原有的運算律保持不變”，只有這樣才能使數(shù)學(xué)的發(fā)展建立在原有的基礎(chǔ)上.但這樣就導(dǎo)致了邏輯上的不順暢，筆者建議把“要使上述規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立”改為“按照上述規(guī)律”，這樣在邏輯上就比較順暢了.

（2）新教材第一個和第二個“思考”的內(nèi)容編排不科學(xué)，影響了思維的連續(xù)性.以第一個“思考”為例，第一個“思考”的“3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×0=0”與“3×（-1）= -3，3×（-2）=______，3×（-3）=______”之間插入了一段文字，這種編排方式不利于學(xué)生自覺地把上下式子聯(lián)系起來考慮，從而給思維造成了障礙，建議可將中間那段文字放到右半邊，把上下式子靠近.第二個“思考”也可這樣處理.

教材是教學(xué)的材料，教學(xué)設(shè)計必須符合學(xué)生的實際.編得再好的教材，都不可能完全適應(yīng)每個教師、每個學(xué)生，因此教師在教學(xué)中既要尊重教材，但又不能拘泥于教材，要根據(jù)學(xué)生的實際情況靈活處理，大膽地對教材加以整合，這樣的教學(xué)才是最有效的教學(xué).