☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院甘肅酒泉第四中學(xué)徐玉慶

高中數(shù)學(xué)必修教材“概率”部分的比較研究

☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院甘肅酒泉第四中學(xué)徐玉慶

概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識的重要載體.本文以人教A版必修教材和北師大版必修教材為例，利用內(nèi)容分析法對兩個(gè)版本中“概率”部分進(jìn)行分析和比較，發(fā)現(xiàn)不同版本的教材對于知識點(diǎn)的講解各有側(cè)重，對于例題和習(xí)題的設(shè)計(jì)也各有風(fēng)格.通過教材的深入比較，也為教材的審定和編寫提供建議.

高中數(shù)學(xué)；內(nèi)容分析；教材比較；概率

一、引言

隨著《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》的頒布，我國的基礎(chǔ)教育課程改革正式拉開了帷幕.教材作為課程改革的核心內(nèi)容，是課程理念和課程目標(biāo)的關(guān)鍵性載體，是教師開展教學(xué)活動(dòng)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要工具，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的的主要手段.“教材編寫是課程改革成功實(shí)施的重要環(huán)節(jié)”［1］.眾所周知，教材由原來的“一綱一本”變?yōu)榱爽F(xiàn)在的“一標(biāo)多本”.然而不同的編寫人員對課程標(biāo)準(zhǔn)有著不同的理解，所以即便是以同一標(biāo)準(zhǔn)作為指導(dǎo)理念編寫出來的教材也存在很多的不同之處.所謂他山之石，可以攻玉.作為教育工作者，通過教材比較來了解不同版本教材的差異和優(yōu)缺點(diǎn)，以便在教學(xué)過程中能夠高屋建瓴、舉重若輕就顯得尤為重要.

概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識的重要載體.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確提出：隨機(jī)現(xiàn)象在日常生活中隨處可見，概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，它為人們認(rèn)識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的辦法，同時(shí)為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ).因此，概率的基礎(chǔ)知識已經(jīng)成為一個(gè)未來公民的必備知識.［2］為此，本研究通過對當(dāng)前適用范圍較廣、影響力較大的兩套教材——人民教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（A版）》（后簡稱“人教A版”）和北京師范大學(xué)出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》（后簡稱“北師大版”）中必修部分“概率”內(nèi)容的比較，以小見大，以期對一線教師和地方各級教育部門在教材的選擇和使用上提供一定的幫助.

二、文獻(xiàn)綜述

目前，國內(nèi)外有眾多文獻(xiàn)研究高中數(shù)學(xué)“概率”.這些研究主要從以下幾個(gè)方面展開：其一，從教材編排的結(jié)構(gòu)的角度，主要研究“概率”與其他知識點(diǎn)在內(nèi)容結(jié)構(gòu)上的銜接問題；其二，從教材中數(shù)學(xué)史的角度，主要從“概率”的發(fā)展歷史、引入方式、呈現(xiàn)視角、信息載體、數(shù)學(xué)故事的角度展開研究；其三，從例題和習(xí)題的難易程度的角度，主要利用史寧中和鮑建生建立的難度模型對例題和習(xí)題進(jìn)行比較；其四，從學(xué)生理解的角度，主要研究“概率”概念和公式的理解和推導(dǎo).目前，教材比較中以內(nèi)容分析法的文獻(xiàn)并不是很多，研究者對另個(gè)版本中“概率”部分通過內(nèi)容分析法和難度模型比較法進(jìn)行分析.

三、研究方法

臺灣學(xué)者歐用生認(rèn)為，內(nèi)容分析法就是透過量化的技巧以及質(zhì)性的分析，以客觀及系統(tǒng)的態(tài)度，對文本內(nèi)容進(jìn)行研究與分析，借以推論產(chǎn)生該項(xiàng)內(nèi)容的環(huán)境背景及其意義的一種研究方法.對于教材內(nèi)容的分析與研究，依教材內(nèi)容的范圍區(qū)分大致可分為三類：以某一教育概念為主軸，對相關(guān)學(xué)科的教材內(nèi)容進(jìn)行分析；對單一學(xué)科教材的內(nèi)容進(jìn)行分析；對單一學(xué)科教材的內(nèi)容中某一重要主題之內(nèi)容進(jìn)行分析.本文通過對兩個(gè)版本“概率”部分的主要內(nèi)容、主要欄目、主要概念的呈現(xiàn)方式、例習(xí)題的數(shù)量、類型、難度方面進(jìn)行具體的分析.

