☉山東省棲霞市教體局教研室　王志進(jìn)

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基于對(duì)稱視角的一題多法的研究

☉山東省棲霞市教體局教研室王志進(jìn)

一、研究一題多法的緣起

一題多法是具有中國特色的數(shù)學(xué)教育成果之一，它在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)及減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)等方面作用巨大.

筆者在長期的實(shí)踐與研究中，深感學(xué)生解題思路匱乏，不少學(xué)生面對(duì)教師或教輔給出的精彩紛呈的巧思妙解，往往產(chǎn)生難以企及的自卑感，因此，破解一題多法產(chǎn)生的密碼，從而讓更多的學(xué)生受益，是數(shù)學(xué)教育者共同面對(duì)的難題，也是筆者長期研究的課題.

本文研究的范圍僅限于某一知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)的、教師在教學(xué)中可操作的、學(xué)生便于掌握的一題多法，研究策略是基于對(duì)稱視角下，對(duì)這些眼花繚亂的解法之間關(guān)系的揭示與梳理，從而揭示一題多法自然產(chǎn)生的密碼.

二、探索一題多法的歷程

圖1

筆者見過不少專著、論文等文獻(xiàn)探索一題多法的成因，下面的三個(gè)案例引起了筆者的注意.

案例1如下所示.

例1如圖1，在△ABC中，AC= BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.

（1）已知CD=4cm，求AC的長；

（2）求證：AB=AC+CD.

反思：這是山教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊第128頁的一個(gè)例題，也是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)經(jīng)典題型——求線段之和的問題，課本上的解法很顯然是截長法.有經(jīng)驗(yàn)的老師會(huì)補(bǔ)充另一種解法：補(bǔ)短法.

截長與補(bǔ)短，它們之間是怎樣的關(guān)系呢？它們之間的這種關(guān)系能引發(fā)我們對(duì)一題多法產(chǎn)生怎樣的思考呢？

案例2如下所示.

上海教師進(jìn)修學(xué)校的孫琪斌老師早在20多年前就發(fā)現(xiàn)有一類題目的證明方法時(shí)常成對(duì)出現(xiàn)！并于2009年和2010年兩次在《上海中學(xué)生報(bào)》（中招周刊）分別撰文《從一個(gè)有趣的證法成對(duì)說起》（例2）和《再談“證法成對(duì)出現(xiàn)”》（例3），利用平行線構(gòu)造A型或X型基本圖解決問題的方法成對(duì)出現(xiàn)，即過圖中的每個(gè)點(diǎn)都存在兩種利用平行線構(gòu)造A型或X型基本圖的解題方法.

例2（2009年山東濰坊）已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC.取AB的中點(diǎn)F，連接FD交AC于點(diǎn)E（如圖2）.

圖2

（2）若AB=a，F(xiàn)B=EC，求AC的長.

反思：孫琪斌老師利用自己發(fā)現(xiàn)的成對(duì)理論，引導(dǎo)學(xué)生分別過A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)點(diǎn)都可以作兩條平行線，共得到十二種解法，

例3（2010年上海）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°.半徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，連接DE并延長，與線段BC的延長線交于點(diǎn)P.

圖3

（1）當(dāng)∠B=30°時(shí)，連接AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

反思：2010年上海市初中畢業(yè)統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)卷第25題中第二、三問也屬于這類“證法成對(duì)出現(xiàn)”的范疇.引導(dǎo)學(xué)生分別過A、B、C、D、E、P六個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)點(diǎn)都可以作兩條平分線，共得到十二種解法.

案例3如下所示.

