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        解三角形常見解題錯(cuò)誤辨析

        2018-09-28 05:54:42四川省巴中中學(xué)特級(jí)教師
        關(guān)鍵詞:鈍角銳角等腰三角

        ■四川省巴中中學(xué) 肖 斌(特級(jí)教師)

        在利用正弦、余弦定理解三角形問(wèn)題時(shí),由于涉及的知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng),許多同學(xué)易出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。下面分類列舉典例、辨析是非、集中警示,旨在幫助同學(xué)們夯實(shí)內(nèi)功、優(yōu)化思維、提高“免疫力”。

        誤區(qū)一:粗心大意、忽視結(jié)論與題設(shè)的相容性,忘記代入檢驗(yàn)致誤

        所以B=45°或B=135°。

        當(dāng)B=45°時(shí),AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=1,此時(shí)AC=1;

        當(dāng)B=135°時(shí),AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=5,此時(shí)AC=。

        辨析:上述解法,貌似無(wú)錯(cuò),殊不知,在審題時(shí)栽了跟頭。事實(shí)上,當(dāng)B=45°時(shí),AC=1,計(jì)算發(fā)現(xiàn)AC2+AB2=12+12=2=BC2,此時(shí)△ABC為直角三角形,不合題意;同理當(dāng)B=135°,求得AC=,符合題意。故本題正確答案為AC=。

        練習(xí)1 △ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos(A-C)+cosB=,b2=ac,求B的大小。

        誤區(qū)二:以偏概全、忽視分類討論致誤

        例2 在△ABC中,A=60°,a=43,當(dāng)此三角形有唯一解時(shí),b滿足的條件是( )。

        圖1

        辨析:錯(cuò)解中實(shí)際上只考慮了B≥A的情形。如果B<A,那么三角形也是有唯一解的。錯(cuò)解正是受圖形影響、以偏概全產(chǎn)生了錯(cuò)誤。

        正解:若B<A,三角形有唯一解,只需0<b<43;

        若B≥A,三角形有唯一解,只需bsinA=bsin60°=3b=a=43或b=a=43,即2 b=8或b=43。

        綜上,0<b≤43或b=8,故選D。

        練習(xí)2 △ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sinC+sin(B-A)=sin2A,則△ABC的形狀為。

        正解:因?yàn)閟inC+sin(B-A)=sin2A,所以sin(B+A)+sin(B-A)=sin2A,整理得sinBcosA=sinAcosA 。當(dāng)cosA ≠0時(shí),則sinB=sinA,由正弦定理得b=a,此時(shí)△ABC為等腰三角形;當(dāng)cosA =0時(shí),則A=π,此時(shí)△ABC為直角三角形。故正確

        2答案是:等腰三角形或直角三角形。

        警示:同學(xué)們?nèi)菀追傅腻e(cuò)誤是:得到sinBcosA=sinAcosA后,兩邊直接約去cosA ,得sinB=sin A,b=a,片面斷定三角形是等腰三角形,不知不覺中漏掉直角三角形的情況。還有一種錯(cuò)誤是:雖然分類討論了,但最后答案卻寫成等腰直角三角形。殊不知,“等腰直角三角形”是“既是等腰三角形又是直角三角形”的含義,與“等腰三角形或直角三角形”有著截然不同的含義。

        誤區(qū)三:忽視三角形中“小邊對(duì)小角,大邊對(duì)大角”隱含關(guān)系致誤

        例3 (2017年高考全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)第15題改編)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=6,c=3,(1)若C=60°,則B=;(2)若B=45°,A=。

        又B=45°,因此A=75°。

        辨析:上述解法,忽視邊b<c,則角B<C的隱含信息。第一問(wèn)求得想當(dāng)然得到B=45°或B=135°,出現(xiàn)增解錯(cuò)誤。第二問(wèn)又沒有注意到角C有兩解,求得后,武斷認(rèn)為C=60°,導(dǎo)致角A只有一解,造成漏解錯(cuò)誤。

        因?yàn)閎<c,所以C>B=45°,C=60°或C=120°,故A=75°或15°。

        警示:在△ABC中,A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB。

        故△ABC是直角三角形。

        警示:解此題同學(xué)們需防范兩類錯(cuò)誤:一是由sin2A=sin2B,貿(mào)然得2A=2B,A=B,故△ABC是等腰三角形;二是雖由sin2A=sin2B,得出A=B或A+B=,但忽視b>a,錯(cuò)誤地判斷△ABC是等腰三角形或直角三角形。

        誤區(qū)四:顧此失彼、忽視進(jìn)一步縮小角的范圍致誤

        例4 (2015年高考湖南卷理數(shù)第17題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=btanA,B為鈍角。