四、研究結(jié)果

（一）主要內(nèi)容比較

教材中的主要內(nèi)容是指在整個(gè)章節(jié)中起支撐作用的知識.人教A版和北師大版高中必修教材“概率”部分內(nèi)容均在必修3的第三章，都是以前面所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識為鋪墊的.下面通過表格（見表1）來分析比較兩版本教材必修部分中概率一章的主要內(nèi)容：

表1：主要內(nèi)容的比較

由表1不難發(fā)現(xiàn)：人教A版在這部分的知識處理上較詳盡完備，這表明人教A版更加注重知識點(diǎn)的系統(tǒng)性和整體性，北師大版在知識點(diǎn)的處理上也較完備.兩個(gè)版本在知識點(diǎn)含量上存在不同，人教A版所含的概念和定理比較多，同時(shí)拓展的知識點(diǎn)也相對較多，例如，決策中的概率，天氣預(yù)報(bào)中的概率，遺傳機(jī)理中的概率.這些內(nèi)容都和我們的現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系，同時(shí)也為學(xué)習(xí)物理、化學(xué)、生物學(xué)科更好地服務(wù)；而北師大版所含的知識容量相對較少.編排理念上基本相同，都是先給出概率的定義，然后是概率在現(xiàn)實(shí)生活的具體實(shí)例，最后是古典概型和幾何概型.兩個(gè)版本必修部分的“概率”主體內(nèi)容基本相同，都包含了“隨機(jī)事件的概率”、“古典概型”、“幾何概型”這三大塊的內(nèi)容，并且其中都涉及了大量與生活實(shí)際緊密聯(lián)系的例子，這樣可以很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，同時(shí)兩版本的教材都體現(xiàn)了信息技術(shù)在課堂中的應(yīng)用，如均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生.但在細(xì)微之處還是存在些許差別.比如北師大版中的“幾何概型”并沒有像人教A版那樣在“古典概型”的基礎(chǔ)上比較直接地給出，而是在第三節(jié)“模擬方法——概率的應(yīng)用”這一節(jié)中作為概率的一個(gè)應(yīng)用——求不規(guī)則圖形的近似面積而引出“幾何概型”的，這一概念引入方式的不同實(shí)則是因?yàn)橄啾戎氯私藺版教材更注重按照邏輯順序展開教學(xué)，教材普遍采用“逐級遞進(jìn)，螺旋上升”的做法，而北師大版教材更注重采用遵循人的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律來組織教學(xué).又如，人教A版教材在編寫的過程中滲透了數(shù)學(xué)史的知識——孟德爾的簡介、貝努利的簡介和蒙特卡羅方法的簡介，這有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神［5］，這恰恰體現(xiàn)了新課標(biāo)對學(xué)生的要求.兩個(gè)版本的教材都注重知識和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，通過現(xiàn)實(shí)生活中真實(shí)事件發(fā)生的概率解釋概率的使用性，這充分展示了課程標(biāo)準(zhǔn)中“讓學(xué)生學(xué)有用的數(shù)學(xué)”的理念，而不是單一的呈現(xiàn)概率的概念和定義.通過比較兩個(gè)版本的知識結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1“概率”的內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖

（二）主要欄目比較

教材欄目的設(shè)置反映了教材編寫的特色，決定著教材的結(jié)構(gòu)以及教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式.現(xiàn)將兩版本教材必修部分“概率”內(nèi)容中的欄目設(shè)置比較如下（見表2）：

表2：主要欄目維度

從表2我們可以清晰地看到：北師大版教材的欄目設(shè)置要比人教A版的欄目設(shè)置更為豐富，并且給人的感覺是層次分明，層層深入，尤其是“抽象概括”這一欄目清楚地羅列了每節(jié)課的重點(diǎn)，更易使讀者把握核心知識點(diǎn)；北師大版教材中“動(dòng)手實(shí)踐”和“探究活動(dòng)”欄目的設(shè)置可以充分地培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，北師大版的本章小結(jié)也比人教A版的章小結(jié)更為細(xì)致全面，它不僅列出了關(guān)鍵知識點(diǎn)，而且列出了學(xué)習(xí)要求和需要注意的問題，這對教師的教和學(xué)生的學(xué)是大有裨益的.北師大版“閱讀理解”欄目中所引用的數(shù)據(jù)都通過注釋標(biāo)注出了數(shù)據(jù)來源，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)據(jù)來源的權(quán)威性.個(gè)人感覺北師大版教材在欄目設(shè)置上略勝一籌.不過人教A版教材也有值得借鑒的地方，教材129頁上面的注釋提到了不要用生日來作為銀行卡密碼，這一提醒會(huì)讓讀者倍感溫馨，體現(xiàn)了教材編寫的人性化.

