孫江潔，鄭治波，陳 姚，杜亞楠

（1.安徽醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)生管理學(xué)院，安徽合肥230032；2.云南保山學(xué)院，云南保山678000；3.九姑中學(xué)，安徽宿松246525；4.安徽省高等醫(yī)學(xué)教育合作委員會，安徽合肥230032）

“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”是衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)與流行病學(xué)的先修課程，也是生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一。在國家級重點醫(yī)學(xué)院校，醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生開設(shè)；在國內(nèi)大多數(shù)二本院校，醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課程面向除護理學(xué)專業(yè)外的其他學(xué)科學(xué)生開課。因此，醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課程授課對象來自不同專業(yè)，學(xué)生原有數(shù)學(xué)知識水平存在差異，加上課程內(nèi)容體系復(fù)雜、抽象，傳統(tǒng)教學(xué)效果往往不夠理想。2002年，Benkiran和Ajhoun提出學(xué)習(xí)者可根據(jù)自己的節(jié)奏進行個性化和自主化的學(xué)習(xí)[1]。2008年，智慧課堂在智慧教育的基礎(chǔ)上被正式提出，與國外smart classroom相對應(yīng)[2-3]。智慧課堂采用知識構(gòu)建理論、移動平臺和互聯(lián)網(wǎng)開展具備信息智能特色的教學(xué)模式，具備“基于數(shù)據(jù)”、“個性化”、“合作”、“動態(tài)開放”和“高效”等特點[4-5]。2018年教育部發(fā)布《教育信息2.0行動計劃》，人工智能和大數(shù)據(jù)等互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)對課堂教學(xué)產(chǎn)生了較大影響[6-7]。2020年，全球受COVID-19侵襲，傳統(tǒng)教育模式徹底被顛覆，線上教育已經(jīng)成為主流，面對如此龐大而深遠的應(yīng)急改變，如何開發(fā)和利用已有的教育教學(xué)改革成果，保障教育教學(xué)質(zhì)量成為全球教育工作者迫切需要解決的問題。

本課題組與時俱進，持續(xù)探索教育教學(xué)模式的創(chuàng)新，于2016年提出基于“自主學(xué)習(xí)—傳統(tǒng)教學(xué)—交叉協(xié)作學(xué)習(xí)”的“醫(yī)科高等數(shù)學(xué)STC教學(xué)模式”[8]，其中S指的是自主學(xué)習(xí)（Self-directed learning），T指的是傳統(tǒng)教學(xué)（Traditional teaching），C指的是交叉協(xié)作學(xué)習(xí)（Collaborative learning）。2018年申報了“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”省級智慧課堂項目，開展“主題微課程”體系建設(shè)，在“智慧課堂”的建設(shè)路徑[9]和STC教學(xué)模式方面獲得了一定的經(jīng)驗[10-11]，故在此分享基于“智慧課堂”的醫(yī)用高等數(shù)學(xué)STC教學(xué)的幾點思考。

1 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)智慧課堂綜合體系

智慧課堂將計算機、互聯(lián)網(wǎng)、人工智能和軟件輔助等手段應(yīng)用于復(fù)雜性、理論性強和抽象度高的學(xué)科教學(xué)，可提高教育教學(xué)質(zhì)量[10]。智慧課堂框架構(gòu)建討論較多，其中孫曙光和劉邦奇[13]提出的“智慧課堂”體系較容易被大眾接受。我們在此基礎(chǔ)上，結(jié)合醫(yī)科高等數(shù)學(xué)STC教學(xué)模式特點，提出“學(xué)生端、教師端和互聯(lián)云端”三端合一的醫(yī)用高等數(shù)學(xué)智慧課堂總框架。