列方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生列一個(gè)方程都很難，又怎能實(shí)施一題多法呢？特級(jí)教師孫維剛發(fā)現(xiàn)列方程的一個(gè)絕招：選擇題目中的任意一個(gè)量，然后用兩種方式加以表達(dá)，并用等號(hào)連接，即可以得到方程！

反思：題中的任何一個(gè)量既然都可以用兩種方式表達(dá)，那么這些量之間存在著怎樣的關(guān)系？

這三個(gè)案例都能夠形成一題多法，它們的關(guān)鍵詞分別是“截長與補(bǔ)短”“過任意一個(gè)點(diǎn)都可以作兩條平行線，證法成對(duì)出現(xiàn)”“任意一個(gè)量用兩種方式加以表達(dá)”！筆者隱隱約約覺得它們之間有著不可言喻的共性.那么這個(gè)共性到底是什么呢？應(yīng)該如何來描述呢？

筆者想到了用“對(duì)稱”這個(gè)詞來描述一題多法成因的內(nèi)核，對(duì)稱不是指數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科上的定義，而是指廣義的對(duì)稱性，即指我們關(guān)注的研究對(duì)象在解題中的地位相同、功能相似.對(duì)稱不僅是指已知條件之間的對(duì)稱，也可以指結(jié)論之間的對(duì)稱及解法之間的對(duì)稱.

比如，在案例1中線段和的問題，截長與補(bǔ)短在解題中地位一樣，由截長聯(lián)想到補(bǔ)短，能截長就一定能補(bǔ)短，反之，能補(bǔ)短就一定能截長；在案例2中，題目中出現(xiàn)的六個(gè)點(diǎn)的地位一樣，能過其中一點(diǎn)作平行線，就能過另一點(diǎn)作平行線，能過其中一點(diǎn)作某一方向的平行線，就能過該點(diǎn)作另一方向的平行線；在案例3中，我們可以把其中任意一個(gè)量用兩種方式加以表達(dá)，并用等號(hào)連接得到方程.這都是對(duì)稱思想的具體體現(xiàn).

例4一艘輪船順?biāo)叫?0千米所用的時(shí)間與逆水航行30千米所用的時(shí)間相同，若水流速度為3千米/時(shí)，求輪船在靜水中的速度.

分析1：本題是數(shù)學(xué)中常見的題型——行程問題，根據(jù)我們解題經(jīng)驗(yàn)的積累，常常是求誰設(shè)誰.

分析2：我們知道，與速度有關(guān)的量共有四個(gè)：順?biāo)俣?、逆水速度、靜水速度和水流速度，而水流速度是已知的，另外三個(gè)量都是未知的，所以我們認(rèn)為順?biāo)俣?、逆水速度、靜水速度這三個(gè)量之間應(yīng)該是對(duì)稱的，所以也可以采取如下未知數(shù)的設(shè)法.

分析3：我們知道行程問題中有三個(gè)重要的條件：路程、時(shí)間、速度.由于路程已知，所以速度和時(shí)間就是對(duì)稱的，當(dāng)我們設(shè)速度為未知數(shù)時(shí)，同樣也可以設(shè)時(shí)間為未知數(shù).因?yàn)轫標(biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度，所以順?biāo)俣?逆水速度=2×水流速度.

分析4：我們利用對(duì)稱的思想探究了未知數(shù)設(shè)法的多樣性，從而形成了一題多法.由于應(yīng)用題的求解一般是按照審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答“六字訣”進(jìn)行的，所以我們預(yù)測應(yīng)用題的求解這六個(gè)步驟之間也是對(duì)稱的！

列方程實(shí)際上就是運(yùn)用算兩次的思想，把題中的一個(gè)量用兩種方法表示即可！由于題目中涉及的量共七個(gè)：順?biāo)烦?、逆水路程、時(shí)間、順?biāo)俣?、逆水速度、水流速度、靜水速度.根據(jù)對(duì)稱性的理論，我們預(yù)測每一個(gè)量都可以用兩種方式來表示.

我們設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，則輪船在順?biāo)械乃俣葹椋▁+3）千米/時(shí)，輪船在逆水中的速度為（x-3）千米/時(shí)為例來說明這個(gè)問題，我們還可以列出下面的方程：

我們設(shè)輪船在靜水中的速度為未知數(shù)，就有法1、法5～法12共9種解法，我們還可以設(shè)順?biāo)俣取⒛嫠俣然驎r(shí)間為未知數(shù)，這樣共計(jì)形成36種解法的龐大解法體系，讓我們再一次領(lǐng)略了基于對(duì)稱性理論指導(dǎo)下產(chǎn)生一題多法的巨大威力.

例5已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分線AD 交BC邊于點(diǎn)D.求證：AC=AB+BD.

