■河南省平頂山市第一高級(jí)中學(xué) 劉鄧輝

正、余弦定理將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來,從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積,其外接圓、內(nèi)切圓的半徑和面積等)提供了理論依據(jù),也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)。

在利用正、余弦定理解三角形時(shí),如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí),則兩個(gè)定理要珠聯(lián)璧合,有可能都會(huì)用到。

一、求三角形的基本量

例1(2015·安徽卷)在△ABC中,,點(diǎn)D在BC邊上,AD=BD,求AD的長(zhǎng)。

解：設(shè)△ABC的內(nèi)角∠BAC,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c。

由余弦定理得：

在△ABD中,因 為AD=BD,所 以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B。

例2(2016·四川卷)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且

(1)證明：sinAsinB=sinC；

(2)若b2+c2-a2=,求tanB。

解：(1)根據(jù)正弦定理,可設(shè),則a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC。

變形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)。

在△ABC中,根據(jù)A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC。

所以sinAsinB=sinC。

點(diǎn)評(píng)：利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點(diǎn),也是必考點(diǎn),求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化。其中正弦定理是一個(gè)連比等式,只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的。運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用。

二、解與三角形的面積有關(guān)的問題

例3△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若△ABC的面積S=(b+c)2-a2,則sinA=____。

例4在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的 對(duì) 邊,且

(1)求A；

(2)若△ABC的面積,求sinC的值。

點(diǎn)評(píng)：正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理選用,有時(shí)還需要交替使用。應(yīng)用時(shí)要注意化角法、化邊法、面積法、初等幾何法等方法的靈活運(yùn)用,也要注意體會(huì)其中蘊(yùn)含的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想。

三、正、余弦定理與三角問題的綜合應(yīng)用

例5已知函數(shù)

(1)若x∈,求函數(shù)f(x)的最大值和最小值,并寫出相應(yīng)的x的值；

(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足且sinB=2sinA,求a,b的值。

因?yàn)閟inB=2sinA,所以b=2a。

因?yàn)閏2=a2+b2-2abcosC,所以