我校臨床醫(yī)學(xué)專業(yè)的學(xué)生“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”教學(xué)內(nèi)容共計七章，內(nèi)容包括“函數(shù)、極限與連續(xù)”、“導(dǎo)數(shù)與微分”、“微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”、“不定積分”、“定積分”、“定積分的應(yīng)用”和“常微分方程”等7個一級目錄，共計151個知識點[14]。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)分為課前、課中和課后3個階段。課前為準備層，既包括教師學(xué)情分析、課前備課、微課制作與資源整合及推送、預(yù)習(xí)檢測等版塊，又包括學(xué)生的課前預(yù)習(xí)、預(yù)訓(xùn)練兼疑難備注，為課中教學(xué)集中攻關(guān)難點做準備。課中為關(guān)鍵層，這里包括教師的主題引入、主題教學(xué)和實時檢測等版塊，同時包括學(xué)生的協(xié)作、互動、探究提升等。課后為優(yōu)化層，包括教師的答疑、課后作業(yè)批改和反思等版塊，也包括學(xué)生的課后作業(yè)、評價和合作等。

2 基于智慧課堂的醫(yī)用高等數(shù)學(xué)STC教學(xué)設(shè)計

2.1 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)設(shè)計

我們以知識點“定積分的應(yīng)用之旋轉(zhuǎn)體體積”的教學(xué)為例，闡述醫(yī)用高等數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)總設(shè)計。

定積分的應(yīng)用是學(xué)習(xí)重積分的基礎(chǔ)，我們的微課程將從可視化的案例引出課題，從古典的數(shù)學(xué)百科中提煉數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的積極性，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)、獨立思考和明辨創(chuàng)新的思想意識，進一步提高學(xué)生邏輯思維能力和知識遷移能力。通過教學(xué)使得學(xué)生熟練掌握旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積公式、體積公式以及具體運用，并最終理解“無窮與有限”辯證統(tǒng)一的數(shù)學(xué)思想。

醫(yī)用高等數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)流程主要包括課前、課中和課后三個階段和師生兩端，如圖1所示。

學(xué)情分析指教師利用學(xué)生成績數(shù)據(jù)和智慧課堂教學(xué)過程中的及時反饋數(shù)據(jù)進行分析，精確掌握學(xué)生學(xué)情資料，確定課程教學(xué)目標。備課指教師根據(jù)學(xué)情分析結(jié)果，結(jié)合學(xué)生預(yù)習(xí)檢測統(tǒng)計情況設(shè)定教學(xué)目標、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方案。微視頻制作指根據(jù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合知識構(gòu)建理論，設(shè)計特定主題內(nèi)涵的2～3分鐘短視頻，用于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引出教學(xué)主題。資源整合及推送是教師根據(jù)教學(xué)目標和學(xué)情，向?qū)W生推送教學(xué)課程相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)共享資源（包括微視頻、微課、音頻、課件、圖片等）。預(yù)習(xí)檢測指教師在推送課前優(yōu)質(zhì)資源的同時，向?qū)W生推送預(yù)習(xí)后的作業(yè)，以檢測預(yù)習(xí)效果，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力。課前預(yù)習(xí)指學(xué)生課前預(yù)習(xí)智慧課堂教學(xué)平臺推送的自學(xué)內(nèi)容。預(yù)訓(xùn)練指學(xué)生在完成教師課前推送的自學(xué)內(nèi)容后完成并提交訓(xùn)練題目。疑難備注指學(xué)生將課前自學(xué)過程中出現(xiàn)的疑問記錄下來，待教學(xué)過程中集中學(xué)習(xí)解決。

主題引入指教師在教學(xué)前播放的微視頻，引出教學(xué)內(nèi)容，喚起學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。主題教學(xué)指根據(jù)教學(xué)目標、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方案開展的系統(tǒng)性教學(xué)。實時檢測指在教學(xué)過程中，教師根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀，同步開展監(jiān)測與評估，為同步修正教學(xué)策略提供數(shù)據(jù)支持。協(xié)作指學(xué)生互助學(xué)習(xí)，主要包括分組探究、游戲教學(xué)等方式開展（在這個部分，我們組建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組）?；又附虒W(xué)過程中的師生知識問答交流，以保障學(xué)生全過程投入到學(xué)習(xí)和掌握新知識的過程當中。研究提升指針對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中仍存在的問題或新發(fā)現(xiàn)的問題，又或者是與所學(xué)知識相關(guān)的實際問題，通過智慧課堂平臺進行討論、交流，提出自身見解或互助解決，進而達到互為提升的過程（在這里，我們結(jié)合定積分應(yīng)用之體積求解的主題，探究定積分公式在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用，如植皮手術(shù)策略等[9]）。

