摘 要：無(wú)窮小量屬于級(jí)數(shù)數(shù)列的無(wú)窮小項(xiàng)，但極限不屬于級(jí)數(shù)數(shù)列的項(xiàng)，極限是數(shù)列所體現(xiàn)的數(shù)集所不能達(dá)到的界限。無(wú)窮小以及余數(shù)無(wú)窮小仍屬于一個(gè)（不可預(yù)測(cè)的）數(shù)域，所以，極限和無(wú)窮小是兩個(gè)不同的數(shù)和數(shù)域。

關(guān)鍵詞：數(shù)域 數(shù)集 極限 無(wú)窮小量 余數(shù)無(wú)窮小量

引 言

本文相繼《論極限概念的狹義性及極端猜想》，把數(shù)列化為數(shù)集的表達(dá)形式，引入余數(shù)無(wú)窮小量的概念，論述了極限和無(wú)窮小量的關(guān)系，理論繼續(xù)表明，極限概念具有局限性，仍沒有很好的解決無(wú)限問(wèn)題。

一、無(wú)窮小連和極限0的關(guān)系

《論極限概念的狹義性及極端猜想》一文，只是以類似日取5分的級(jí)數(shù)數(shù)列的有限項(xiàng)化為小數(shù)形式，論述了無(wú)窮小量與極限的關(guān)系，用無(wú)窮小量屬于半有理數(shù)的性質(zhì)證明了極限是0，并不可能說(shuō)明無(wú)窮小量就是0的觀點(diǎn)。

這里仍然以日取5分的問(wèn)題為例來(lái)論述無(wú)窮小量和極限的關(guān)系。

在不影響無(wú)限性質(zhì)的最小數(shù)的假設(shè)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)的末尾數(shù)的表達(dá)以及半有理數(shù)的定義的基礎(chǔ)上，是可以比較某些無(wú)窮小量的大小的。

例如，0.999……9視為最大的純小數(shù)。0.000……1視為最小的小數(shù)（正數(shù)）以及把999……9視為最大的奇數(shù)，把1000……0視為最大的偶數(shù)（及自然數(shù)包括正整數(shù)）。

比如日取9分的無(wú)窮小量和日取5分的無(wú)窮小量做比較，很明顯日取9分的無(wú)窮小量要大于日取5分的無(wú)窮小量。即日取9分的余數(shù)無(wú)窮小量要小于日取5分的余數(shù)無(wú)窮小量。

根據(jù)其規(guī)律，日取9分，日取8分等的余數(shù)無(wú)窮小量都要小于日取5分的無(wú)窮小量。理論上，日取9分的余數(shù)無(wú)窮小量也可當(dāng)做日取5分的極限。也就是說(shuō)，無(wú)窮小量雖然是個(gè)數(shù)域，數(shù)域之間也是存在絕對(duì)性的大小差別的。所以，從這個(gè)性質(zhì)來(lái)分析，類似日取5分的極限是0就存在極大的不準(zhǔn)確性，極限也不是唯一的。

（二）極限在應(yīng)用中的問(wèn)題。極限概念拓展到微積分也是存在問(wèn)題的，可以把微分和微積視為極限概念在實(shí)際中的應(yīng)用。比如切線的定義，動(dòng)點(diǎn)無(wú)論以什么樣的方式沿曲線運(yùn)動(dòng)，其極限都是切線，但由于靠近定點(diǎn)的方式都不是相同的，距離定點(diǎn)的余數(shù)無(wú)窮小是不同的，所謂的切線就不是十分確定的，是一個(gè)區(qū)域性質(zhì)。所以，用極限來(lái)定義切線同樣是模糊的。

同樣，類似于同等高度的物體的平拋運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)代理論所描述的同時(shí)落地的問(wèn)題，無(wú)論初速度是不同的還是質(zhì)量是不同的都必須是同時(shí)落地，這類問(wèn)題也是可以用極限的數(shù)學(xué)形式來(lái)證明。也就是說(shuō)極限概念的局限性也影響了物理問(wèn)題的正確性。

也就是說(shuō)，極限概念的引入，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)仍然存在模糊的性質(zhì)，甚至是錯(cuò)誤的。

（三）無(wú)限的不可測(cè)性。理論上，無(wú)限是不可測(cè)的。而且用科學(xué)的方法解決無(wú)限問(wèn)題也是有局限性的。科學(xué)是具有可證偽性的，雖然無(wú)限不屬于不可證偽的問(wèn)題，但是無(wú)限具有無(wú)法證偽的性質(zhì)，因?yàn)榭茖W(xué)是人類的產(chǎn)物。人類的能力是有限的，以有限的能力解決無(wú)限的問(wèn)題必將存在模糊不清甚至錯(cuò)誤的判斷方法及操作過(guò)程。所以，數(shù)學(xué)和科學(xué)一樣，在無(wú)限的問(wèn)題上是可以假設(shè)最小概念的，在最小的假設(shè)的基礎(chǔ)上來(lái)總結(jié)出較為完美的宏觀理論。而微觀的人類沒能力直觀的無(wú)窮小領(lǐng)域，是要靠遵循宏觀規(guī)律來(lái)推理的，而不是勉強(qiáng)的形式描述。

如果說(shuō)，科學(xué)必須具備數(shù)學(xué)模型來(lái)輔助，那么根據(jù)《自由運(yùn)動(dòng)論》的相關(guān)理論，自然規(guī)律必須是一樣的，不存在宏觀和微觀的區(qū)別。所以現(xiàn)代科學(xué)中宏觀和微觀規(guī)律的不統(tǒng)一，與數(shù)學(xué)的有限和無(wú)限的不統(tǒng)一如出一轍的存在錯(cuò)誤。是說(shuō)，在《自由運(yùn)動(dòng)論》的基礎(chǔ)上，物理學(xué)，科學(xué)必須存在一個(gè)規(guī)律，而數(shù)學(xué)也必須存在一個(gè)規(guī)律，無(wú)限和有限必須遵循一個(gè)規(guī)律。

四、結(jié)論

無(wú)窮小量和極限的引入并沒有很好地解決無(wú)限問(wèn)題，甚至存在錯(cuò)誤。只有在不影響無(wú)限性質(zhì)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)引入最小數(shù)、半有理數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)的末位數(shù)的表達(dá)形式以及余數(shù)無(wú)窮小量等概念，才有可能輔助極限概念比較清晰、合理地描述部分無(wú)限問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1] 咸立德.論數(shù)的不確定性對(duì)數(shù)論的影響及其解決辦法 [J]魅力中國(guó) 2010（12）

[2] 咸立德.論極限概念的俠義性及其極端猜想 [J]魅力中國(guó) 2011（2）