曹月波,倪科社

(石河子大學師范學院數(shù)學系,石河子832003)

平面上有限級Dirichlet級數(shù)和隨機Dirichlet級數(shù)的增長性

曹月波,倪科社

(石河子大學師范學院數(shù)學系,石河子832003)

利用型函數(shù)及Newton多邊形討論了平面上有限級Dirichlet級數(shù)和隨機Dirichlet級數(shù)的增長性和系數(shù)間的關系。通過引理得出:當時,Dirichlet級數(shù)的增長性和系數(shù)間的重要關系,以及對于隨機變量序列滿足條件:存在α＞0,使得snu≥p0E(|Xn|α) ＜ ∞;存在β＞ 0,使得的隨機 Dirichlet級數(shù) f(s,ω)和 Dirichlet級數(shù)有幾乎相同的關于型函數(shù)的增長性。

Dirichlet級數(shù);增長性;有限級;型函數(shù);下級

ey words:Dirichlet Series;growth;finite-order;type-function;lower-order

這種級數(shù)是Dirichlet在研究數(shù)論時引進的。特別地,當λn=n,e-s=z時,Dirichlet級數(shù)變成了 Taylor級數(shù),因此,Dirichlet級數(shù)可看做是 Taylor級數(shù)的推廣。對Dirichlet級數(shù)增長性的研究具有重大的理論和現(xiàn)實意義。

Dirichlet級數(shù)的增長性和它的指數(shù)及系數(shù)之間有著密切的聯(lián)系,在這方面國內外數(shù)學家作了大量研究[1～13]。其中,余家榮等[1]引入了概率中的一些重要結論和不等式,研究了滿足一定條件的獨立同分布的隨機Dirichlet級數(shù)的收斂性和增長性;田宏根等[2,3]對平面上零級Dirichlet級數(shù)的增長性進行了研究;劉名生[4]對半平面上有限級Dirichlet級數(shù)的正規(guī)增長進行了深入研究得到了重要結果;羅仕樂[5]對半平面上無限級 Dirichlet級數(shù)與隨機Dirichlet級數(shù)的增長性進行了研究;尚麗娜[6]對全平面上零級Dirichlet級數(shù)的增長性進行了研究;而金其余等[7]對左半平面上的無限級Dirichlet級數(shù)的上下級進行了研究。

本文對平面上有限級的Dirichlet級數(shù)及隨機Dirichlet級數(shù)當時下級的情況進行討論。

1 定義及引理

設Dirichlet級數(shù)

式(1)、(2)中{bn}為復數(shù)序列,σ和‘t為實變量。

級數(shù)(1)在全平面上是收斂與絕對收斂的,由它表示的函數(shù) f(s)為一整函數(shù)。令稱為級數(shù)(1)的級,稱為級數(shù)(1)的下級 ,稱υ(σ)為f(s)的最大項指標。

當級數(shù)(1)滿足式(2)時,在oxy直角坐標平面上作點列,任取σ＞0,過點An作斜率為σ的直線與y軸的交點為y=-λnσ-ln|bn|,即取定σ＞ 0,L(σ)與 y 軸的交點越低,對應項的對數(shù)值就越大。因此,過最大項指標υ決定的點斜率為的直線的下方不會有{An}中的點。

記W(f)={最大項指標集合},H(f)={最大項指標決定的點集}。連接 H(f)中的點,得到一個以最大項指標決定的點為頂點的凸多邊形Y(f),稱其為牛頓多邊形。?σ＞0,斜率為σ的直線L(σ)與Y(f)相切,即 L(σ)在 Y(f)的下方 ,且與 Y(f)只有一個交點時,所過點的對應項必是最大項。L(σ)與Y(f)的一條邊重合時,L(σ)上至少有{An}中的兩個點都對應σ的最大項,但只有頂點對應的指標λn且n最大時才為最大項指標。

最大項指標是單調上升左連續(xù)的階梯函數(shù),記υ(σ)的間斷點為它滿足＞ 0,k=1,2,…,稱{λNk}為最大項指標序列,且對應的點是 Y(f)的頂點。

本文中C表示常數(shù),且先后出現(xiàn)表示不同的意義,不再一一說明。在以上規(guī)定下,本文得到以下關于平面上有限級Dirichlet級數(shù)的重要結果。

2017年12月，廣東發(fā)改委就曾開展港珠澳大橋車輛通行收費標準聽證會，對比當時的兩個聽證方案，最終正式公布的收費方案主要是降低了穿梭巴士的通行費，由原來的450元/車次降至300元/車次，這也大大降低了來往游客的消費標準。

引理1[1]在前述最大項指標及牛頓多邊形的規(guī)定下,存在正整數(shù) M,使當 k＞M時,有:

引理2[1]在條件(2)及前述最大項與最大項指標的規(guī)定下,有:

