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        一個有趣的數(shù)學(xué)教學(xué)案例

        2015-06-05 00:17:13湯芳
        關(guān)鍵詞:四則運(yùn)算數(shù)域尺規(guī)作圖

        湯芳

        【內(nèi)容摘要】假設(shè)你手上還有一把沒有刻度的直尺和一個圓規(guī),則你可以在有限步內(nèi)做出任意長度為有理數(shù)的線段。該問題的解法其實(shí)就來源于對于四則運(yùn)算最樸實(shí)的認(rèn)識。

        【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖 四則運(yùn)算 數(shù)域

        假設(shè)現(xiàn)在有一個平面,已知這個平面上的兩點(diǎn)AB,并且已知它的長度是1。假設(shè)你手上還有一把沒有刻度的直尺和一個圓規(guī),請證明:

        (1)你可以在有限步內(nèi)做出任意長度為正整數(shù)的線段;

        (2)你可以在有限步內(nèi)做出任意長度為有理數(shù)的線段。

        為了進(jìn)一步明確題意,在此列出所有你可以做的事情:

        ①可以把一條已知線段延長成為一條直線,

        ②只能以已知點(diǎn)為圓心作圓,

        ③只能以已知某兩點(diǎn)之間的距離為半徑長度作圓,

        ④在你所做的線段,直線或者圓上取出你想要的任何一個點(diǎn)(進(jìn)而你可以取出它們相互之間的交點(diǎn)),取出后都視為已知點(diǎn)。

        解答(1)以B為圓心,長度1(已知線段AB的長度就是1)為半徑作圓;利用直尺做出直線AB;取得直線和圓異于A的交點(diǎn)C,于是得到已知點(diǎn)C,并且2也是已知長度(AC長度是2);以C為圓心,長度1為半徑作圓,取得它與直線AB異于B的交點(diǎn)D,于是得到已知點(diǎn)D,并且3也是已知長度。不斷重復(fù)這個步驟,在有限步內(nèi)一定可以做出任意長度為正整數(shù)的線段

        (2)對于任意的有理數(shù) ,由 (1),我們可以在直線AB上取得四個已知點(diǎn)PQRS,使得PQ長度為p,QR長度為1,QS長度為q;以已知點(diǎn)Q為圓心,已知長度q為半徑長度作圓,取出這個圓上任意一個不在直線AB上的點(diǎn)T,得到已知點(diǎn)T;由于尺規(guī)可以在有限步內(nèi)做出任意線段的垂直平分線,于是我們做出PT和TR的垂直平分線,取得它們的交點(diǎn)O作為已知點(diǎn);以O(shè)為圓心,已知點(diǎn)OP之間的距離為半徑長度作圓;利用直尺做出直線QT;取得直線QT與圓異于T的交點(diǎn)U,于是得到已知點(diǎn)U,并且QU長度即為 。

        小結(jié)(1)關(guān)于讀題,本題的讀題關(guān)鍵是讀懂“有限步內(nèi)”。本題最容易出現(xiàn)的一類讀題錯誤就是:對于AB(長為1),以B為圓心,AB為半徑作圓,圓上所有點(diǎn)與A的距離的取值范圍是0到2,于是就認(rèn)為長度為0到2之間所有實(shí)數(shù)的線段都可以做出來了。如果你是這樣認(rèn)為,請你想想,以 為例,圓上確實(shí)有一個點(diǎn),它到A的距離是 ,問題是你怎么在有限步內(nèi)把它找到?

        (2)本題的解法其實(shí)就來源于對于四則運(yùn)算最樸實(shí)的認(rèn)識,在最開始人們只知道做加法的時候,人們拿著數(shù)0和1通過加法就做出了所有正整數(shù)(第一問就是考察這個),同一個正整數(shù)不停地重復(fù)和它自己相加于是得到了乘法的定義。對于a,b,人們不會直接作減法,但是人們思考什么數(shù)c會滿足a+c=b,于是就產(chǎn)生減法的定義,并且產(chǎn)生所謂“負(fù)”的概念,正整數(shù)被擴(kuò)展到全體整體。除法也是一樣的,對于a,b,人們是通過尋找c,使得ac=b才定義了除法。這就是為什么人們把減法叫做加法的逆運(yùn)算,把除法叫做乘法的逆運(yùn)算。

        (3)解方程a+x=b,我們真正做的事情是尋找一個c,使得a+c=0,方程兩邊同時加上c,就得到解是x=b+c,實(shí)際上c就是a的“負(fù)元素”,即(-a),上述工作實(shí)際就是減法;解方程ax=b(a 不為0),我們真正做的事情是尋找一個元素c,使得ac=1,方程兩邊同乘c,于是得到解是x=bc。不要覺得這樣的認(rèn)識沒有意義,有的時候加法和乘法運(yùn)算你可以一目了然,但是除法就不一定了,比如在模p的意義下看除法 ,仔細(xì)想想這個時候除法是怎么定義的,你就會知道這樣的認(rèn)識是必要的。

        (4)進(jìn)一步介紹四則運(yùn)算封閉的定義,以及數(shù)環(huán)和數(shù)域的概念。集合S對加法封閉是指:對于S中任兩個數(shù)a,b,a+b也在S中(減,乘,除封閉的定義類似可得)。對于加減乘封閉的數(shù)集稱為環(huán),對于加減乘除都封閉的數(shù)集稱為數(shù)域,比如整數(shù)集就是一個環(huán)(又叫整數(shù)環(huán)),有理數(shù)集就是一個數(shù)域。為了避免空集的干擾,我們定義數(shù)環(huán)和數(shù)域都要求0,1是其元素。我們這道題就模擬了一個有理數(shù)域產(chǎn)生的過程,本題說明了所有能夠做出的長度組成一個數(shù)域,也說明了有理數(shù)域是最小的數(shù)域(補(bǔ)充說一句最大的數(shù)域是復(fù)數(shù)域)

        (5)本題是古希臘人研究的著名問題之一,在還不知道有無理數(shù)這個東西的時候,古希臘人當(dāng)然會猜想用尺規(guī)做出的線段長度組成的數(shù)集就是有理數(shù)域。在數(shù)學(xué)知識和宗教地位綁在一起的年代,人類認(rèn)識到無理數(shù)的存在是一個艱難而充滿血腥的過程,如何進(jìn)一步從有理數(shù)集走到實(shí)數(shù)集,將是高等數(shù)學(xué)一開始就將要介紹的知識。在大家都知道無理數(shù)存在的今天,我相信有很多同學(xué)做出了長度為 的線段,于是這道題的實(shí)際結(jié)果是不是可以做出所有實(shí)數(shù)呢?很遺憾,答案也是否定的,伽羅華(Galois)創(chuàng)造的群的理論成功說明了能夠做出來的長度是所有以實(shí)數(shù)為系數(shù)的二次方程的根組成的數(shù)集,古希臘人在公元前幾百年時就已經(jīng)在尋找的這個數(shù)域,在2000多年后的19世紀(jì)才被Galois找到。

        (作者單位:湖南省長沙市雅禮中學(xué))

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