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        拓?fù)淇臻g中緊致子集的性質(zhì)研究

        2021-11-28 11:06:20
        關(guān)鍵詞:充分條件子集集上

        黃 瑞

        (阜陽(yáng)師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽阜陽(yáng)236037)

        點(diǎn)集拓?fù)涫且话銕煼对盒?shù)學(xué)類相關(guān)專業(yè)的必修課程,也是后繼課程,如代數(shù)拓?fù)?、微分拓?fù)?、幾何拓?fù)涞鹊幕A(chǔ)。點(diǎn)集拓?fù)涞难芯繉?duì)象是拓?fù)淇臻g,一般地,可以從“開集”、“閉集”、“鄰域”、“導(dǎo)集運(yùn)算”、“閉包運(yùn)算”、“內(nèi)部運(yùn)算”、“基”和“子基”8個(gè)角度定義拓?fù)淇臻g,即拓?fù)淇臻g有8種等價(jià)的定義,現(xiàn)在的點(diǎn)集拓?fù)浣滩腫1-5]更傾向于從開集角度定義拓?fù)淇臻g。自然而然開集就成為了拓?fù)淇臻g中特殊的子集,除開集之外,拓?fù)淇臻g中還有一些特殊的子集,如閉集、連通子集、連通分支、道路連通子集、稠密子集和緊致子集等。緊致子集作為拓?fù)淇臻g中一類特殊的子集,對(duì)其性質(zhì)的研究具有重要意義,文獻(xiàn)[6-7]研究了實(shí)數(shù)空間?中的緊致子集的等價(jià)刻畫,文獻(xiàn)[8-10]分別研究了度量空間、偽度量空間和超距空間中的緊致性,文獻(xiàn)[11-13]則研究了各種緊致空間及它們相互之間的關(guān)系。本文將類比連通子集的性質(zhì),系統(tǒng)地研究緊致子集的一些重要性質(zhì)。需要說明的是文中所用的概念、符號(hào)同文獻(xiàn)[1]。

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義1[1]已知拓?fù)淇臻g(X,Γ),若(X,Γ)的每一個(gè)開覆蓋都存在有限的子覆蓋,則稱拓?fù)淇臻g(X,Γ)是緊致空間。

        定義2[1]已知Y是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的子集,若Y作為(X,Γ)的子空間是緊致空間,則稱Y是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的緊致子集。

        引理1已知拓?fù)淇臻g(X,Γ),A?Y?X,則A是(Y,Γ|Y)的緊致子集?A是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的緊致子集。

        證明A是(Y,Γ|Y)的緊致子集?(A,Γ|Y|A)=(A,Γ|A)是緊致空間?A是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的緊致子集。

        引理2有限集上定義的任意一個(gè)拓?fù)淇臻g必是緊致空間。

        證明 設(shè)X是包含n個(gè)點(diǎn)的集合,Γ為X上的任意拓?fù)?,則Γ?2X,則拓?fù)淇臻g(X,Γ)中至多包含2n個(gè)開集,由緊致空間的定義知結(jié)論成立。

        引理3若拓?fù)淇臻g有一個(gè)有限基,則這個(gè)拓?fù)淇臻g必是緊致空間。

        證明設(shè)Φ={B1,B2,B3,…,Bn}是拓?fù)淇臻gX的有限基,Λ是拓?fù)淇臻gX的任一開覆蓋,則?A∈Λ,存在ΦA(chǔ)?Φ,使得A=。

        令Φ*=,則Φ*?Φ,且Φ*是拓?fù)淇臻gX的有限開覆蓋。?Bi∈Φ*,存在Ai∈Λ,使得Bi?Ai,令Λ*={Ai∈Λ|Bi∈Φ*,Bi?Ai},則Λ*是Λ關(guān)于拓?fù)淇臻gX的有限子覆蓋,由緊致空間的定義知結(jié)論成立。

        由引理2,3易得拓?fù)淇臻g中任意子集都是緊致子集的兩個(gè)充分條件。

        定理1定義在有限集上的拓?fù)淇臻g中的任意子集都是緊致子集。

        定理2若拓?fù)淇臻g存在一個(gè)有限基,則該拓?fù)淇臻g中的任意子集都是緊致子集。

        證明已知拓?fù)淇臻g(X,Γ),Φ是(X,Γ)的有限基,?Y?X,則Φ|Y為(Y,Γ|Y)的有限基,由引理3知(Y,Γ|Y)是緊致空間,從而得到Y(jié)是(X,Γ)的緊致子集。

        值得注意的是,定義在有限集上和存在一個(gè)有限基不是拓?fù)淇臻g中的任意子集都是緊致子集的必要條件,比如,有限補(bǔ)空間?滿足任意子集都是緊致子集,但它既不滿足定義在有限集上,也不滿足存在一個(gè)有限基。

        引理4[1]緊致空間中的每一個(gè)閉集都是緊致子集。

        引理5[1]Hausdorff空間中的每一個(gè)緊致子集都是閉集。

        引理6[1]設(shè)A是正則空間中的緊致子集,U是A的開鄰域,則存在A的開鄰域V,使得Vˉ?U。

        引理7[1]設(shè)拓?fù)淇臻gX是Hausdorff空間,A、B是拓?fù)淇臻gX中兩個(gè)無(wú)交的緊致子集,則存在A的開鄰域U,B的開鄰域V,使得U∩V=?。