答疑指教師基于智慧課堂平臺數(shù)據(jù)分析，結(jié)合測評反饋結(jié)果，對知識點薄弱環(huán)節(jié)補充講解，對重點、難點進行深度辨析的過程，包括對學(xué)生發(fā)現(xiàn)的新問題的解答。課后作業(yè)指教師課后給學(xué)生推送的一般性作業(yè)、個性化作業(yè)和診斷性作業(yè)，同時還包括教師推送給學(xué)生下一次教學(xué)所安排的新任務(wù)。課后作業(yè)批改指教師針對學(xué)生提交的作業(yè)進行及時批改、反饋和點評的過程。評價指學(xué)生對教師教學(xué)的全過程進行有效性、科學(xué)性評估，同行聽課后的及時評估。反思指教師根據(jù)教學(xué)全過程的自身體會，結(jié)合智慧課堂平臺反饋的數(shù)據(jù)進行思考，為教學(xué)改革提供智慧。合作指師生組團完成新任務(wù)、新項目。

2.2 基于智慧課堂的STC教學(xué)案例設(shè)計

為了更好地推廣基于智慧課堂的STC教學(xué)模式，在這里提供一個醫(yī)用高等數(shù)學(xué)STC教學(xué)范式——定積分應(yīng)用舉例之旋轉(zhuǎn)體體積。

課前

教師結(jié)合醫(yī)學(xué)生數(shù)學(xué)功底不強的實際，我們在“定積分的應(yīng)用之旋轉(zhuǎn)體體積”教學(xué)過程中構(gòu)建神話故事“喇叭”，結(jié)合“喇叭悖論”，以“旋轉(zhuǎn)體——神奇的喇叭”為主題，制作完成2分鐘35秒的神話故事微視頻，在教學(xué)前推送給學(xué)生，并發(fā)布參考文獻《用帕普斯—古爾丁定理解釋喇叭悖論》[15]，提出求解喇叭側(cè)面積問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動力。

在“定積分的應(yīng)用之旋轉(zhuǎn)體體積”教學(xué)過程中，擬定知識維度（要求學(xué)生熟練掌握旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積公式、體積公式以及具體運用，理解“無窮與有限”辯證統(tǒng)一的數(shù)學(xué)思想）、能力維度（培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、運用知識的能力，認識從有限到無限轉(zhuǎn)變，進一步提高學(xué)生邏輯思維能力、知識遷移能力）和情感維度（從可視化的現(xiàn)實案例引出課題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的積極性，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的思想意識，滲透“無窮與有限”的辯證統(tǒng)一唯物觀），對教學(xué)內(nèi)容及重難點進行剖析，確立“掌握旋轉(zhuǎn)體面積、體積公式”為教學(xué)重點，“利用定積分理論分析問題、解決實際問題”為教學(xué)難點。以主題教學(xué)法和問題驅(qū)動法等教學(xué)方法構(gòu)建教學(xué)方案。

課中

[教學(xué)引入]：以“神話故事”制作微視頻推送給學(xué)生，并提出“主題懸念”（相傳在很早以前，加百利拿著神奇的喇叭，演奏出悅耳、動聽的聲樂，得到了天庭的贊賞，成就了加百利“上帝的使者，熾天使的最佳候選”，主要負責(zé)吹奏號角來宣布人的生老病死……）

這喇叭到底有何奇特之處呢？要了解真相，那要從375年前說起，當時意大利著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家托里塞利（Evangelista Torricelli）研究發(fā)現(xiàn)該喇叭無窮的面積包圍了有限的體積，如圖2所示。這種神奇的現(xiàn)象令人“難以置信”，后人稱之為“喇叭悖論”。

[切入主題]：這也就是我今天要介紹的微課內(nèi)容——定積分的幾何應(yīng)用之喇叭悖論。

圖2 托里塞利小號[16]

針對“喇叭悖論”，學(xué)者們研究了相當長的一段時間，直到1941年，美國哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家對這一悖論給出了一個通俗的描述“一個裝有π立方單位的油漆桶，其中的油漆不能涂滿油漆桶的表面”。那么這個“體積π和面積∞”是怎么得到的呢？

