□李慶社

小數(shù)軸大作用

□李慶社

數(shù)軸是數(shù)學(xué)中建立數(shù)與形密切聯(lián)系的一座“橋梁”.數(shù)軸的應(yīng)用比較廣泛，借助數(shù)軸，可以解決有理數(shù)中的一些問(wèn)題.

一、求有理數(shù)的值

例1已知數(shù)軸上有兩點(diǎn)A，B，它們分別表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)a，b（其中a＞b），并且A，B兩點(diǎn)間的距離是8，求a，b兩數(shù).

分析：根據(jù)互為相反數(shù)的幾何意義，得出A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置.再根據(jù)“數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大”，正確解決問(wèn)題.

解：根據(jù)相反數(shù)的定義可知，因?yàn)锳，B互為相反數(shù)，所以A，B到原點(diǎn)的距離相等，又因?yàn)樗鼈冎g的距離是8，所以A，B距原點(diǎn)的距離都是4.因?yàn)閍＞b，所以A點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)距原點(diǎn)4個(gè)單位處，B點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)距原點(diǎn)4個(gè)單位處，所以a=4，b=-4.

點(diǎn)評(píng)：若此題沒(méi)有指明條件是a＞b，則要分兩種情況進(jìn)行討論，即a＞b或a＜b時(shí)，分別求出a，b的值.

二、比較大小

例2有理數(shù)a，b，c的位置如圖1所示，試確定下列各組數(shù)之間的大小關(guān)系.

圖1

（1）a與b；（2）-a與-b；

（3）-b與c；（4）-a與c；

（5）a與-c；（6）b與-c.

分析：把a(bǔ)，b，c的相反數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，根據(jù)“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總是比左邊的大”，我們就可以比較出以上各組數(shù)的大小.

解：把-a，-b，-c在數(shù)軸上表示出來(lái)，如圖2所示，

圖2

由圖可知：

（1）a＜b；（2）-a＞-b；

（3）-b＜c；（4）-a＞c；

（5）a＜-c；（6）b＞-c.

例3有理數(shù)a，b滿足a＞0，b＜0且|a|＜|b|，用“＞”將a，b，-a，-b排列起來(lái).

分析：要比較a，b，-a，-b的大小，可以在數(shù)軸上找到表示這4個(gè)數(shù)的點(diǎn)的位置.因?yàn)閨a|＜|b|，故表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離比表示數(shù)b的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離要近，再根據(jù)“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等”這一性質(zhì)，在數(shù)軸上找出表示a，b，-a，-b的位置，即可知它們的大小.

解：將a，b，-a，-b在數(shù)軸上的位置表示出來(lái)，如圖3所示，由圖可知-b＞a＞-a＞b.

圖3

點(diǎn)評(píng)：借助數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可使問(wèn)題化難為易.

三、判斷符號(hào)

例4有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖4所示，則在a+b，b-2a，|b|-|a|，|a-b|，-|a+2|，b-2中負(fù)數(shù)共有______個(gè).

圖4

分析：本題為填空題，但直接推理較復(fù)雜，可以結(jié)合數(shù)軸信息，采用特殊值法來(lái)解決.

解：由于a在-2和-1之間，b在0和1之間，而a，b分別取各自區(qū)間的任何數(shù)都不會(huì)改變上述各式的符號(hào).不妨設(shè)，分別代入上面各式，即得a+b=-1＜0，，故上面各式中負(fù)數(shù)共有4個(gè).

四、化簡(jiǎn)求值

例5 a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)如圖5所示，化簡(jiǎn)|a-b|-|a|+|b|+|a+b|.

圖5

分析：本題可以直接觀察數(shù)軸來(lái)得到所需要的信息.

解：觀察數(shù)軸可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|.

∴a-b＜0，a+b＜0.

∴|a-b|=b-a，

|a+b|=-（a+b）.

∴原式=b-a+a+b-ab=b-a.

例6有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖6所示，試化簡(jiǎn)|a+c|-|a+b+c|-|b-a|+|b+c|.

圖6

分析：結(jié)合數(shù)軸先判定a+c，a+b+c，b-a，b+c的正負(fù)，然后去絕對(duì)值符號(hào)、合并.

解：觀察數(shù)軸知a+c＜0，a+ b+c＜0，b-a＜0，b+c＜0.

則原式=-（a+c）+（a+b+ c）+（b-a）-（b+c）

=-a-c+a+b+c+b-a-b-c

=-a+b-c.

點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的代數(shù)式，首先應(yīng)結(jié)合數(shù)軸，判斷出絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)，再去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后合并同類(lèi)項(xiàng).

五、求距離

例7一跳蚤在一直線上從O點(diǎn)開(kāi)始，第1次向右跳1個(gè)單位，緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，第3次向右跳3個(gè)單位，第4次向左跳4個(gè)單位，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第100次落下時(shí)，落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是_______個(gè)單位.

分析：將跳蚤跳動(dòng)的次數(shù)與位置借助數(shù)軸來(lái)表示即可解決問(wèn)題.

圖7

解：將跳蚤跳動(dòng)的次數(shù)與位置借助數(shù)軸來(lái)表示，原點(diǎn)向右為正方向，第1次向右跳1個(gè)單位，其位置表示的點(diǎn)為1；緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，其位置表示的點(diǎn)為-1；第3次向右跳3個(gè)單位，其位置表示的點(diǎn)為2；第4次向左跳4個(gè)單位，其位置表示的點(diǎn)為-2，依此規(guī)律跳下去，第n（n≥1）次落地時(shí)，其位置表示的點(diǎn)為，故第100次跳后落下，其位置表示的點(diǎn)為-50，故此時(shí)落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是50個(gè)單位.

點(diǎn)評(píng)：借助數(shù)軸，能發(fā)現(xiàn)跳蚤落點(diǎn)的規(guī)律，可巧妙地求出跳蚤跳第n次落地時(shí)，落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離.