        (2)求sinA+sinC 的取值范圍。

        辨析:上述解法在求解第(2)小題時(shí),對(duì)角A的取值范圍顧此失彼、思考不深入導(dǎo)致錯(cuò)誤。事實(shí)上,求解時(shí)除考慮A為銳角外,還需要考慮C為銳角,即需利用三角形內(nèi)角和定理將角A、C的范圍轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的不等式(組),進(jìn)而縮小角A的范圍,獲得正確答案。

        正解:(1)解題過(guò)程同上。

        練習(xí)4 (由人教A版必修四P138.1題改編)銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若B=3A,則取值范圍是。

        由A+B+C=180°,B=3A,得C=180°-4A。

        因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以A,B,C三個(gè)角均為銳角,即同時(shí)滿足:

        0<A<90°,0<B=3A<90°,0<C=180°-4A<90°。

        解得22.5°<A<30°,所以cos30°<cosA<cos22.5°。

        所以2<4cos2A-1<1+的取值范圍是(2,1+2)。

        警示:這是一道由課本習(xí)題改編的耐人回味的新題,能力要求極高:一是需用正弦定理進(jìn)行邊角互化;二是需用二倍角公式推導(dǎo)三倍角公式(即課本題目);三是需正確詮釋銳角三角形的定義,即三個(gè)內(nèi)角都是銳角求得角A的范圍;四是需用余弦函數(shù)單調(diào)性及降冪公式求出b的取值范圍。全都是核心主a干知識(shí),哪一個(gè)環(huán)節(jié)不過(guò)關(guān),都做不出來(lái)??梢?本題是一道源于教材、高于教材,兼具基礎(chǔ)檢測(cè)與核心素養(yǎng)考查的好題。

        誤區(qū)五:各自為政、忽視制約條件致誤

        例5 △ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=+,C=30°,求a+b的最大值。

        錯(cuò)解:因?yàn)镃=30°,所以B=150°-A。由正弦定理得:

        辨析:錯(cuò)在未弄清A與150°-A之間的關(guān)系,本題A與150°-A是相互制約的,不是相互獨(dú)立的兩個(gè)量,sinA與sin(150°-A)不能同時(shí)取得最大值1,因此所得的結(jié)果也是錯(cuò)誤的。

        正解:因?yàn)镃=30°,所以B=150°-A。

        故當(dāng)且僅當(dāng)A=75°時(shí),a+b的最大值為8+43。

        練習(xí)5 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c已知cosC的值。

        誤區(qū)六:馬失前蹄、忽視三角形的構(gòu)成條件致誤

        例6 設(shè)2a+1,a,2a-1為鈍角三角形的三邊長(zhǎng),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

        易知2a+1為鈍角三角形的最大邊長(zhǎng),設(shè)其對(duì)角為θ,則90°<θ<180°。

        辨析:當(dāng)a=1時(shí),a+(2a-1)=2,2a+1=3,則a+(2a-1)<2a+1,顯然,此時(shí)它們不能構(gòu)成三角形?!捌ぶ淮?毛將焉附?”連三角形都無(wú)法構(gòu)成,還能構(gòu)成鈍角三角形嗎?上述解法無(wú)疑是錯(cuò)誤的。錯(cuò)解錯(cuò)在忽視了三角形的構(gòu)成條件,即“三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊”,當(dāng)然有時(shí)可變通運(yùn)用其等價(jià)定理:“三角形中,較小的兩邊之和大于最大邊”。

        正解:接錯(cuò)解,注意到三角形三邊的構(gòu)成條件,得a+(2a-1)>2a+1,解得a>2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,8)。

        警示:解三角形中若涉及邊,要特別注意:“三角形中任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊”及“三角形中,大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角”等性質(zhì)。

        練習(xí)6 在△ABC中,如果AB=AC,求函數(shù)y=cos A+cos B+cos C的取值范圍。

        正解:設(shè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c。由AB=AC,得b=c,由余弦定理得:

        警示:本題若忽視三角形三邊所固有的性質(zhì):任意兩邊之和大于第三邊,就會(huì)得出函數(shù)y=cosA+cosB+cosC的取值范圍為的錯(cuò)誤答案。

        總而言之,解三角形中出現(xiàn)的形形色色的錯(cuò)誤,其根源在于基礎(chǔ)理論不牢、思維方式不嚴(yán)謹(jǐn)。請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必在以下細(xì)節(jié)上多多用心、避免“陰溝里翻船”。(1)三角形內(nèi)角和定理;(2)銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角,鈍角三角形中有一個(gè)角是鈍角,其他兩個(gè)角必是銳角;(3)三角形中,大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角;(4)三角形中任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊;(5)在△ABC中,a≥b?A≥B?sinA≥sinB?cosA≤cosB;(6)在△ABC中,sin2A=sin2B?2A=2B或2A+2B=π?A=B或A+B=?△ABC為等腰三角形或直角三角形。

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