王其申

（安慶師范大學(xué)電子工程與智能制造學(xué)院，安徽安慶246133）

當(dāng)把三維拉普拉斯方程在球坐標(biāo)(r,θ,φ)下分離變數(shù)時(shí)，所得到的與緯度坐標(biāo)θ相關(guān)的常微分方程就是連帶勒讓德方程（也稱締合勒讓德方程）。作為其特殊情況，當(dāng)問題具有軸對(duì)稱性，即問題與經(jīng)度方向坐標(biāo)φ無關(guān)時(shí)，該方程簡(jiǎn)化為勒讓德方程：

對(duì)式（1）中的自變量θ作變換x=cosθ，并記Θ(θ)=y(x)，式（1）轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式的勒讓德方程：

此方程在邊界條件y(±1)有界的約定下，相應(yīng)的特征函數(shù)就是本文所要討論的勒讓德多項(xiàng)式Pn(x)(n=0,1,2,…)，它的級(jí)數(shù)表達(dá)式是

其中，[·]表示取整函數(shù)，即為方括號(hào)內(nèi)數(shù)字的整數(shù)部分，下同。

勒讓德多項(xiàng)式是物理學(xué)中一類非常重要的特殊函數(shù)。它不僅在理論物理的各個(gè)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用價(jià)值，在工程問題中同樣有諸多應(yīng)用。因此，國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)物理方法教材中都用專門的一章來介紹勒讓德多項(xiàng)式以及更為廣泛的球函數(shù)[1-6]。通常，也會(huì)介紹勒讓德多項(xiàng)式的一系列性質(zhì)，諸如它的微分和積分表達(dá)式，母函數(shù)及其遞推關(guān)系，正交歸一性乃至按勒讓德多項(xiàng)式的展開定理等。

為了進(jìn)一步拓展勒讓德多項(xiàng)式的應(yīng)用范圍，本文作者以為，除了必須掌握數(shù)學(xué)物理方法教科書中所介紹的有關(guān)勒讓德多項(xiàng)式的一系列重要性質(zhì)外，還有必要進(jìn)一步討論其他一些重要性質(zhì)?；诖?，本文討論了有關(guān)勒讓德多項(xiàng)式的某些展開定理以及它的一階和二階導(dǎo)數(shù)的廣義傅立葉展開式。

1 與勒讓德多項(xiàng)式相關(guān)的兩個(gè)展開定理

從勒讓德多項(xiàng)式的正交歸一關(guān)系出發(fā)，數(shù)學(xué)物理方法的通用教材[2-6]中都敘述了如下的展開定理。

展開定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在區(qū)間[-1,1]上可以展成如下絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)：

其中

從上面的展開定理出發(fā)，不難證明下述兩個(gè)定理。

定理1設(shè)函數(shù)f(x)是區(qū)間[-1,1]上的偶函數(shù)并滿足上述展開定理中的可微性條件，則f(x)可以展成如下絕對(duì)且一致收斂的僅由偶數(shù)階勒讓德多項(xiàng)式組成的級(jí)數(shù)：

其中

定理2設(shè)函數(shù)f(x)是區(qū)間[-1,1]上的奇函數(shù)并滿足上述展開定理中的可微性條件，則f(x)可以展成如下絕對(duì)且一致收斂的僅由奇數(shù)階勒讓德多項(xiàng)式組成的級(jí)數(shù)：

其中

以上兩個(gè)定理的證明完全相似，下面僅就定理1予以證明。

證明由勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)表達(dá)式（3）不難看出，奇數(shù)階勒讓德多項(xiàng)式僅由奇次冪函數(shù)組成，而偶數(shù)階勒讓德多項(xiàng)式同樣僅由偶次冪函數(shù)組成，以下將其分別稱為純奇數(shù)階多項(xiàng)式和純偶數(shù)階多項(xiàng)式。顯然它們分別屬于奇函數(shù)和偶函數(shù)。因此，當(dāng)f(x)是區(qū)間[-1,1]上的偶函數(shù)時(shí)，由式（5）以及定積分的運(yùn)算性質(zhì)，有(x)P2n+1(x)dx=0,n=0,1,2,…；

以此帶入式（4），定理1得證。

推論1純偶數(shù)階多項(xiàng)式必能展開為僅由偶數(shù)階勒讓德多項(xiàng)式組成的絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)。

推論2純奇數(shù)階多項(xiàng)式必能展開為僅由奇數(shù)階勒讓德多項(xiàng)式組成的絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)。

注意到純偶（奇）數(shù)階多項(xiàng)式顯然是偶（奇）函數(shù)，以上推論顯然成立。著名的勒讓德多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞推公式(2n+1)xPn(x)=(n+1)Pn+1(x)+nPn-1(x)，（n=1,2,3,…）可以視為定理1和2的具體例子。

2 勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)廣義傅立葉展開式

作為上面所建立的兩個(gè)展開定理的應(yīng)用，下面給出兩個(gè)廣義傅立葉展開式。

定理3成立如下的勒讓德多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)的廣義傅立葉展開式：

證明用數(shù)學(xué)歸納法證明。首先，顯然有

其次，假設(shè)n=k時(shí)成立，即

現(xiàn)在證明n=k+1時(shí)亦成立。事實(shí)上，由勒讓德多項(xiàng)式的另一個(gè)著名遞推公式

利用歸納假設(shè)，當(dāng)n=k+1時(shí)，有

其中，第3個(gè)等式是利用勒讓德多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞推公式，并在其中令n=k-1-2m而得到的。

特別地，P′3(x)=5P2+P0，P′4(x)=7P3+3P1，P′5(x)=9P4+5P2+P0，P′6(x)=11P5+7P3+3P1。據(jù)此，還可以給出如下遞推公式：P′n(x)=(2n-1)Pn-1+P′n-2,n=1,2,3,…。這是一個(gè)以往教材中沒有出現(xiàn)過的新的遞推公式。

從定理3出發(fā)，可以進(jìn)一步證明下面的定理。

定理4成立如下的勒讓德多項(xiàng)式的二階導(dǎo)數(shù)的廣義傅立葉展開式：

證明對(duì)式（8）兩邊求導(dǎo)，有，應(yīng)用式（8）于此式的右端，注意到當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，[(2n-1)/2]=[(2n-2)/2]，而當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)上式和數(shù)中的最后一項(xiàng)實(shí)際上是零，從而可以更改求和上標(biāo)，即有

交換式（10）中的兩個(gè)求和號(hào)的次序并以t=m+k代替k，則有

或者換一種方法，將式（10）改寫為下列矩陣乘積的形式：

注意到這個(gè)矩陣乘積中間的方陣恰好是上三角矩陣以及

以上兩種方法都證出了結(jié)論，如式（9）。

應(yīng)用定理4，有

3 結(jié)束語(yǔ)

以上我們給出了有關(guān)按勒讓德多項(xiàng)式展開的兩個(gè)定理，以及勒讓德多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的廣義傅立葉展開式。這些結(jié)果的導(dǎo)出過程不算困難，如果在教學(xué)中有意引導(dǎo)學(xué)生自行導(dǎo)出本文的上述結(jié)論，這對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn)能力是十分有益的。