（三）主要概念導(dǎo)入方式的比較

數(shù)學(xué)概念的導(dǎo)入方式有兩種，分別是概念同化和概念形成.概念同化是指以定義的形式給出概念，由學(xué)生主動(dòng)地與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念相互聯(lián)系、相互作用以領(lǐng)會(huì)它的意義，從而獲得新概念，這種獲得概念的方式叫做概念同化.概念形成是指通過對概念所反映的事物的不同例子中，讓學(xué)生積極主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)屬性，從而形成新概念，這種獲得概念的方式叫做概念形成.［6］

北師大版高中數(shù)學(xué)教材必修3概率一章一共有五個(gè)主要概念，分別是“概率”、“互斥事件”、“古典概型”和“幾何概型”，它們在教材里均是按照概念形成的方式呈現(xiàn)的.人教A版高中數(shù)學(xué)教材必修3概率一章共包含9個(gè)主要概念，分別是“必然事件”、“不可能事件”、“隨機(jī)事件”、“頻數(shù)”、“頻率”、“概率”、“基本事件”、“古典概型”、“幾何概型”，這9個(gè)概念都是采用了概念同化的方法給出，例如：頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的頻率.（頻率=頻數(shù)÷樣本總數(shù)）.人教A版更加注重概率概念的形成過程，注重初高中知識的銜接，學(xué)生已經(jīng)在初中學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件，但是初高中學(xué)生的認(rèn)知水平并不形同，所以在這里重新給出嚴(yán)格的定義是有必要的，有助于學(xué)生理解概率的定義.概念的導(dǎo)入方式采用概念形成好，還是采用概念同化好，這要看學(xué)生的理解水平.其實(shí)概念形成對應(yīng)的思維方式是歸納法，而概念同化則對應(yīng)的是演繹法，前者更接近于人類自發(fā)形成概念的方法，后者是一定水平的人在已有概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新概念的主要方式.因此，在教授此部分教學(xué)內(nèi)容的過程中，教師要充分了解自己學(xué)生的認(rèn)知水平，采用適合他們的概念教學(xué)方法.

（四）例題與習(xí)題的比較與分析

1.課內(nèi)例題習(xí)題的綜合難度比較

根據(jù)鮑建生建立的難度模型，我們計(jì)算出如表2所示的一組題目綜合難度，在這里我們將例題和習(xí)題統(tǒng)稱為“習(xí)題”處理，對于一個(gè)題目中出現(xiàn)的多個(gè)問題，我們按多個(gè)題目處理.

兩種教材“概率”習(xí)題難度的加權(quán)平均

探究背景運(yùn)算推理知識含量綜合難度人教A版2 . 1 0 1 . 3 1 3 . 0 1 2 . 1 0 1 . 9 8 1 0 . 5 0北師大版2 . 1 3 1 . 3 6 3 . 0 2 1 . 9 5 1 . 8 7 1 0 . 3 3

由此我們得到了人教版和北師大版教材“習(xí)題”的綜合難度的五邊形模型：

從圖中可以看出，人教版教材在“推理”、“知識含量”上難度較大，北師大版在“探究”、“運(yùn)算”上難度較大，北師大版在“背景”、“運(yùn)算”兩個(gè)維度較人教版教材的難度高，兩個(gè)版本的教材的綜合難度相差并不是很大，人教A版教材的難度比北師大版教材高0.17，這和人教A版教材的編排方式是一致的.

2.問題形式及數(shù)量比較

人教A版教材習(xí)題的類型有：選擇、填空、解答、舉例、試驗(yàn)、計(jì)算、判斷，北師大版教材習(xí)題的類型有：舉例、解答、判斷、計(jì)算，在習(xí)題類型設(shè)置方面，人教A版比北師大版顯得更為豐富，北師大版教材的習(xí)題主要以計(jì)算題為主，這主要是因?yàn)榇瞬糠謨?nèi)容在考試中主要以計(jì)算題的形式存在.相對于人教A版教材而言，北師大版教材中的每道計(jì)算題設(shè)置的問法更加全面，這可以使學(xué)生更好地區(qū)分每種情況之間的不同，更透徹地理解教材中的知識點(diǎn).

人教A版必修教材“概率”部分共有10道例題52道習(xí)題，北師大版必修教材此部分的共有8道例題64道習(xí)題.通過以上數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)北師大版教材的例、習(xí)題在數(shù)量上略高于人教A版，這可能就是導(dǎo)致北師大版必修教材“概率”部分內(nèi)容占整個(gè)北師大版必修教材的比重（約為7.53%）略高于人教A版相應(yīng)部分內(nèi)容占整個(gè)人教A版必修教材的比重（約為6.27%）的原因.

五、啟示

通過以上比較我們發(fā)現(xiàn)北師大版教材相對于人教A版教材而言因?yàn)槠錂谀吭O(shè)置清晰，知識點(diǎn)明確，這將更