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        平方根、立方根的區(qū)別和聯(lián)系

        2013-06-20 10:24:34辛賀華
        關(guān)鍵詞:立方根平方根算術(shù)

        辛賀華

        同學(xué)們在學(xué)習(xí)算術(shù)平方根、平方根、立方根的知識時往往感覺很容易,但是在解題時又會出現(xiàn)各種錯誤.為了幫助同學(xué)們更好地學(xué)習(xí),現(xiàn)將知識點歸納如下.

        一、區(qū)別

        1. 定義不同

        平方根:如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫a的平方根或二次方根.即如果x2=a,那么x就叫a的平方根.

        算術(shù)平方根:如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根(規(guī)定:0的算術(shù)平方根是0).

        立方根:如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根.即如果x3=a,那么x叫做a的立方根.

        說明:只有算術(shù)平方根的定義中是“如果一個正數(shù)的平方等于a ”,強調(diào)的是“正數(shù)”,即一個正數(shù)a正的平方根叫做算術(shù)平方根.

        2. 表示方法不同

        平方根用“±”表示,根指數(shù)2可以省略;算術(shù)平方根用“”表示,根指數(shù)2可以省略;立方根用“”表示,根指數(shù)3不能略去,更不能寫成“±”.

        3. 存在的條件不同

        a有平方根的條件:a≥0,因為正數(shù)、零、負數(shù)的平方都不是負數(shù),故負數(shù)沒有平方根和算術(shù)平方根.

        a有立方根的條件:a為全體實數(shù),即正數(shù)、負數(shù)、零均可.

        4. 結(jié)果不同

        算術(shù)平方根:一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個且一定為正數(shù).

        平方根:一個正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù).

        立方根:任何一個數(shù)都有立方根且只有一個立方根,正數(shù)有一個正的立方根,負數(shù)有一個負的立方根 .(特例:0的算術(shù)平方根、平方根和立方根都是0.)

        5. 方根等于本身的數(shù)的個數(shù)不同

        若一個數(shù)的算術(shù)平方根為本身,則這個數(shù)為0或1,有兩個數(shù);若一個數(shù)的平方根為本身,則這個數(shù)為0,只有一個數(shù);若一個數(shù)的立方根為本身,則這個數(shù)為0、1或-1,有三個數(shù).

        二、聯(lián)系

        1. 平方根中包含了算術(shù)平方根,就是說算術(shù)平方根是平方根中的一個,即一個正數(shù)的平方根有一正一負且互為相反數(shù),其中那個正數(shù)就是它的算術(shù)平方根. 如:16的平方根為±4,其中4為16的算術(shù)平方根.

        2. 求一個數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根的運算都是開方運算,開方和乘方互為逆運算.

        3. 所有正數(shù)都有平方根和立方根.

        4. 0的算術(shù)平方根、平方根和立方根都是0.

        三、典型例題

        例1 的平方根為 .

        解析:要知道這個數(shù)的含義,它表示16的算術(shù)平方根,因為42=16,所以16的算術(shù)平方根為4,即=4. 該題就變?yōu)椋?求4的平方根.因為(±2)2=4,故的平方根為±2.

        點評:一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個,一個正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù).正數(shù)a的平方根,表示為±,正數(shù)a 的算術(shù)平方根為.

        例2 n為自然數(shù),則= .

        解析:因為n為自然數(shù),2n為偶數(shù), -1的偶數(shù)次冪為1,即(-1)2n=1,所以==1.

        例3 已知一個正數(shù)的平方根是3x-2和5x+6,則這個數(shù)是 .

        解析:因為正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù),所以(3x-2)+(5x+6)=0,解得x=-.代入3x-2和5x+6,得3x-2=-,5x+6=.由(±)2=,得這個數(shù)是 .

        例4 若x2=(-3)2,y3=(-2)3,求x+y所有可能的值.

        解析:不要被已知條件所迷惑,因為(-3)2=9,即已知條件為x2=9,顯然x為9的平方根,由(±3)2=9,得x=±3.

        由(-2)3=-8,即已知條件為y3=-8,顯然y為-8的立方根, y=-2.

        故x+y可能為:①x+y=3+(-2)=1;

        ②x+y=-3+(-2)=-5.

        點評:一個正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù);任何一個實數(shù)都有立方根且只有一個立方根;正數(shù)有一個正的立方根,負數(shù)有一個負的立方根. (注:0的平方根和立方根都是0.)

        練習(xí):

        1. 下列說法中錯誤的是( ).

        A.是5的平方根

        B.-16是256 的平方根

        C.-15是(-15)2的算術(shù)平方根

        D.±是的平方根

        2. 下列說法中錯誤的是( ).

        A.負數(shù)沒有立方根

        B.1的立方根是1

        C. 的平方根是±

        D.立方根等于它本身的數(shù)有3個

        3. 已知2x+1的平方根是±5,求5x+4的立方根.

        4.如果A=為a+3b的算術(shù)平方根,B=為1-a2的立方根,求A+B的平方根.

        參考答案:1.C;2.A;3.4;4.±1.

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