黃 瑞

點集拓撲是拓撲學的入門課程，是學生眼中“破次元”難度的課程，這門課程具有高度的抽象性和邏輯性，簡單來說就是“不靠計算靠思維”. 教材的安排一般是先給出概念，緊接著是一系列的定理或推論及其證明過程，因此學生對點集拓撲的印象就是枯燥無趣，味同嚼蠟.“ 實例”是點集拓撲教學中的“調(diào)味劑”，而通常點集拓撲教材中出現(xiàn)的實例少之又少，主要包括實數(shù)空間、實數(shù)下限拓撲空間、實數(shù)右手拓撲空間、平庸空間、離散空間、有限補空間和可數(shù)補空間等，文獻［1-6］研究了上述拓撲空間的拓撲性質(zhì)，文獻［7-10］研究了一些較復雜的拓撲空間的拓撲性質(zhì). 可數(shù)補空間是本科階段點集拓撲教學過程中的一個重要研究對象和教學實例，本文將系統(tǒng)地研究可數(shù)補空間的諸多拓撲性質(zhì)，并給出什么樣的子集是可數(shù)補空間中的連通子集、道路連通子集、局部道路連通子集和緊致子集，什么樣的序列是可數(shù)補空間中的收斂序列等. 需要說明的是文中所有的概念、符號都可見文獻［11］，文中不再一一說明.

1 預備知識

定義1［11］X是一個集合，Γ={U?X|U'是X中的可數(shù)集}?{?}，則稱Γ是X的可數(shù)補拓撲，稱(X,Γ) 為可數(shù)補空間.

由定義知，若X是一個不可數(shù)集，此時可數(shù)補空間X中的開集是?，X，U'，閉集是?，X，U，其中U是X中的非空可數(shù)子集. 易見此時可數(shù)補空間X中既開又閉的子集只有?和X，從而得到不可數(shù)集上定義的可數(shù)補空間是連通空間. 若X是一個可數(shù)集，此時可數(shù)補空間X退化成了一個離散空間，而離散空間的拓撲性質(zhì)比較簡單，故本文討論的是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補空間的拓撲性質(zhì). 值得注意的是可數(shù)集包含有限集，故集合X上的可數(shù)補拓撲是X上的有限補拓撲的加細［12］，研究了同一集合在粗細拓撲下拓撲性質(zhì)的比較，從而得到不可數(shù)集上的有限補空間和可數(shù)補空間的拓撲性質(zhì)之間的關(guān)系.

定 義2［11］設X是一個拓撲空間，若對于?x∈X和x的任意鄰域x，存在x的一個道路連通鄰域x使得V?U，則稱拓撲空間X是局部道路連通空間. 若X的子集Y作成的子空間是局部道路連通空間，則稱Y是拓撲空間X的局部道路連通子集.

引理1 設U是可數(shù)補空間(X,Γ) 中的任意點x的任意鄰域，其中X是不可數(shù)集，則U是x的開鄰域.

證明U是可數(shù)補空間(X,Γ) 中x的鄰域，則存在非空開集V滿足x∈V?U，從而U' ?V'（可數(shù)集），故U'也是可數(shù)集，從而U'是閉集，故U是x的開鄰域.

引理2 設A是可數(shù)補空間(X,Γ) 中的子集，其中X是不可數(shù)集，則

（1）若A是不可數(shù)集，則d(A) ==X；

（2）若A是可數(shù)集，則d(A) = ?，=A.

證明（1）假設存在x0∈X，x0?d(A)，則存在x0的鄰域U0滿足U0?(A- {x0}) = ?，由引理1 知U0是可數(shù)補空間(X,Γ) 中的非空開集，從而A- {x0} ?U0'（可數(shù)集），這與A是不可數(shù)集矛盾，故d(A) =Aˉ=X.

（2）任意x∈X,(A- {x})'是x的開鄰域，滿足(A- {x})' ?(A- {x}) = ?，即x?d(A)，故d(A) = ?，再由可數(shù)集A是閉集，直接得到=A.

順便指出，利用A°=A',?(A) =Aˉ?A'-和引理2 可得A是不可數(shù)集時，

A是可數(shù)集時，A°= ?，?(A) =A.