        引理8[1]已知拓?fù)淇臻gX,則下列條件等價(jià):

        (1)拓?fù)淇臻gX是不連通空間;

        (2)拓?fù)淇臻gX中存在兩個(gè)非空的開集A、B,滿足A∪B=X,A∩B=?;

        (3)拓?fù)淇臻gX中存在兩個(gè)非空的閉集A、B,滿足A∪B=X,A∩B=?;

        (4)拓?fù)淇臻gX中存在既開又閉的非空真子集。

        引理9設(shè)Y是拓?fù)淇臻g(X,Γ)中的非空連通子集,A、B是拓?fù)淇臻gX中的無(wú)交開(閉)集,且Y?A∪B,則或者Y?A或者Y?B。

        證明A、B是拓?fù)淇臻g(X,Γ)中的無(wú)交開(閉)集,則A∩Y、B∩Y就是連通空間(Y,Γ|Y)中的開(閉)集,且(A∩Y)∩(B∩Y)=?,(A∩Y)∪(B∩Y)=(A∪B)∩Y=Y。由引理8知,要么A∩Y=?,要么B∩Y=?。若A∩Y=?,則B∩Y=Y,即Y?B;若B∩Y=?,則A∩Y=Y,即Y?A。

        2 緊致子集的性質(zhì)

        2.1 緊致子集的并是緊致子集的充分條件

        定理3設(shè)A、B是拓?fù)淇臻g(X,Γ)中的緊致子集,則A∪B是(X,Γ)的緊致子集。

        證明設(shè)Λ是由拓?fù)淇臻g(X,Γ)中的開集作成的A∪B的開覆蓋,則Λ也是緊致子集A和B的開覆蓋,于是Λ存在關(guān)于緊致子集A的有限子覆蓋Λ1,關(guān)于緊致子集B的有限子覆蓋Λ2,易見Λ1∪Λ2就是Λ關(guān)于A∪B的有限子覆蓋,即A∪B是(X,Γ)的緊致子集。

        由定理3的證明易得下面的定理。

        定理4撲空間中有限個(gè)緊致子集的并仍是緊致子集。

        注:拓?fù)淇臻g中無(wú)限個(gè)緊致子集的并未必是緊致子集。

        例1{[n,n+1]|n=1,2,3,…}是實(shí)數(shù)空間?中的緊致子集族,但[n,n+1]=[1,+∞)不是實(shí)數(shù)空間?中的緊致子集。

        2.2 緊致子集的交是緊致子集的充分條件

        定理5拓?fù)淇臻g中緊致閉子集族的交仍是緊致子集。

        證明設(shè){Aγ}γ∈Γ是拓?fù)淇臻gX中的緊致閉子集族,令=A,易見A是拓?fù)淇臻gX中的閉集。取γ0∈Γ,則A?Aγ0,于是A∩Aγ0=A是緊致空間Aγ0中的閉集,由引理4知A是拓?fù)淇臻gX的子空間Aγ0中的緊致子集,再由引理1知A是拓?fù)淇臻gX中的緊致子集。

        定理6Hausdorff空間中緊致子集族的交仍是緊致子集。

        證明設(shè){Aγ}γ∈Γ是Hausdorff空間X中的緊致子集族,由引理5知{Aγ}γ∈Γ是Hausdorff空間X中的緊致閉子集族,再由定理5知結(jié)論成立。

        定理5、6給出了緊致子集族的交仍是緊致子集的兩個(gè)充分條件。一般地,拓?fù)淇臻g中緊致子集的交未必是緊致子集。

        例2已知拓?fù)淇臻gX是實(shí)數(shù)空間?和平庸空間{0,1}的積空間,證明Y1=((0,1]×{0})∪({0}×{1})和Y2=([0,1)×{0})∪({1}×{1})是積空間X中的緊致子集,并說明Y1∩Y2不是積空間X中的緊致子集。

        證明積空間X中的開集形如A×{0,1},其中A是實(shí)數(shù)空間?中的開集。設(shè)Λ是由積空間X中的開集構(gòu)成的Y1的任意開覆蓋,對(duì)于Y1中的點(diǎn){0}×{1},存在Λ中的開集A0×{0,1},使得{0}×{1}∈A0×{0,1},其中A0是實(shí)數(shù)空間?中包含0的開集,易見{0}×{0}∈A0×{0,1}。對(duì)于Y1中的點(diǎn){x}×{0},x∈(0,1],存在Λ中開集Ax×{0,1},使得{x}×{0}∈Ax×{0,1},其中Ax是實(shí)數(shù)空間?中包含x的開集,易見{x}×{1}∈Ax×{0,1}。

