■湖北省襄陽(yáng)市田家炳中學(xué) 梁 銳

應(yīng)用一：利用正(余)弦定理解三角形

解析：設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,由余弦定理得:

在△ABD 中,因?yàn)锳D=BD,所以∠ABD=∠BAD,∠ADB=π-2B。

點(diǎn)評(píng):正、余弦定理的應(yīng)用原則:

(1)解三角形時(shí),如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到。

(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷:已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對(duì)角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷。

應(yīng)用二：利用正(余)弦定理判斷三角形形狀

例2 已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的 邊 分 別 為a、b、c,滿 足 tanA=

(2)若a+c=bcosC+3bsinC,試判斷△ABC的形狀。

解析：(1)由余弦定理知得b2+c2-a2=2bccosA。

(2)a+c=bcosC+3bsinC ,由正弦定理知sinA+sinC=sinBcosC+3sinBsinC。

而A=π-(B+C),故sinBcosC +cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinBsinC 。

點(diǎn)評(píng):第一問(wèn)結(jié)合余弦定理,得到角A的三角函數(shù)值從而求出A的大小;第二問(wèn)先由正弦定理得到cosBsinC+sinC=sinBsinC ,再化簡(jiǎn)得到角B,根據(jù)第一問(wèn)求得的A,得到三角相等,可以知道三角形為等邊三角形。

應(yīng)用三：利用正(余)弦定理解決與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題

例3 設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且cosB=,b=2。

(1)若A=30°,求a;

(2)求△ABC面積的最大值。

例4 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b(1-2cosA)=2acosB。

(1)證明:b=2c;

(2)若a=1,tanA=22,求△ABC的面積。

解析：(1)因?yàn)閎(1-2cosA)=2acosB,所以由正弦定理得sinB(1-2cosA)=2sinAcosB,即sinB=2sinAcosB+2cosAsinB=2sin(A+B)=2sinC,故b=2c。

(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化。

方法與規(guī)律小結(jié)

1.三角形中常見(jiàn)的結(jié)論：

(1)A+B+C=π。

(2)在△ABC中,A＞B?a＞b?sin A＞sin B?cos A＜cos B。

(3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊。

(5)在△ABC中,A,B,C成等差數(shù)列的充要條件是B=60°。

(6)△ABC為正三角形的充要條件是A,B,C成等差數(shù)列且a,b,c成等比數(shù)列。

2.判定三角形形狀的兩種常用途徑：

(1)通過(guò)正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷;

(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊,通過(guò)代數(shù)恒等變換,求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷。