龍成芳

(貴州省天柱民族中學)

正弦定理和余弦定理是解三角形的有力工具,也是高考的必考知識點.針對正弦定理和余弦定理的應用進行分析和總結,可以將題型分為已知三角形的部分邊和角解三角形、給出三角形的邊角關系解三角形兩種類型.在解題過程中,有些題目只能使用正弦定理,有些只能使用余弦定理,還有一些可以同時使用正弦定理和余弦定理,也有些題目要先使用正弦定理后使用余弦定理,或者先使用余弦定理再使用正弦定理.解題關鍵在于恰當選擇解題方法,不同的選擇會導致解題難度的不同,甚至可能無法得到準確的結果.因此,本文通過具體分析,指出什么情況下應使用正弦定理,什么情況下應使用余弦定理,這將有助于學生在解決類似問題時選擇合適的方法.

1 已知三角形的部分邊和角

當前的問題類型涉及正弦定理和余弦定理的直接應用,屬于基礎問題.這些問題可分為以下幾種情況:已知兩個角(或三個角)和一條邊、已知兩條邊和一個角、已知三條邊、多個三角形拼接等.接下來對每種情況進行詳細分析.這種分類方式有助于解題者更好地理解問題,并根據(jù)給定信息選擇適當?shù)慕忸}方法.

1.1 已知兩角一邊

例1 (2015年安徽卷文12)在△ABC中,AB＝,A＝75°,B＝45°,則AC＝.

因為A＝75°,B＝45°,所以C＝60°,又AB＝,由正弦定理得,則AC＝2.

對于本題,已知三角形的兩個角和一條邊,選擇使用正弦定理來解決問題.盡管該題也可以使用余弦定理來進行求解,但這種方法相對更復雜,需要聯(lián)立方程組并進行較多的計算.因此,本類型題通過運用正弦定理來求解,可以更簡捷地得到正確答案.

1.2 已知兩邊一角

例2 (2021年全國甲卷文8)在△ABC中,已知

在△ABC中,因 為B＝120°,AC＝,AB＝2,所以由余弦定理得

即19＝22＋BC2＋2BC,即BC2＋2BC－15＝0,解得BC＝3,故選D.

根據(jù)題目已知條件,本題選擇采用余弦定理求解,但是在已知兩邊一角的題型中,要分成兩類,即一類是已知的角是其中已知一邊的對角,若要求第三邊,則直接用余弦定理,若要求角則先用正弦定理求出已知的另外一邊所對的角比較簡單一些;另一類是已知兩邊及夾角,不管先求第三邊還是求角,這種情況先用余弦定理求出第三邊比較簡單,在解題過程中應注意識別題型.

1.3 已知三邊

對本題,已知三角形的三條邊,選擇直接使用余弦定理來解決問題.這種情況是典型的余弦定理應用問題.通過使用余弦定理,我們可以計算出三角形的任意一個角.因此,在已知三角形的三條邊的情況下,直接使用余弦定理是最恰當?shù)姆椒?

1.4 多個三角形拼接

多個三角形拼接問題可以看作前面提到的幾種情況的綜合應用.解決這類問題的關鍵是要先識別各個部分三角形屬于以上三類中的哪一類,這是解題的突破口.通過對各個部分三角形進行分類,可以應用相應的方法進行求解.

例4 如圖1 所示,在△ABC中,角A,B,C所 對的邊分別為a,b,c,已知a＝3,c＝,B＝45°.在邊BC上取一點D,使得求tan∠DAC的值.

圖1

該題屬于多個三角形拼接的情況,解題的關鍵在于采用適當?shù)慕忸}思路.首先,我們需要“兩明確”,即明確要求量所在的三角形,并確定在這個三角形中需要求解的是什么.其次,要明確哪個三角形是完全可以解的,即該三角形中已知的元素符合“兩角一邊”“兩邊一角”或“三邊”的情況.接下來,借助可解的三角形,求出需要求解量所需要的相關元素.最后,根據(jù)解三角形的方法,求出要求的量.

有的實際應用問題也可以看作多個三角形的拼接問題,只是結合了一些具體的物理量或生活情境.通過數(shù)學建模將實際應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,解題思路和方法與該類型題目相同.因此,解決實際應用問題的關鍵也是將問題進行拆解,找出可解的三角形,并依據(jù)相應的解題思路求解所需的量.

2 已知三角形的邊角關系情況

在高考中,解三角形的一種常考題型是已知三角形中的一個或多個邊角關系式,然后在已知的基礎上解該三角形.這類題型主要考查正弦定理和余弦定理,通過對這種題型進行梳理總結發(fā)現(xiàn),三角形的邊角關系方程大致可以分為三類:一是已知三角形三條邊的齊次方程,如a2＋b2＝3ac,或者是關于角的正弦函數(shù)的齊次方程,如sinA＋2sinB＝5sinC;二是已知方程中有三角形角的余弦函數(shù),沒有三角形邊的齊次,如a＋b＝cosC;三是方程中既有邊的齊次式,又有角的余弦函數(shù),如a2＋b2＝accosB.下面結合實際題目,從可以用正弦定理、可以用余弦定理和既可以用正弦定理又可以用余弦定理三種情況進行一一分析.