        綜上,Λ還是由積空間X中的開集構(gòu)成的Y1*=[0,1]×{0,1}的一個(gè)開覆蓋。又[0,1],{0,1}分別是實(shí)數(shù)空間?和平庸空間{0,1}中的緊致子集,則Y1*=[0,1]×{0,1}是積空間X中的緊致子集,于是Λ存在關(guān)于Y1*=[0,1]×{0,1}的有限子覆蓋Λ1。顯然Λ1也是Λ關(guān)于Y1的有限子覆蓋,故Y1=((0,1]×{0})∪({0}×{1})是積空間X中的緊致子集。

        同理可得Y2=([0,1)×{0})∪({1}×{1})也是積空間X中的緊致子集。易見Y1∩Y2=(0,1)×{0},而(0,1)不是實(shí)數(shù)空間?中的緊致子集,故Y1∩Y2也不是積空間X中的緊致子集。

        2.3 緊致子集的閉包是緊致子集的充分條件

        定理7設(shè)A是正則空間(X,Γ)中的緊致子集,Y?X,滿足A?Y?,則Y是正則空間(X,Γ)中的緊致子集。

        證明設(shè)Λ是由正則空間(X,Γ)中的開集作成的Y的一個(gè)開覆蓋,又A?Y,則Λ也是緊致子集A的開覆蓋,于是Λ存在關(guān)于A的有限子覆蓋Λ*={A1,A2,A3,…,An},其中Ai∈Λ,i=1,2,3,…,n。

        令U=,則U是正則空間(X,Γ)中的開集,且A?U,即U是A的開鄰域,由引理6知,存在A的開鄰域V,使得A?V??U。

        又Y?,故,即Λ*也是Λ關(guān)于Y的有限子覆蓋,因此Y是正則空間(X,Γ)中的緊致子集。

        由定理7易見正則空間中緊致子集的閉包仍是緊致子集。下面給出拓?fù)淇臻g中緊致子集的閉包不是緊致子集的例子。

        例3已知正整數(shù)集?+,定義Γ={E??+|1∈E}∪{?},易見(?+,Γ)是拓?fù)淇臻g。令A(yù)={1},則A是(?+,Γ)中的緊致子集,證明Aˉ不是(?+,Γ)中的緊致子集。

        證明(?+,Γ)中的開集是?和包含1的正整數(shù)集?+的子集,即(?+,Γ)的每一個(gè)非空開集都包含1,故(?+,Γ)不是正則空間。

        (?+,Γ)中的閉集是?、?+和不包含1的正整數(shù)集?+的子集,即包含1的閉集只有?+,因此Aˉ=?+。令A(yù)1={1},A2={1,2},A3={1,3},A4={1,4},…,則Λ={A1,A2,A3,…}是由(?+,Γ)中的開集構(gòu)成的?+的一個(gè)開覆蓋,顯然Λ不存在關(guān)于?+的有限子覆蓋,因此(?+,Γ)不是緊致空間,從而Aˉ=?+不是(?+,Γ)中的緊致子集。

        2.4 緊致子集的交是連通子集的充分條件

        定理8已知U是拓?fù)淇臻g(X,Γ)中的開集,Ω是由(X,Γ)中的緊致閉集構(gòu)成的集族,若A?U,則存在Ω的有限子集族{A1,A2,A3,…,An},使得Ai?U。

        證明取∞?X,令X*=X∪{∞},Γ1={E*?X*|X*-E*是X中的緊致閉集},則Γ*=?!圈?∪{X*}是X*的一個(gè)拓?fù)洌曳Q緊致空間(X*,Γ*)是(X,Γ)的一點(diǎn)緊化空間[1]。

        ?A∈Ω,A是(X,Γ)中的緊致閉集,故X*-A∈Γ1?Γ*。

        又U∈Γ?Γ*,故X*-U是緊致空間(X*,Γ*)中的閉集,由引理4知X*-U是(X*,Γ*)中的緊致子集。

        定理9設(shè)Ω是Hausdorff空間(X,Γ)中的非空緊致子集族,若Ω中任意有限個(gè)非空緊致子集的交都是(X,Γ)中的連通子集,則A是(X,Γ)中的連通子集。

        證明由引理5知Ω是(X,Γ)中的非空緊致閉子集族,從而得到A是(X,Γ)中的閉集,再由定理5知A是(X,Γ)中的緊致子集,故A是(X,Γ)中的緊致閉集。

        3 結(jié)束語(yǔ)

        緊致子集是拓?fù)淇臻g中一類特殊的子集,文中分別研究了拓?fù)淇臻g中任意子集是緊致子集、緊致子集的交是緊致子集和緊致子集的并是緊致子集的充分條件。類比連通子集的性質(zhì),定理7給出了在正則空間中若一個(gè)子集被“夾在”緊致子集和這個(gè)緊致子集的閉包之間,則該子集是緊致子集,從而得到正則空間中緊致子集的閉包仍是緊致子集,同時(shí)還給出了拓?fù)淇臻g中緊致子集的閉包不是緊致子集的一個(gè)具體例子。文章的最后利用拓?fù)淇臻g的一點(diǎn)緊化空間證明了拓?fù)淇臻g中緊致閉子集族的一個(gè)性質(zhì),由此給出Hausdorff空間中緊致子集族的交是連通子集的一個(gè)充分條件。

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