華南師范大學附屬中學(510630) 周建鋒
談到解三角形,這是三角函數(shù)中重要的一個模塊,是三角與幾何相結合的一個經(jīng)典案例,無論是高考還是實際生活中的應用,都是經(jīng)久不衰的熱點話題. 有關解三角形的文章數(shù)不勝數(shù),但多數(shù)集中于解題研究或者思維方法等方面的討論,對確定一個三角形的基本條件及其背后的理論依據(jù)卻少有人提及. 文[1]提到了在已知兩邊及一邊對角時,用正弦定理求解和用余弦定理求解之間的等效性,文[2]提到了用方程的思想來求解三角形,文[3]討論了正余弦定理的獨立性,但論述不夠完整,應當由正余弦定理的6 個公式中的任意2個,都能推導出其余的4 個公式. 在數(shù)學教育越來越關注學生核心素質的時代,對理論的深入探索也應當受到大家的關注.
從解方程的角度而言,用正弦定理和用余弦定理解三角形的等效性如何? 三角形的三條邊三個角,共有6 個變元,需要有6 個獨立的方程才能解出. 我們知道至少要知道3 個變元值(三邊、兩邊一角、兩角一邊)才能解出三角形,因而除了三個內角和為180°,還需要兩個獨立的方程. 而三角形的正弦定理、余弦定理分別有3 個等式,它們都是可以各自獨立推導出來的,它們之間是否有內在的邏輯關系,是否意味著只有兩個獨立的等式,其余的都可以由其中的兩個等式推導出來? 這些問題一直困擾著我們,讓我們來一一揭開它們的神秘面紗.
例如ΔABC中,已知角B(銳角),邊b,c,求邊a. (當角B為直角或鈍角時,三角形不可能有兩解,不在討論之列.)
例如ΔABC中,已知角A,B,邊a,求邊b,c.
此時用正弦定理求邊最快捷, 但用余弦定理也能求解:已知A,B,則角C也已知,由兩式相加, 可得a=bcosC+ccosB. 同理,b=acosC+ccosA,兩式聯(lián)立即可求得b,c.
至此,我們得知,在求解三角形時,無論用正弦定理還是用余弦定理, 均可求解. 只是某些情形下(如已知兩角及一邊)用正弦定理更快捷,在某些情形下(如已知三邊或兩邊及夾角)用余弦定理更快捷,在某些情形下(如已知兩邊及一邊對角)用正、余弦定理均較為快捷.
通過對正、余弦定理等效性的分析,讓我們確信,正、余弦定理的六個公式之間是有邏輯關系的,下面我們來論證這一點.
從前面的論述可以看出: 在求解三角形時,用正弦定理或用余弦定理是等效的;正余弦定理中的六個公式,由其中的兩個公式即可導出其余的四個公式,也即只有兩個公式是獨立的. 所以,我們在解三角形時,在理論上更加明確: 給出三角形的三個條件,再結合內角和為180°,所有正余弦定理公式中選擇其中的兩個,即可解出三角形. 我們引導學生在理論上站在一個更高的起點,對解三角形的問題就有一個更加清晰的認識,這對進一步提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)有十分重要的意義.