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        如何求抽象函數(shù)的定義域

        2022-04-09 13:56:12葉建勇
        關(guān)鍵詞:值域定義域關(guān)系式

        葉建勇

        求抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)各類函數(shù)試題中.此類問(wèn)題較為抽象,題目中通常不會(huì)給出具體的函數(shù)解析式,要求根據(jù)已知條件或函數(shù)的值域求其定義域.常見(jiàn)的題型有三種:(1)已知 f x的定義域,求fgx的定義域;(2)已知fgx的定義域,求 f x的定義域;(3)已知fgx的定義域,求fhx的定義域.下面結(jié)合實(shí)例,重點(diǎn)探討一下這三類抽象函數(shù)定義域問(wèn)題的解法.

        例1.已知函數(shù) f x的定義域?yàn)?, 9,求 fx2的定義域.

        解:令 u = x2,則 fx2是由 u = x2與 y =f u構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),

        因?yàn)楹瘮?shù) f x的定義域?yàn)?, 9,

        所以 u = x2∈4, 9,

        解得-3≤ x ≤-2或 2≤ x ≤3,

        即函數(shù) fx2的定義域?yàn)閇-3,-2]?[2,3].

        對(duì)于已知函數(shù) f x的定義域,求fgx的定義域問(wèn)題,需先根據(jù) f x的定義域a, b確定函數(shù)gx的值域,即gx∈a, b,通過(guò)解不等式 a ≤ g(x)≤ b,得到fgx的定義域.對(duì)于本題,我們需由 f x的定義域,確定 u = x2∈4, 9,建立關(guān)于 x 的不等式,即可求得 x 的取值范圍.

        例2.已知函數(shù) fx2- 2x +2的定義域?yàn)?, 3,求函數(shù) f x的定義域.

        解:令 t = x2- 2x +2,所以 fx2- 2x +2=f t,

        因?yàn)?fx2- 2x +2的定義域?yàn)?, 3,

        則 x ∈0, 3,

        所以,當(dāng) x ∈0, 3時(shí),x2- 2x +2∈1, 5,

        因此 f x的定義域?yàn)?, 5.

        若已知fgx的定義域?yàn)閍, b,求函數(shù) f x的定義域,需根據(jù)fgx的定義域a, b,得到gx的值域,所得的gx的值域即為函數(shù) f x的定義域.

        例3.已知函數(shù) y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇- ?, ],則函數(shù) y=f(x)的定義域?yàn)開(kāi)____.

        解:∵y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇- ?, ],

        ∴ x ∈[- ?, ],x2-1∈[-1,2],

        ∴y=f(x)的定義域?yàn)閇-1,2].

        我們只需根據(jù)題意求得 x2-1的取值范圍,即可建立關(guān)于 x 的不等式,求得函數(shù) y=f(x)的定義域.在解題時(shí),需注意兩點(diǎn):(1)明晰fgx的定義域與 f x的定義域之間的區(qū)別;(2)明確fgx中的gx與f x中 x 之間的等價(jià)關(guān)系.

        例4.已知函數(shù) f x +2的定義域是-1, 2,求函數(shù) fx2的定義域.

        解:因?yàn)?f x +2的定義域是-1, 2,

        則-1≤ x ≤2,

        因此1≤ x +2≤4,

        即函數(shù) f x的定義域?yàn)?,4,

        令1≤ x2≤4,

        解得-2≤ x ≤- 1或1≤ x ≤2,

        因此,函數(shù) fx2的定義域?yàn)閧x|- 2≤ x ≤-1或1≤x ≤2}.

        在解答本題時(shí),需明確函數(shù) f x的 x 與函數(shù)fx2中 x2的值域之間的等價(jià)關(guān)系,由此建立關(guān)系式,即可解題.若已知fgx的定義域?yàn)閍, b,求函數(shù)fhx的定義域,要根據(jù)fgx的定義域得到gx的值域,再根據(jù)gx的值域等價(jià)于hx的值域來(lái)建立不等式,解不等式即可求得fhx的定義域.

        雖然函數(shù) y =fgx、y =fhx、y =f x的解析式不相同,但是其對(duì)應(yīng)的法則相同,因此求抽象函數(shù)的定義域,關(guān)鍵在于明確 y =fgx、y =fhx、 y =f x中 x、gx、hx的意義及其等價(jià)關(guān)系,建立相應(yīng)的關(guān)系式,即可求得對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域.

        (作者單位:湖北省安陸市第二高級(jí)中學(xué))

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