☉江蘇省如皋初級(jí)中學(xué)　季　群

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一道新定義考題的思路突破與教學(xué)思考

☉江蘇省如皋初級(jí)中學(xué)季群

關(guān)注北京市近年來中考數(shù)學(xué)試題的同行應(yīng)該知道，“新定義”把關(guān)題成為地方命題特色，作為一種風(fēng)向標(biāo)考題，北京市各區(qū)、各校各自的期中、期末試卷的把關(guān)題也都把“新定義”考題作為一道必考題.本文選取最近北京海淀區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期末卷上的把關(guān)題，首先展開思路貫通，并圍繞該題給出教學(xué)設(shè)計(jì)，供研討.

一、考題與思路突破

考題：（2015-2016學(xué)年北京海淀區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷，第29題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義直線y=ax+b為拋物線y=ax2+bx的特征直線，C（a，b）為其特征點(diǎn).設(shè)拋物線y=ax2+bx與其特征直線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）.

（1）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）時(shí)，特征點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______.

（2）若拋物線y=ax2+bx如圖1所示，請(qǐng)?jiān)谒o圖中標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的位置.

圖1

（3）設(shè)拋物線y=ax2+bx的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，其特征直線交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），DE∥CF.

①若特征點(diǎn)C為直線y=-4x上一點(diǎn)，求點(diǎn)D及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

思路突破：對(duì)于（1），關(guān)鍵是確定a、b的值，只要把點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，0）、點(diǎn)B的坐標(biāo)（1，3）代入直線y=ax+b的解析式即可求出a、b的值，從而明確特征點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）.

圖2

圖3

圖4

②這是一個(gè)填空題，然而情況較復(fù)雜，要想獲得解答，需要深入思考，主要是a、b的取值范圍不同，有不同的構(gòu)圖需要考慮.

（i）當(dāng)a＜0、b＞0時(shí)，構(gòu)圖（如圖4，注意：點(diǎn)D應(yīng)該在點(diǎn)F的右邊，否則不能符合DE∥CF）.

圖5

（ii）當(dāng)a＞0、b＜0時(shí)，構(gòu)圖（如圖6、圖7）.

圖6

圖7

圖8

圖9

（iii）當(dāng)a＜0、b＜0時(shí)，構(gòu)圖（如圖9），容易發(fā)現(xiàn)，此時(shí)特征點(diǎn)C在第三象限，不符合DE∥CF，故此種情況舍去.

（iv）當(dāng)a＞0、b＞0時(shí)，構(gòu)圖（如圖10）.

圖10

二、解后回顧與賞析

這道新定義考題經(jīng)過以上思路突破獲得了解答，為了避免“入寶山而空返”，下面再給出必要的回顧與賞析.

1.思路貫通的關(guān)鍵

2.數(shù)形結(jié)合的思想

除初始問題并不一定要構(gòu)造出圖形輔助思考，后續(xù)問題都需要構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膱D形輔助思路，在最后一問的四種情況討論時(shí)，更是需要畫出可能的圖形，求解過程中以形助數(shù)、數(shù)形互助的求解策略體現(xiàn)得十分充分，值得認(rèn)真體會(huì).

3.前后呼應(yīng)的設(shè)計(jì)

紅樓夢(mèng)的藝術(shù)特色是“草蛇灰線，伏脈千里”，本題的幾個(gè)設(shè)問充分體現(xiàn)了這一藝術(shù)特色.具體來說，初始問題幫助理解新定義，接下來畫出兩個(gè)交點(diǎn)為后續(xù)第三問研究提供了必要的基礎(chǔ)，防止部分學(xué)生還不能明確兩個(gè)交點(diǎn)的特點(diǎn)；在（3）①中，先給出一個(gè)特例引路，讓點(diǎn)C在直線y=-4x上，幫助學(xué)生確認(rèn)可能的圖像位置，與（2）中的圖像做到一次呼應(yīng)；又啟發(fā)和引導(dǎo)著（3）②研究的路徑與方法，環(huán)環(huán)相扣，漸入佳境，易進(jìn)難出，是一道不可多得的把關(guān)試題.

三、考題的解題教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)想針對(duì)本題開展試題講評(píng)或以該題為例開展解題教學(xué)，以下給出圍繞該考題的解題教學(xué)的簡(jiǎn)要教學(xué)設(shè)計(jì).

環(huán)節(jié)（一）開課階段，熟悉“定義”

給出定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義直線y= ax+b為拋物線y=ax2+bx的特征直線，C（a，b）為其特征點(diǎn).

問題1：當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）時(shí)，求特征點(diǎn)C的坐標(biāo).

追問1：在“問題1”條件下，此時(shí)拋物線y=ax2+bx與其特征直線是否有交點(diǎn)？如果有，寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒有，說明理由.

追問2：設(shè)拋物線y=ax2+bx與其特征直線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）.若拋物線y=ax2+bx如圖1所示，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的位置.

環(huán)節(jié)（二）運(yùn)用“定義”，展開研究

問題2：設(shè)拋物線y=ax2+bx的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，其特征直線交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），DE∥CF.

追問1：當(dāng)a<0、b>0時(shí)，試寫出b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式.

追問2：若特征點(diǎn)C為直線y=-4x上一點(diǎn)，求點(diǎn)D及點(diǎn)C的坐標(biāo).

環(huán)節(jié)（三）變式再練，檢測(cè)反饋

根據(jù)多年來解題教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，如果教師只是滿足于課堂上講解、啟發(fā)或部分追問一些學(xué)生的理解，則很多學(xué)生即使聽懂了，依然不會(huì)做，更不能深刻理解類似的較難試題，這里一個(gè)可行的辦法就是在講解之后，將問題做簡(jiǎn)單的變式改編后安排學(xué)生限時(shí)再練，檢測(cè)反饋，這樣往往能取得較好的教學(xué)效果.限于篇幅，我們不給出變式題，比如將問題中的系數(shù)a、b改成“直線y=mx+n為拋物線y=mx2+nx的特征直線”就是一種可行的簡(jiǎn)單改編，或者把后續(xù)問題的呈現(xiàn)臺(tái)階再次增加，比如在第三問增加“當(dāng)m>0、n>0時(shí)，試寫出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式”等.

四、繼續(xù)思考

參考文獻(xiàn)：

1.肖維松.回到概念：解題教學(xué)的一種取向——以2014年江蘇泰州卷第25題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（7）.

2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

3.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

4.鄧東皋，孫小禮，張祖貴.編.數(shù)學(xué)與文化［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1999.