[主題教學(xué)]：在解決這個問題之前，先來回顧一下以前的教學(xué)內(nèi)容，規(guī)則曲線運動所形成的圓柱、圓錐、圓臺等的面積、體積公式；不規(guī)則曲線所圍成的平面圖形的面積公式，不規(guī)則曲線繞坐標軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、體積公式。

這里，基于教學(xué)內(nèi)容需要，先回顧一下旋轉(zhuǎn)體體積公式：

和側(cè)面積公式

在此基礎(chǔ)上，先分析公式形式和結(jié)構(gòu)，再著手利用公式解決托里塞利小號的神奇之源。在PPT上展示托里塞利小號的3D動畫（讓學(xué)生們切身體會旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)）。構(gòu)建坐標系，把托里塞利小號看成是函數(shù)所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。接下來，計算旋轉(zhuǎn)體體積和側(cè)面積。根據(jù)求體積的步驟，要做兩件事，找積分上下限和曲線方程。

平臺提問：該積分上下限為?選定學(xué)生回答。

平臺提問：旋轉(zhuǎn)曲線方程為?選定學(xué)生回答。

故由體積公式（1）有：

這樣一來，體積π就通過公式計算而得到了！

同理求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，由側(cè)面積公式（2）有：

至此，就全面得到了托里塞利小號體積為π、側(cè)面積為+∞的事實。用定積分公式揭示了“一個裝有π立方單位的油漆桶，其中的油漆不能涂滿油漆桶的表面”的科學(xué)性和合理性。

[小結(jié)]

本節(jié)微課是一節(jié)知識應(yīng)用課，主要展示了旋轉(zhuǎn)體體積公式（1）和旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積公式（2）在喇叭悖論中的應(yīng)用，主要從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的角度，結(jié)合圖形可視化的優(yōu)點，讓學(xué)生切實感受從直觀體驗到抽象升華的全過程，在教學(xué)過程中，滲透“無窮與有限”的辯證哲學(xué)觀，體現(xiàn)積分學(xué)中對立統(tǒng)一的哲學(xué)思想，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的美妙與神奇。

課后

發(fā)布作業(yè)并批改，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)進行后續(xù)教學(xué)改革，并向智慧課堂平臺同步發(fā)布、分享教學(xué)視頻、文本等資源。

3 結(jié)束語

我們提出的醫(yī)科高等數(shù)學(xué)STC教學(xué)模式于2018年度榮獲安徽省教育廳教學(xué)成果三等獎，微課程建設(shè)在國內(nèi)教學(xué)比賽過程中，課題組榮獲省級教學(xué)競賽一等獎1項、特等獎2項、華東地區(qū)特等獎2項、全國二等獎2項。在此基礎(chǔ)上，2018年度進一步申報智慧課堂建設(shè)項目，2019年初立項，2020年度通過安徽省省級示范課程評審，并獲立項（項目號為：2020jsk1341）。在人才培養(yǎng)方面，取得了初步成效，如當下在中山大學(xué)讀研的姜園園，自學(xué)習(xí)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課程以來，加入我課題從事助研工作4年有余，參與發(fā)表SCI、EI論文3篇、中文論文多篇。再如在山東大學(xué)讀研的王平、在校生張清、麻祖青、李夢瑩等一批學(xué)生參與發(fā)表SCI、EI、中文論文多篇。本研究基于“智慧課堂”的醫(yī)科高等數(shù)學(xué)STC教學(xué)模式打破了傳統(tǒng)的“灌輸式”教學(xué)方式，采用知識構(gòu)建理論，結(jié)合主題教學(xué)法，在整合網(wǎng)絡(luò)資源基礎(chǔ)上，構(gòu)建知識點微課程體系，從教學(xué)內(nèi)容模塊化、教學(xué)方法多樣化、教學(xué)場所時空化、教學(xué)評價及時化等多維度改革，充分體現(xiàn)出基于“智慧課堂”的醫(yī)科高等數(shù)學(xué)STC教學(xué)模式的及時性、有效性，值得推廣。