引理3[2]設Dirichlet級數(shù)(1)滿足條件(2),則對有

引理4[3]設Dirichlet級數(shù)的級ρ為有限正數(shù) ,引進函數(shù) U(σ)=rρ(σ),其中ρ(σ)在σ≥σ0上非負、連續(xù)、單調,且滿足=0;③對于任意正數(shù)

引理5設U(σ)是型函數(shù),若Dirichlet級數(shù)滿足(2),則

2 主要結果

定理1 設U(σ)是型函數(shù),若Dirichlet級數(shù)滿足條件(2)

而由型函數(shù)的性質知:對任意的ε＞0,當σ足夠大時有:

對充分大的σ＞ 0,存在 k使得σ ∈[σk-1,σk),此時υ(σ)=λNk-1,故有

而由引理1知,存在正整數(shù) M,使當 k＞ M時,有:

上述證明結合引理5可知本定理結論成立。

設隨機Dirichlet級數(shù)

記 f(s,ω)的最大模和最大項分別為

引理6若{Xn(ω)}是概率空間中獨立復隨機變量列,且滿足式(4),則對存在 N(ω) ∈N,當 n ＞ N(ω)時,有

定理2設U(σ)是Dirichlet級數(shù)的型函數(shù),隨機變量序列{Xn(ω)}滿足引理6的條件。若隨機Dirichlet級數(shù)滿足條件(2),則下式成立:

由引理6知,當 n充分大時,有

由以上討論可知本定理2成立。

3 小結

研究有限級Dirichlet級數(shù)和隨機Dirichlet級數(shù)關于型函數(shù)的下級是研究Dirichlet級數(shù)的一個重要方面。本文利用型函數(shù)及Newton多邊形,對平面上有限級Dirichlet級數(shù)的增長性進行了研究,并得出了當時級數(shù)的增長性和系數(shù)及指數(shù)間的重要關系,得出了在 Xn滿足一定條件下兩類級數(shù)有幾乎相同的關系型函數(shù)的增長性。

[1]田宏根,孫道椿,鄭承民.平面上零級Dirichlet級數(shù)[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2006,26(3):270-276.

[2]余家榮,丁曉慶,田范基.Dirichlet級數(shù)與隨機Dirichlet級數(shù)的值分布[M].武漢大學出版社,2004:39-41.

[3]劉名生.半平面上有限級Dirichlet級數(shù)的正規(guī)增長[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2002,22(2):229-238.

[4]羅仕樂,孫道椿.半平面上無限級Dirichlet級數(shù)與隨機Dirichlet級數(shù)的增長性[J].數(shù)學物理學報:A輯,2009,29(2):475-485.

[5]尚麗娜.全平面上零級Dirichlet級數(shù)的增長性[J].數(shù)學的實踐與認識,2007,37(18):151-154.

[6]Tian Hong-gen,Sun Dao-chun.The Growth of the Zero Dirichlet Series in Right Half Plane[M].Chin.Quart J of Math,2007,22(4):512-517.

[7]金其余,鄧冠鐵,郭曉晶.左半平面上的無限級Dirichlet級數(shù)的上下級[J].北京師范大學學報:自然科學版,2008,44(4):354-359.

[8]丁曉慶,劉軍霞,孫華杰.整Dirichlet級數(shù)的增長性[J].西安工業(yè)大學學報,2007,27(6):588-590.

[9]曹月波,田宏根.雙隨機 Taylor級數(shù)的收斂性和增長性[J].濟南大學學報,2008,22(2):203-205.

[10]HUO Ying Ying,SUN Dao Chun.The Growth of Random DirichletSeries[J].Journal ofMathematical Research&Exposition,2008,28(4):1027-1030.

[11]Sun Daochun,Yu Jiarong.On the Distribution of Values of Random Dirichlet Serie(II)[J].Chin Ann of Math:series B,1990,11(1):28-41.

[12]陳聚峰,劉名生.有限級Dirichlet級數(shù)及隨機Dirichlet級數(shù)[J].數(shù)學物理學報:A輯,2005,25(7):965-973.

[13]楊祺.零級Dirichlet級數(shù)和隨機Dirichlet級數(shù)的增長性[J].石河子大學學報:自然科學版,2008,26(2):261-264.

The Growth of Finite-order Dirichlet Series and Random Dirichlet Series on the Plane

CAO Yuebo,NI Keshe
(Department of Mathematics,Teachers College,Shihezi University,Shihezi 832003,China)

O174.52 < class="emphasis_bold">文獻標識碼:A

A

The relations between the cofficient and the growth of the finite-order Dirichlet series and random Dirichlet series on the plane are studied in the use of Newton polygon.It gains some lemmas and relations bettween the cofficient and the growth of the finite-order Dirichlet series whenr=eσ(σ→+ ∞),and further proves that the growth of random Dirichletis almost surely equal to the growth of Dirichlet serieswhen the random variable sequencesatisfies the condition: ?α＞0 andβ＞0,making snu≥p0and snu≥p0K

2009-12-11

曹月波(1980-),男,講師,從事復分析研究;e-mail:caoyuebo?tea@shzu.edu.cn。