引理3 設U，V是可數(shù)補空間(X,Γ) 中的非空開集，其中X是不可數(shù)集，則U?V≠?.

證明 若U，V中有一個是X，結(jié)論顯然成立.

下設U，V都不是X，則可設U=X-U0，V=X-V0，其中U0,V0是(X,Γ) 中的非空可數(shù)集，U ?V =X- (U0?V0) 是不可數(shù)集，結(jié)論成立.

事實上，不可數(shù)集上的可數(shù)補空間中的非空開集與不可數(shù)子集的交也是非空的.

引理4 設(Y,Γ|Y) 是可數(shù)補空間(X,Γ) 的子空間，其中X是不可數(shù)集，則

（1）Y是X的可數(shù)子集時，(Y,Γ|Y) 是離散空間；

（2）Y是X的不可數(shù)子集時，(Y,Γ|Y) 是可數(shù)補空間.

證明（1）Y是X的可數(shù)子集時，(Y,Γ|Y) 是(X,Γ) 的閉子空間，設A是(Y,Γ|Y)的任意子集，則可 數(shù) 集A是(X,Γ) 中的閉集，從 而A是 閉 子空間(Y,Γ|Y) 的閉集，故(Y,Γ|Y) 是離散空間.

（2）Y是X的不可數(shù)子集時，(Y,Γ|Y) 中的開集為?,Y,(X-U) ?Y=Y-(U?Y)，其中U是(X,Γ) 中的非空可數(shù)集，從而U?Y是(Y,Γ|Y) 中的可數(shù)集，由定義1 知(Y,Γ|Y) 是不可數(shù)集上的可數(shù)補空間.

引理5 設x,y是可數(shù)補空間(X,Γ) 中的任意兩個不同的點，其中X是不可數(shù)集，則在(X,Γ) 中不存在從x到y(tǒng)的道路.

證明 假設存在連續(xù)映射f:[ 0,1] →X，且f(0) =x,f(1) =y. 令A是[ 0,1] 中有理數(shù)的全體作成的集合，則f(A) 是X中的可數(shù)子集. 又f的值域f([ 0,1]) 是可數(shù)補空間(X,Γ) 中的連通子集，故f([ 0,1]) 必是X中的不可數(shù)子集，從而得到f(A) ?f([ 0,1]) ?X.

令X-f(A) =U，則U是(X,Γ) 中的開集，易見f-1(U) =f-1(X) -f-1(f(A)) ?[ 0,1]-A，即f-1(U) 是[ 0,1] 中無理數(shù)的全體作成的集合，故f-1(U) 不是[ 0,1] 中的開集，這 與f連 續(xù)矛盾，從而在(X,Γ) 中不存在從x到y(tǒng)的道路.

引理6 設Λ 是拓撲空間X的一個開覆蓋，若存在A∈Λ，滿足A'是X中的可數(shù)集，則Λ 必存在關(guān)于X的可數(shù)子覆蓋.

證明 設x是可數(shù)集A' 中的任意一個點，則存在Ax∈Λ,x∈Ax.

令Λ?= {A} ?{Ax∈Λ|x∈A',x∈Ax}，則Λ?是Λ 關(guān)于X的可數(shù)子覆蓋.

引理7 設{xi}i∈?+是可數(shù)補空間(X,Γ) 中的任意序列，其中X是不可數(shù)集，則

（1）該序列不可能收斂到序列之外的點；

（2）令{xi}i∈?+中的點作成的集合是A，易見(A- {xk})'是xk的開鄰域，故存在M∈?+，當i>M時，有xi?A- {xk}，即xi=xk.

引理8 已知拓撲空間X不是緊致空間，Λ是拓撲空間X的任意開覆蓋，則

（1）若Λ 是有限開覆蓋，則存在X的有限開覆蓋Ω 是Λ 的加細；

（2）若Λ 是無限開覆蓋，則不存在X的有限開覆蓋Ω 是Λ 的加細.

證明（1）只需取Ω = Λ 即可.

（2）假設存在X的有限開覆蓋Ω ={B1,B2,…,Bn} 是Λ 的加細，則任意的Bi∈Ω，存在Ai∈Λ，使得Bi?Ai,i= 1,2,…,n.