分析：這是初中數(shù)學(xué)常見的截長補(bǔ)短的題型，這個(gè)題目比例1更具一般性，因此，筆者選用本題實(shí)施對(duì)稱思想下的一題多法的實(shí)踐.

本題主要的解法就是兩大類：截長與補(bǔ)短，這兩大類解法之間就充分體現(xiàn)了對(duì)稱的思想.

第一類：截長法（共四種方法）.

法1：最常見的解法就是在AC上截取AE=AB，連接DE，然后證明BD=CE（如圖4）.

圖4

圖5

分析1：法1中，我們是在AC上截取AE=AB，根據(jù)對(duì)稱的思想，我們能否在AC上截取AE=BD，然后證明AB= CE？所以產(chǎn)生法2.

法2：在AC上截取AE=BD，然后作∠ABC的平分線BM，交AD于M點(diǎn)，過B點(diǎn)作BN∥AM且BN=AM，連接AN、NE，過E點(diǎn)作EF∥BN，交BC于點(diǎn)F，最后證明AB=CE（如圖5）.這種截長法思路行得通，要證明比較復(fù)雜，圖中眾多的輔助線可以說明證明過程的艱辛.

分析2：法1和法2是從A點(diǎn)開始截取，根據(jù)對(duì)稱性，我們能否從C點(diǎn)開始截取呢？

法3：在AC上截取CE=BD，然后證明AB=AE（如圖6）.（法3也等價(jià)于作線段DC的垂直平分線，與線段AC交于E點(diǎn)）

圖6

圖7

分析3：根據(jù)對(duì)稱性結(jié)合法3，我們能否在AC上截取CE=AB，然后證明AE=BD？

法4：在AC上截取CE=AB，然后過D作DF∥AE且DF= AE，連接EF、FC，再證明BD=AE（如圖7）.

第二類：補(bǔ)短法（共六種方法）.

分析4：我們可以猜測，截長與補(bǔ)短在地位上、功能上是一樣的，據(jù)此，我們展開補(bǔ)短法的探究.

法5：延長AB到E，使BE=BD，連接DE，然后證明AE= AC（如圖8）.

圖8

圖9

分析5：法5中，我們是延長AB到E，根據(jù)對(duì)稱性，我們能否延長BA到E，使AE=BD，然后證明BE=AC？

法6：延長BA到E，使AE=BD，然后過B點(diǎn)作BF∥AD 且BF=AD，連接AF、EF，然后證明BE=AC（如圖9）.

分析6：法6是過B點(diǎn)作BF∥AD且BF=AD，根據(jù)對(duì)稱性，我們能否在線段BE的另一個(gè)端點(diǎn)E作輔助線呢？

法7：延長BA到E，使AE=BD，然后過E點(diǎn)作EF∥AD 且EF=AD，連接BF、DF，然后證明BE=AC（如圖10）.（需要說明的是F點(diǎn)可能在線段AC上，也可能在線段AC的上方或下方，這并不影響證明的可行性）

圖10

圖11

分析7：法5是延長線段AB，法6、法7是延長線段BA，我們能否延長線段DB呢？

法8：延長DB到E，使BE=AB，連接AE，然后證明DE= AC（如圖11）.

分析8：法8中，是從線段BD的B點(diǎn)向左延長，我們能否從線段BD的D點(diǎn)向右延長呢？

法9：延長BD到E，使DE=AB（實(shí)際上是截取），然后過E點(diǎn)作EF∥AD且EF=AD，連接BF、AF，最后證明BE= AC（如圖12）.（需要說明的是E點(diǎn)可能與C點(diǎn)重合，也可能在點(diǎn)C的左邊或右邊，這并不影響證明的可行性）

圖12

圖13

分析9：法9中，是在線段BC的上方作輔助線，我們能否在線段BC的下方作輔助線呢？

法10：延長BD到E，使DE=AB（實(shí)際上是截?。?，然后過B點(diǎn)作BF∥AD且BF=AD，過C點(diǎn)作CG∥BF且CG=BF，連接FD、DG、EF、FG，DG、EF相交于點(diǎn)O，最后證明BE= AC（如圖13）.（需要說明的是E點(diǎn)可能與C點(diǎn)重合，也可能在點(diǎn)C的左邊或右邊，這并不影響證明的可行性）

第三類：從角出發(fā)（共有四種方法）.

