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        小數(shù)軸大作用

        2016-10-15 08:16:12李慶社
        初中生天地 2016年25期
        關(guān)鍵詞:符號(hào)分析

        □李慶社

        小數(shù)軸大作用

        □李慶社

        數(shù)軸是數(shù)學(xué)中建立數(shù)與形密切聯(lián)系的一座“橋梁”.數(shù)軸的應(yīng)用比較廣泛,借助數(shù)軸,可以解決有理數(shù)中的一些問(wèn)題.

        一、求有理數(shù)的值

        例1已知數(shù)軸上有兩點(diǎn)A,B,它們分別表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)a,b(其中a>b),并且A,B兩點(diǎn)間的距離是8,求a,b兩數(shù).

        分析:根據(jù)互為相反數(shù)的幾何意義,得出A,B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置.再根據(jù)“數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù),右邊的總比左邊的大”,正確解決問(wèn)題.

        解:根據(jù)相反數(shù)的定義可知,因?yàn)锳,B互為相反數(shù),所以A,B到原點(diǎn)的距離相等,又因?yàn)樗鼈冎g的距離是8,所以A,B距原點(diǎn)的距離都是4.因?yàn)閍>b,所以A點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)距原點(diǎn)4個(gè)單位處,B點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)距原點(diǎn)4個(gè)單位處,所以a=4,b=-4.

        點(diǎn)評(píng):若此題沒(méi)有指明條件是a>b,則要分兩種情況進(jìn)行討論,即a>b或a<b時(shí),分別求出a,b的值.

        二、比較大小

        例2有理數(shù)a,b,c的位置如圖1所示,試確定下列各組數(shù)之間的大小關(guān)系.

        圖1

        (1)a與b;(2)-a與-b;

        (3)-b與c;(4)-a與c;

        (5)a與-c;(6)b與-c.

        分析:把a(bǔ),b,c的相反數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái),根據(jù)“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總是比左邊的大”,我們就可以比較出以上各組數(shù)的大小.

        解:把-a,-b,-c在數(shù)軸上表示出來(lái),如圖2所示,

        圖2

        由圖可知:

        (1)a<b;(2)-a>-b;

        (3)-b<c;(4)-a>c;

        (5)a<-c;(6)b>-c.

        例3有理數(shù)a,b滿足a>0,b<0且|a|<|b|,用“>”將a,b,-a,-b排列起來(lái).

        分析:要比較a,b,-a,-b的大小,可以在數(shù)軸上找到表示這4個(gè)數(shù)的點(diǎn)的位置.因?yàn)閨a|<|b|,故表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離比表示數(shù)b的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離要近,再根據(jù)“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè),并且到原點(diǎn)的距離相等”這一性質(zhì),在數(shù)軸上找出表示a,b,-a,-b的位置,即可知它們的大小.

        解:將a,b,-a,-b在數(shù)軸上的位置表示出來(lái),如圖3所示,由圖可知-b>a>-a>b.

        圖3

        點(diǎn)評(píng):借助數(shù)軸,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,可使問(wèn)題化難為易.

        三、判斷符號(hào)

        例4有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖4所示,則在a+b,b-2a,|b|-|a|,|a-b|,-|a+2|,b-2中負(fù)數(shù)共有______個(gè).

        圖4

        分析:本題為填空題,但直接推理較復(fù)雜,可以結(jié)合數(shù)軸信息,采用特殊值法來(lái)解決.

        解:由于a在-2和-1之間,b在0和1之間,而a,b分別取各自區(qū)間的任何數(shù)都不會(huì)改變上述各式的符號(hào).不妨設(shè),分別代入上面各式,即得a+b=-1<0,,故上面各式中負(fù)數(shù)共有4個(gè).

        四、化簡(jiǎn)求值

        例5 a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)如圖5所示,化簡(jiǎn)|a-b|-|a|+|b|+|a+b|.

        圖5

        分析:本題可以直接觀察數(shù)軸來(lái)得到所需要的信息.

        解:觀察數(shù)軸可知:a<0,b>0,|a|>|b|.

        ∴a-b<0,a+b<0.

        ∴|a-b|=b-a,

        |a+b|=-(a+b).

        ∴原式=b-a+a+b-ab=b-a.

        例6有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖6所示,試化簡(jiǎn)|a+c|-|a+b+c|-|b-a|+|b+c|.

        圖6

        分析:結(jié)合數(shù)軸先判定a+c,a+b+c,b-a,b+c的正負(fù),然后去絕對(duì)值符號(hào)、合并.

        解:觀察數(shù)軸知a+c<0,a+ b+c<0,b-a<0,b+c<0.

        則原式=-(a+c)+(a+b+ c)+(b-a)-(b+c)

        =-a-c+a+b+c+b-a-b-c

        =-a+b-c.

        點(diǎn)評(píng):化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的代數(shù)式,首先應(yīng)結(jié)合數(shù)軸,判斷出絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式的正負(fù),再去掉絕對(duì)值符號(hào),最后合并同類(lèi)項(xiàng).

        五、求距離

        例7一跳蚤在一直線上從O點(diǎn)開(kāi)始,第1次向右跳1個(gè)單位,緊接著第2次向左跳2個(gè)單位,第3次向右跳3個(gè)單位,第4次向左跳4個(gè)單位,依此規(guī)律跳下去,當(dāng)它跳第100次落下時(shí),落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是_______個(gè)單位.

        分析:將跳蚤跳動(dòng)的次數(shù)與位置借助數(shù)軸來(lái)表示即可解決問(wèn)題.

        圖7

        解:將跳蚤跳動(dòng)的次數(shù)與位置借助數(shù)軸來(lái)表示,原點(diǎn)向右為正方向,第1次向右跳1個(gè)單位,其位置表示的點(diǎn)為1;緊接著第2次向左跳2個(gè)單位,其位置表示的點(diǎn)為-1;第3次向右跳3個(gè)單位,其位置表示的點(diǎn)為2;第4次向左跳4個(gè)單位,其位置表示的點(diǎn)為-2,依此規(guī)律跳下去,第n(n≥1)次落地時(shí),其位置表示的點(diǎn)為,故第100次跳后落下,其位置表示的點(diǎn)為-50,故此時(shí)落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是50個(gè)單位.

        點(diǎn)評(píng):借助數(shù)軸,能發(fā)現(xiàn)跳蚤落點(diǎn)的規(guī)律,可巧妙地求出跳蚤跳第n次落地時(shí),落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離.

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