令 Λ?= {Ai∈Λ|Bi?Ai,i= 1,2,…,n} ，則Λ?是Λ 的有限子覆蓋，故拓撲空間X的任意開覆蓋都存在有限的子覆蓋，這與拓撲空間X不是緊致空間矛盾，結(jié)論得證.

2 主要結(jié)論

2.1 連通性

定理1 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間是連通空間，且它的連通子集是空集，單點集和不可數(shù)子集.

證明 設拓撲空間X是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補空間，由定義1 知可數(shù)補空間X中的開集?，X，U'，閉集是?，X，U，其中U是X中的非空可數(shù)子集，故拓撲空間X中既開又閉的子集只有?和X，從而可數(shù)補空間X是連通空間. 由引理4 知可數(shù)補空間X中的不可數(shù)子集作成的子空間是不可數(shù)集上的可數(shù)補空間，包含多于一個點的可數(shù)子集作成的子空間是離散空間，故可數(shù)補空間X的連通子集是空集，單點集和不可數(shù)子集.

定理2 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間是局部連通空間.

證明 由定理1 知不可數(shù)集上的可數(shù)補空間的每一個開集都是連通的，故不可數(shù)集上的可數(shù)補空間是局部連通空間.

定理3 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是道路連通空間，且它的道路連通子集只有空集和單點集.

證明 設拓撲空間X是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補空間，由引理5 知可數(shù)補空間X不是道路連通空間. 由引理4、引理5 知不可數(shù)子集和包含多于1 個點的可數(shù)子集都不是道路連通子集，故拓撲空間X的道路連通子集只有空集和單點集.

定理4 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是局部道路連通空間，且它的局部道路連通子集是可數(shù)子集.

證明 設拓撲空間X是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補空間，由引理1 和定理3 知可數(shù)補空間X中的任意一點都不存在道路連通的鄰域，故不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是局部道路連通空間.

由引理4 和定理4 的上面的證明知可數(shù)補空間X中的不可數(shù)子集不是局部道路連通子集，可數(shù)子集作成的子空間離散空間是局部道路連通空間，從而得到可數(shù)補空間X的局部道路連通子集是可數(shù)子集.

2.2 可數(shù)性公理

定理5［11］不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是A1空間，從而也不是A2空間.

定理6 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間是Lindel?f 空間，但不是可分空間.

證明 由引理6 知不可數(shù)集上的可數(shù)補空間的任一開覆蓋必定存在可數(shù)的子覆蓋，故不可數(shù)集上的可數(shù)補空間是Lindel?f 空間. 再由引理2 知不可數(shù)集上的可數(shù)補空間的稠密子集只能是不可數(shù)集，因此不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是可分空間.

2.3 分離性公理

定理7 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間是T0，T1空間，但不是T2，T3，T3.5，T4，也不是正則空間、正規(guī)空間、完全正則空間.

證明 設拓撲空間X是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補空間，由定義1 知可數(shù)補空間X的每一個有限集都是閉集，故可數(shù)補空間X是T1空間，從而也是T0空間.

由引理3 知可數(shù)補空間X不滿足定理中其他的分離性公理.

2.4 緊性

定理8 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是列緊空間.

證明 由引理2（2）知不可數(shù)集上的可數(shù)補空間中存在著無限可數(shù)子集沒有聚點，因此不是列緊空間.

定理9 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是序列緊致空間.

證明 由引理7 知在不可數(shù)集上的可數(shù)補空間中，若序列中的點兩兩互不相同，則該序列不存在收斂的子列，因此不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是序列緊致空間.

定理10 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是可數(shù)緊致空間，從而也不是緊致空間.

證明 設拓撲空間X是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補空間，x1,x2,x3,…是可數(shù)補空間X中兩兩互不相同的點，令Ai= {xi,xi+1,xi+2,…},i=1,2,3,…，則Ai'是 可 數(shù)補 空 間X中 的開 集，且于 是{A1',A2',A3',…}是可數(shù)補空間X的一個可數(shù)的開覆蓋，顯然這個可數(shù)的開覆蓋沒有有限的子覆蓋，故可數(shù)補空間X不是可數(shù)緊致空間，從而也不是緊致空間.

