李小奎
正弦定理:= = =2R ;余弦定理:a2=b2+c2-2bc cosA,b2=c2+a2-2ca cosB,c2=a2+b2-2ab cos C(其中三角形ABC 的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c).正、余弦定理在解答有關三角形問題中應用廣泛.下面結合實例來談一談如何運用正、余弦定理解三角形、判斷三角形的形狀、求三角形的面積.
一、利用正、余弦定理解三角形
在解三角形問題時,經(jīng)常要用到正、余弦定理.正弦定理一般可用于求解兩類解三角形問題:(1)已知三角形的任意兩個角與一條邊,求其他兩條邊與另一個角;(2)已知三角形的任意兩邊與其中一條邊的對角,求其他的角與邊.余弦定理可用于求解兩類解三角形問題:(1)已知三角形的三條邊,求三個角;(2)已知兩條邊和它們的夾角,求第三邊和其它兩個角.在運用正余弦定理解題時,只需將已知的邊角或邊角關系代入兩個定理中,建立等量關系式,根據(jù)三角函數(shù)就能求得相應的邊、角.
例1.在△ABC中,a,b,c 分別為內角 A,B,C 的對邊,若2 sinB = sinA + sin C,cosB = ,且 S△ABC =6,則 b =_____.
解:在△ABC 中,由正弦定理可得,2b =a +c,①由余弦定理可得,b2=a2+c2-2ac × =(a +c)2- ac,由 cosB =,得sinB =,故S△ABC = ac × =6,③由①②③得,b =4.
解答本題主要運用了正余弦定理.已知的關系式2 sinB = sinA + sin C 中含有三個角的正弦函數(shù),于是運用正弦定理將角化為邊,建立與三條邊相關的關系式,然后根據(jù)余弦定理和三角形的面積公式建立另外兩個有關三條邊的關系式,通過解方程組求得b的長度.
二、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀
利用正、余弦定理判斷三角形的形狀有兩種思路:①利用正余弦定理將角化為邊,建立三角形的三條邊之間的關系,從而判斷三角形的形狀.若兩條邊相等,則該三角形為等腰三角形;若三條邊相等,則該三角形為等邊三角形,若 b2=c2+a2,則該三角形為直角三角形.②利用正余弦定理將邊化為角,通過三角恒等變換,建立關于三角形三個角之間的關系.若兩個角相等,則該三角形為等腰三角形;若三個角相等,則該三角形為等邊三角形,若其中一個角為90°,則該三角形為直角三角形.
例2.在△ABC 中,角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,
若 = ,(b + c +a)(b +c -a)=3bc,則△ABC 的形狀
為( ).
A.直角三角形?? ??B.等腰非等邊三角形
C.等邊三角形?? ??D.鈍角三角形
解:∵ = ,∴ = ,∴ b =c.
又(b +c +a)(b +c -a)=3bc,
∴b2+c2-a2=bc,∴ cosA = = = .∵ A∈(0, π),∴ A =,∴△ABC 是等邊三角形.
我們先根據(jù)正弦定理將角的關系式轉化為邊的關系式,明確了b、c 之間的關系,再根據(jù)余弦定理求得角A 的大小,從而證明該三角形為等邊三角形.在判斷三角形的過程中,同學們要注意挖掘“三角形的三個內角和為180°”以及“大角對大邊,小角對小邊”的隱含信息.
三、利用正、余弦定理求三角形的面積
我們知道三角形的面積公式為 S = ab sin C ,該公式不僅涉及了三角形的內角,還涉及了三角形的兩條邊.因此在求三角形的面積時,我們可靈活運用正弦定理求得三角形內角的正弦值,根據(jù)余弦定理求得三角形兩條邊及其關系式,這樣便可快速求得三角形的面積.
例3.已知?ABC 的三個內角 A,B,C 的對邊分別
為 a,b,c,若 b =6,a =2c,B = ,求?ABC 的面積.
解:由余弦定理得:b2=c2+a2-2ac cosB ,
∵ b =6, a =2c,B = ,
∴36=4c2+c2-2×2c2× ,∴ c =2 , a =4 ,
∴S?ABC = ac sinB = ×4 ×2 ×=6 .
解答本題,需先根據(jù)余弦定理和已知條件求得邊 a、c 的值,然后根據(jù)三角形的面積公式求得三角形的面積.
正、余弦定理是解答與三角形相關問題的重要“工具”,因此同學們要熟練掌握正余弦定理及其本質,根據(jù)解題的需求,合理地進行邊角互化.一般地,若已知的角較多,可選用正弦定理來解題;若已知的邊較多,則需用余弦定理求解.
(作者單位:甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣第二中學)