觀察前面的10種解法，都是首先基于線段長度的思考，我們知道線段的長和角是度量圖形數(shù)量關(guān)系的兩種根據(jù)，從廣義的角度來看，這兩種度量關(guān)系也是對(duì)稱的，如果我們從角的角度來看，會(huì)有什么樣的解法呢？

法11：作∠ABC的平分線BE，交AD于點(diǎn)E，然后作DF∥BE交AB的延長線于點(diǎn)F（如圖14），然后證明△AFD≌△ACD.實(shí)際上，這種方法和法5有異曲同工之妙.

圖14

圖15

分析10：法11中，是過D點(diǎn)作DF∥BE交AB的延長線于點(diǎn)F，那么能否過D點(diǎn)作DN∥BM交AC于點(diǎn)N呢？

法12：作∠ABC的平分線BM，交AD于點(diǎn)M，然后作DN∥BM交AC于點(diǎn)N（如圖15），然后證明△ABD≌△AND.實(shí)際上，這種方法和法1、法3有異曲同工之妙.

分析11：法11、法12是針對(duì)∠ABC設(shè)計(jì)的輔助線，分析重要的已知條件∠B=2∠C，從對(duì)稱性的角度思考，我們能否針對(duì)∠C設(shè)計(jì)輔助線解題呢？

法13：作∠ADE=∠ADB，交AC于點(diǎn)E，然后證明△ABD≌△AED（如圖6）.（與法3有異曲同工之妙）

法14：作∠CDE=∠C，交AC于點(diǎn)E，然后證明△ABD≌△AED（如圖6）（與法3有異曲同工之妙）

三、基于對(duì)稱視角的一題多法的再思考

由于版面所限，本文只能選取5個(gè)例題說明對(duì)稱思想指導(dǎo)下的一題多法的研究，根據(jù)上述例題的簡略步驟，我們有如下的思考.

1.根據(jù)對(duì)稱的思想找到添加輔助線的方法，但是解法之間的繁簡程度上是不對(duì)稱的

對(duì)于幾何題目，特別是例5，雖然我們找出了14種方法，而且全部能解，但是根據(jù)添加輔助線的繁雜程度我們可以揣測解題步驟的繁簡程度，比較簡單、常用的是法1、法3、法5、法8、法13、法14，其余都比較復(fù)雜.雖然我們能夠根據(jù)對(duì)稱的思想找到添加輔助線的方法，但是我們發(fā)現(xiàn)它們在解題的繁簡程度上是不對(duì)稱的！筆者認(rèn)為比較簡單的解法往往吻合幾何中條件集中的原則，比較復(fù)雜的解法常常是割裂了已知條件之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

我們可以借助于算法框圖展示一題多法形成的思維過程：

2.對(duì)稱是集知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和智能結(jié)構(gòu)為一體的綜合成因

對(duì)稱性的視角是開啟學(xué)生解題思路之門的鑰匙，它能夠引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成多層次、多角度思考問題的習(xí)慣；全面地應(yīng)用知識(shí)來分析問題、解決問題；培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性、應(yīng)變性和全面性.

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，不要奢望任意選擇一種方法都能解決問題，當(dāng)解題遇到困難時(shí)，應(yīng)該快速聯(lián)想到其他解題思路，從而避免思路誤入死胡同.

3.初生之物其形必丑，臻善臻美需同仁助力

本文涉及幾何和方程等兩類比較常見、簡單、典型的例題，由于版面關(guān)系，刪掉了一個(gè)代數(shù)求值的問題，而對(duì)稱理論廣泛應(yīng)用還需要讀者在深入的基礎(chǔ)上進(jìn)一步體驗(yàn).

本文的研究是拋磚引玉的探索行為，就其成果而言是一個(gè)粗糙的、前瞻性的、成長中的理論，還有很多不完善的地方，比如，條件之間的對(duì)稱性的界定，對(duì)稱性的普適性的研究等.這個(gè)理論還需要我們在解題實(shí)踐中不斷地細(xì)化、完善、發(fā)展.

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