魏 燕

(浙江金華第一中學(xué))

求向量數(shù)量積的最大值與最小值是高考中的熱點問題,經(jīng)常與平面向量的模與夾角等知識綜合考查,題型多種多樣,其中與幾何圖形相結(jié)合的綜合題比較常見.由于部分學(xué)生對各類題型缺乏科學(xué)的練習(xí)和系統(tǒng)的整理,遇到此類問題感覺會無從下手.為此,本文介紹了探求向量數(shù)量積最值問題的幾種方法,供讀者參考.

1 巧設(shè)動點

在一些題目中,已知動點是某條已知曲線上的點(這實際上是給出的一個重要條件),通過巧妙設(shè)出動點,往往可以找到問題的切入點.

如圖1所示,以AB所在的直線為x軸、AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(－1,0),B(1,0),C(－1,－2),又點P在單位圓x2＋y2＝1(y≥0)上運動,所以設(shè)P(cosθ,sinθ).

圖1

圖2

圖3

與圓有關(guān)的最值問題,一般是將圓心設(shè)為坐標(biāo)原點,這樣圓上的動點就可以用圓心角表示,為后面利用三角函數(shù)的有界性解題創(chuàng)造條件.

2 抓住范圍

在解決問題的過程中,經(jīng)常會遇到一些用參數(shù)表示的條件,挖掘并巧妙地利用這些參數(shù)的變化范圍也是求向量數(shù)量積最值問題的常用方法.

在此解法中,利用參數(shù)λ構(gòu)建了向量數(shù)量積的函數(shù)f(λ),然后由參數(shù)的范圍確定了函數(shù)的值域,這樣也就順利求出向量數(shù)量積的最大值了.

3 幾何分析

在探究一些幾何圖形中的向量問題時,要善于抓住其特點,如中點、平行、比例關(guān)系等,這往往就是解題的突破口.

4 引參助解

在求向量數(shù)量積的最值問題時,可以適時地引入?yún)?shù),用參數(shù)將一些變化中的向量表示出來,然后便能運用代數(shù)的方法求解最值問題.

例4 如圖4 所示,在Rt△ABC中,AB＝AC,BC＝4,O為BC的中點,以O(shè)為圓心、1 為 半 徑 的 半 圓 與BC交于點D,P__為半圓上任意一點,求的最小值.

圖4

圖5

在此解法中,通過引入?yún)?shù)t,將待求的向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為一條直線,而需求的最值就是直線與半圓相切的特殊情況下的取值.

5 代數(shù)運算

在解決向量數(shù)量積最值問題時,有時會用到二次函數(shù)、三角函數(shù)、基本不等式等知識求解.

例5 如圖6 所示,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點,M是直線DE上的動點.若△ABC的面積為2,求2的最小值.

圖6

因為D,E分別是AB,AC的中點,所以點M到BC的距離是點A到BC的距離的一半,又△ABC的面積為2,所以S△MBC＝1.

此解法用一個角將所求的向量數(shù)量積表示出來,這是解決問題的關(guān)鍵.

(完)