□王克峰

解絕對(duì)值問題“四策略”

□王克峰

絕對(duì)值不僅是有理數(shù)這一章的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ).下面介紹幾種解絕對(duì)值問題的策略，愿對(duì)同學(xué)們有所幫助.

一、分類討論策略

解析：本題中a，b，c地位對(duì)等，需要分4種情況討論：

（1）a，b，c都大于0時(shí)，

原式=1+1+1=3；

（2）a，b，c兩正一負(fù)時(shí)，

原式=1+1-1=1；

（3）a，b，c兩負(fù)一正時(shí)，

原式=1-1-1=-1；

（4）a，b，c都小于0時(shí)，

原式=-1-1-1=-3.

二、數(shù)形結(jié)合策略

|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.當(dāng)問題涉及距離或大小比較時(shí)，使用數(shù)形結(jié)合的策略可使問題更直觀.

例2已知兩個(gè)有理數(shù)a，b，a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，試比較a，-a，b，-b的大小.

解析：因?yàn)閨a|＞|b|，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，表示數(shù)a的點(diǎn)比表示數(shù)b的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離遠(yuǎn).又a＞0，b＜0，a，-a到原點(diǎn)的距離相等，b，-b到原點(diǎn)的距離相等，可在數(shù)軸上標(biāo)出這4個(gè)點(diǎn)的大致位置，如下圖所示，故-a＜b＜-b＜a.

三、列方程策略

在涉及有關(guān)含絕對(duì)值的字母求值問題時(shí)，可從絕對(duì)值的非負(fù)性著手，運(yùn)用方程的思想求解.

例3已知|2x+y|與|1-y|互為相反數(shù)，則x=______，y=______.

解析：因?yàn)閨2x+y|與|1-y|互為相反數(shù)，所以|2x+y|+|1-y|=0.又因?yàn)閨2x+y|≥0，|1-y|≥0，所以|2x+y|=0，|1-y|=0，得x=-0.5，y=1.

四、特殊值0驗(yàn)證策略

在遇到有關(guān)絕對(duì)值的判斷題和選擇題時(shí)，為了使解題過程更簡(jiǎn)捷，可使用“0的絕對(duì)值是0”“0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)”的特殊性，檢驗(yàn)問題的正確性.

例4下列說法中正確的是（）.

A.有理數(shù)的絕對(duì)值一定是正數(shù).

B.一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，則這個(gè)數(shù)一定是正數(shù).

C.沒有最新的有理數(shù)，也沒有絕對(duì)值最小的有理數(shù).

解析：A、B、C是錯(cuò)誤的.理由如下：因?yàn)?也是有理數(shù)，而0的絕對(duì)值是0，0不是正數(shù)，所以A是錯(cuò)誤的；因?yàn)?的絕對(duì)值等于它本身，而0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，所以B是錯(cuò)誤的；因?yàn)檎龜?shù)的絕對(duì)值是正數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值也是正數(shù)，0的絕對(duì)值是0，0小于一切正數(shù)，所以絕對(duì)值最小的數(shù)是0，所以C是錯(cuò)誤的；而因?yàn)閍為分母，而分母不能為0，所以a≠0.又一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值和它本身的比是1，所以這個(gè)數(shù)只能是正數(shù)，故D是正確的.