李小奎

正弦定理：= = =2R ;余弦定理：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=c2+a2-2ca cosB，c2=a2+b2-2ab cos C（其中三角形ABC 的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c）.正、余弦定理在解答有關三角形問題中應用廣泛.下面結合實例來談一談如何運用正、余弦定理解三角形、判斷三角形的形狀、求三角形的面積.

一、利用正、余弦定理解三角形

在解三角形問題時，經(jīng)常要用到正、余弦定理.正弦定理一般可用于求解兩類解三角形問題：（1）已知三角形的任意兩個角與一條邊，求其他兩條邊與另一個角;（2）已知三角形的任意兩邊與其中一條邊的對角，求其他的角與邊.余弦定理可用于求解兩類解三角形問題：（1）已知三角形的三條邊，求三個角;（2）已知兩條邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個角.在運用正余弦定理解題時，只需將已知的邊角或邊角關系代入兩個定理中，建立等量關系式，根據(jù)三角函數(shù)就能求得相應的邊、角.

例1.在△ABC中，a，b，c 分別為內角 A，B，C 的對邊，若2 sinB = sinA + sin C，cosB = ，且 S△ABC =6，則 b =_____.

解：在△ABC 中，由正弦定理可得，2b =a +c，①由余弦定理可得，b2=a2+c2-2ac × =（a +c）2- ac，由 cosB =，得sinB =，故S△ABC = ac × =6，③由①②③得，b =4.

解答本題主要運用了正余弦定理.已知的關系式2 sinB = sinA + sin C 中含有三個角的正弦函數(shù)，于是運用正弦定理將角化為邊，建立與三條邊相關的關系式，然后根據(jù)余弦定理和三角形的面積公式建立另外兩個有關三條邊的關系式，通過解方程組求得b的長度.

二、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

利用正、余弦定理判斷三角形的形狀有兩種思路：①利用正余弦定理將角化為邊，建立三角形的三條邊之間的關系，從而判斷三角形的形狀.若兩條邊相等，則該三角形為等腰三角形;若三條邊相等，則該三角形為等邊三角形，若 b2=c2+a2，則該三角形為直角三角形.②利用正余弦定理將邊化為角，通過三角恒等變換，建立關于三角形三個角之間的關系.若兩個角相等，則該三角形為等腰三角形;若三個角相等，則該三角形為等邊三角形，若其中一個角為90°，則該三角形為直角三角形.

例2.在△ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，

若 = ，（b + c +a）（b +c -a）=3bc，則△ABC 的形狀

為（ ）.

A.直角三角形?? ??B.等腰非等邊三角形

C.等邊三角形?? ??D.鈍角三角形

解：∵ = ，∴ = ，∴ b =c.

又（b +c +a）（b +c -a）=3bc，

∴b2+c2-a2=bc，∴ cosA = = = .∵ A∈（0， π），∴ A =，∴△ABC 是等邊三角形.

我們先根據(jù)正弦定理將角的關系式轉化為邊的關系式，明確了b、c 之間的關系，再根據(jù)余弦定理求得角A 的大小，從而證明該三角形為等邊三角形.在判斷三角形的過程中，同學們要注意挖掘“三角形的三個內角和為180°”以及“大角對大邊，小角對小邊”的隱含信息.

三、利用正、余弦定理求三角形的面積

我們知道三角形的面積公式為 S = ab sin C ，該公式不僅涉及了三角形的內角，還涉及了三角形的兩條邊.因此在求三角形的面積時，我們可靈活運用正弦定理求得三角形內角的正弦值，根據(jù)余弦定理求得三角形兩條邊及其關系式，這樣便可快速求得三角形的面積.

例3.已知?ABC 的三個內角 A，B，C 的對邊分別

為 a，b，c，若 b =6，a =2c，B = ，求?ABC 的面積.

解：由余弦定理得：b2=c2+a2-2ac cosB ，

∵ b =6， a =2c，B = ，

∴36=4c2+c2-2×2c2× ，∴ c =2 ， a =4 ，

∴S?ABC = ac sinB = ×4 ×2 ×=6 .

解答本題，需先根據(jù)余弦定理和已知條件求得邊 a、c 的值，然后根據(jù)三角形的面積公式求得三角形的面積.

正、余弦定理是解答與三角形相關問題的重要“工具”，因此同學們要熟練掌握正余弦定理及其本質，根據(jù)解題的需求，合理地進行邊角互化.一般地，若已知的角較多，可選用正弦定理來解題;若已知的邊較多，則需用余弦定理求解.

（作者單位：甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣第二中學）