2.1 用正弦定理的情況

例5 (2023年全國乙卷文4)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若acosB－bcosA＝c,且,則B＝( ).

因為acosB－bcosA＝c,由正弦定理得sinAcosB－sinBcosA＝sinC,又 在△ABC中,因為C＝π－A－B,所以

以上兩個例題,分別體現(xiàn)兩種可以先用正弦定理處理的情況.通過以上兩個例題發(fā)現(xiàn),這類問題也不是想象的那樣復雜,關鍵是看清楚已知:一是題目給出邊的齊次方程(但形如a2＋b2－c2＝nab(－2＜n＜2),a2＋c2－b2＝nac(－2＜n＜2)或b2＋c2－a2＝nbc(－2＜n＜2)的除外)可以先用正弦定理對等式進行處理;二是題目給出角的正弦函數(shù)的齊次方程,則選擇先用正弦定理對方程進行處理,一定要注意是“齊次”方程,否則不能用正弦定理.

2.2 用余弦定理的情況

已知方程中有邊但不齊次,且有角的余弦函數(shù),如a＋b＝cosC,除非告知三角形的外接圓半徑,要不然很明顯是不能先用正弦定理的,所以在對這類問題進行處理時,應該先用余弦定理將角化為邊,再進行運算.當然,還有一種必須弄清楚的是關系式也是邊的齊次方程,形如a2＋b2－c2＝nab(－2＜n＜2),a2＋c2－b2＝nac(－2＜n＜2),或b2＋c2－a2＝nbc(－2＜n＜2),以及以上三種的變形形式,很像余弦定理的形式,這種雖然是三角形的邊的齊次方程,但用余弦定理更直接.

例7、例8均是先用余弦定理,其實仔細觀察可以發(fā)現(xiàn):例7是已知給出的等式不是三角形邊的齊次方程,也不是角的正弦函數(shù)的齊次方程,但是方程中含有三角形的角的余弦函數(shù);例8是給出三角形的邊的齊次,且均為二次方程,但是形如余弦定理形式,特別b2＋c2－a2是余弦定理的部分,可以先用余弦定理解決問題,故解題中先用余弦定理的兩種情況:一是題目出現(xiàn)三角形的角的余弦函數(shù)的方程;二是出現(xiàn)形如及變形形式的方程.

2.3 既可以用余弦定理,又可以用正弦定理的情況

根據(jù)前面情況綜合,既可以用余弦定理,又可以用正弦定理的題型是所給的三角形邊角關系等式中,既是邊的齊次方程又含角的余弦函數(shù),如c＋b＝acosC,則這種題可以先用正弦定理,也可以先用余弦定理.

例9 (2021年北京卷17,節(jié)選)已知在△ABC中,c＝2bcosB,,求B.

根據(jù)例9可知,既可以用正弦定理又可以用余弦定理求解的題型非常明確,即題目中給出的已知條件既有邊的齊次,又有角的余弦函數(shù)的方程或形如及變形形式時,用正弦定理和余弦定理均可,只是選擇的方法不一樣,路徑就不一樣,難易程度也就不一樣.本人認為能用正弦定理的情況,可以優(yōu)先考慮正弦定理,因為正弦定理比余弦定理計算量小一些,可以減少計算導致的失誤.

本文主要針對正弦定理和余弦定理展開探索,對什么情況下用正弦定理、什么情況下用余弦定理進行了具體的分析總結.已知三角形三個元素解三角形,這種題型主要分四種情況:

一是已知兩角(三角)一邊,利用正弦定理解三角形;

二是已知兩邊及夾角,利用余弦定理解三角形;

三是已知三邊,利用余弦定理解三角形;

四是已知兩邊及其中一邊的對角,這種情況要看問題求什么,若要求角,則用正弦定理,若要求第三邊,則用余弦定理.

已知三角形的邊角關系的情況,當題目中出現(xiàn)給出三角形邊的齊次方程、三角形角的正弦函數(shù)的齊次方程這兩種情況時,選擇先用正弦定理.當出現(xiàn)給出三角形的角的余弦函數(shù)的方程、形如及變形形式的方程時,選擇先用余弦定理;當既有邊的齊次或角的正弦函數(shù)的齊次,又有角的余弦函數(shù)或形如及變形形式的方程時,既可以用正弦定理也可以用余弦定理.

在解題過程中,用正弦定理還是余弦定理,本文對各種情況均進行了明確的分析說明,在解題中只要對照情況進行分析就可以明確正弦定理和余弦定理的使用情況,這能大大節(jié)省時間,優(yōu)化解題方法.

(完)