值得注意的是，由各種緊性之間的相互蘊含關(guān)系［13］和定理8 可直接得到定理9 和定理10 的結(jié)論.

定理11 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間的緊致子集是有限集.

證明 設拓撲空間X是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補空間，由引理4 和定理10 知可數(shù)補空間X的不可數(shù)子集不是緊致子集. 又可數(shù)補空間X的可數(shù)子集作成的子空間是離散空間，而只有包含有限個點的離散空間才是緊致空間，故可數(shù)補空間X的緊致子集是有限集.

定理12 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是局部緊致空間.

證明 由引理1 和定理11 知不可數(shù)集上的可數(shù)補空間中的任意點都不存在緊致的鄰域，因此不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是局部緊致空間.

定理13 不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是仿緊致空間.

證明 設拓撲空間X是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補空間，Λ 是拓撲空間X的任意開覆蓋，由引理1，引理3 知可數(shù)補空間X中的任一點的任一鄰域都與Λ 中的非空開集有非空的交，即可數(shù)補空間X的局部有限開覆蓋只能是可數(shù)補空間X的有限開覆蓋. 再由定理10和引理8（2）知可數(shù)補空間X的無限開覆蓋不存在有限開覆蓋是它的加細，從而可數(shù)補空間X的無限開覆蓋不存在局部有限的開覆蓋是它的加細，故可數(shù)補空間X不是仿緊致空間.

2.5 可數(shù)補空間與有限積空間和商空間

定 理14 設(X1,Γ1),(X2,Γ2) 是可數(shù)補空間，(X,Γ) 是它們的積空間，則

（1）若X1,X2是可數(shù)集，則積空間X是離散空間；

（2）若X1,X2是不可數(shù)集，則積空間X不是可數(shù)補空間；

（3）若X1,X2中有且只有一個是不可數(shù)集，則積空間X不是可數(shù)補空間.

證明（1）X1,X2是可數(shù)集時，由定義1 知(X1,Γ1),(X2,Γ2) 是離散 空 間，故積空 間(X,Γ)也是離散空間.

（2）設A1,A2分 別 是(X1,Γ1),(X2,Γ2) 中 的非空可數(shù)子集，則由積空間的定義知(X1-A1)×(X2-A2) =X-A1×X2-A1'×A2=X- [(A1×X2) ?(A1'×A2)] 是積空間X中的開 集，但(A1× X2) ?(A1'×A2) 是X中的不可數(shù)集，故積空間X不是可數(shù)補空間.

（3）不妨設X1是可數(shù)集，X2是不可數(shù)集，則(X1,Γ1) 是離散空間. 設A1,A2分別是(X1,Γ1),(X2,Γ2) 中的非空真子集和非空可數(shù)子集，則由積空間的定義知

A1× (X2-A2) =X-A1'×X2-A1×A2=X- [(A1'×X2) ?(A1×A2)] 是積空間X中的開集，但(X1,Γ1) 是X中的不可數(shù)集，故積空間X不是可數(shù)補空間.

定理15 設(X,Γ) 是可數(shù)補空間，則

（1）若X是可數(shù)集，則(X,Γ) 的任意商空間都是離散空間；

（2）若X是不可數(shù)集，則(X,Γ) 的商空間未必是可數(shù)補空間.

證明（1）X是可數(shù)集時，由定義1 知(X,Γ)是離散空間，故(X,Γ) 的任意商空間都是離散空間.

3 結(jié)語

通過對不可數(shù)集上的可數(shù)補空間的鄰域、子空間、道路、序列收斂和開覆蓋等問題的討論，文章系統(tǒng)地研究了不可數(shù)集上定義的可數(shù)補空間的拓撲性質(zhì)，包括諸多連通性質(zhì)、有關(guān)可數(shù)性的公理、分離性公理、諸多緊致性質(zhì). 另外，文中還討論了可數(shù)補空間的子空間、有限積空間和商空間. 順便指出不可數(shù)集上的可數(shù)補空間不是可度量化的拓撲空間，至于此拓撲空間的其他性質(zhì)仍需進一步研究.