陳文生

(宿遷高等師范學(xué)校 數(shù)學(xué)系，江蘇 宿遷 223800)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性以及求和是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而有趣的研究課題，長(zhǎng)期以來(lái)備受人們的關(guān)注。 很多學(xué)者做了大量工作，對(duì)某些具有特殊通項(xiàng)表達(dá)式的無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性或求和總結(jié)出一些規(guī)律性的解法(見(jiàn)文獻(xiàn)[1]-[4])。 本文從無(wú)窮級(jí)數(shù)部分和的子序列的角度，把級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化數(shù)列極限的計(jì)算問(wèn)題，給出了一種判斷級(jí)數(shù)斂散性的方法，并且給出了這種方法在無(wú)窮級(jí)數(shù)求和以及判斷級(jí)數(shù)斂散性中的某些應(yīng)用。

數(shù)列{Sn}的斂散性可由其子列來(lái)研究，并且有一個(gè)重要的結(jié)論。

引理1[5]：數(shù)列{Sn}收斂的充分必要條件是{Sn}的任一子列都收斂，且有相同的極限。

特別地，由引理1，可得

引理2： 數(shù)列{Sn}收斂于S的充分必要條件是{Sn}的兩個(gè)子列{S2n}和{S2n-1}都收斂于同一極限。

此時(shí)，稱兩個(gè)子列{S2n}和{S2n-1}為互補(bǔ)子序列。

可將引理2推廣到一般情形。

定理1： 數(shù)列{Sn}收斂于S的充分必要條件是{Sn}的p(p是某個(gè)正整數(shù))個(gè)子列{Spn}，{Spn-1}，…{Spn-(p-1)}都收斂于同一極限S。

證明 當(dāng)p=1，p=2時(shí)，結(jié)論顯然成立；下面證明當(dāng)p=3時(shí)結(jié)論成立，其他情形類似可證。 由引理1可知“必要性”顯然，只要證明“充分性”。 由條件，{Sn}的3個(gè)子列{S3n}，{S3n-1}， {S3n-2}都收斂于同一極限S，于是，由數(shù)列收斂的“ε-N”定義可得，對(duì)任意的ε>0，存在一個(gè)充分大的正數(shù)N>0，當(dāng)n>N時(shí)，此時(shí)n=3k或n=3k-1或n=3k-2，從而有|S-Sn|<ε，故證得數(shù)列{Sn}收斂于S。

2 主要結(jié)果

進(jìn)一步，可將定理2推廣到一般情形：

3 結(jié)論應(yīng)用

本小節(jié)我們給出子序列方法在無(wú)窮級(jí)數(shù)求和以及判斷級(jí)數(shù)斂散性中的某些應(yīng)用。

(1)

其中C=0.577216…稱為Euler常數(shù)，且εn→0(當(dāng)n→∞時(shí))。對(duì)于原級(jí)數(shù)，并由(1)式可知

=C+ln2n+ε2n-C-CLNN-εn

=ln2+ε2n-εn→n2(當(dāng)n→∞時(shí))。

所以，由定理3知，原級(jí)數(shù)收斂，其和為S=ln2。

例2： 計(jì)算

解： 易知此級(jí)數(shù)通項(xiàng)an→0(當(dāng)n→∞時(shí))，觀察原級(jí)數(shù)后，考察部分和數(shù)列的子列{S3n}的極限。對(duì)于原級(jí)數(shù)，并由(1)式可知

=C+ln3n+ε3n-(C+ln(n+1)+εn-1)→ln3+1(當(dāng)n→∞時(shí))。

所以，由定理3知，原級(jí)數(shù)收斂，其和為S=ln3+1。

例4： 證明調(diào)和級(jí)數(shù)

證明： 考察調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{Sn}(此時(shí)p=1)，并由(1)式知

=C+lnn+εn→+∞(當(dāng)n→∞時(shí)，并注意到lnnn→+∞)

故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。

例5： 證明級(jí)數(shù)

證明： 雖然此級(jí)數(shù)的通項(xiàng)an→0(當(dāng)n→∞時(shí))，但它的部分和數(shù)列的一個(gè)子列{S3n}是發(fā)散的。

故原級(jí)數(shù)發(fā)散。

通過(guò)上述幾例我們可以看到，本文所給的子序列方法不僅能夠判定級(jí)數(shù)斂散性，而且能進(jìn)一步求出一些特殊無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。 與現(xiàn)有常用的級(jí)數(shù)斂散判別法相比，在某些情況下這種方法則更具有優(yōu)越性。 這是因?yàn)?，子序列方法是從收斂?jí)數(shù)的部分和數(shù)列的角度，把級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟知的數(shù)列極限的計(jì)算問(wèn)題的。 應(yīng)該說(shuō)它是對(duì)現(xiàn)有方法的一個(gè)很好的補(bǔ)充。

[參考文獻(xiàn)]

[1] Bart Braden.Calculating sums of infinite series[J]. Amer. Math. Monthly,1992,99(7):649-655.

[2] Boas R. P.. Partial sums of infinite series and how they grow[J]. Amer. Math. Monthly, 1977, 84:237-258.

[3] 孫珍，李壽貴，張愛(ài)麗. 關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的研究[J]. 數(shù)學(xué)雜志，2009，29(4)：490-292.

[4] 朱文輝，張亭. P級(jí)數(shù)的求和[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21(3)：114-116.

[5] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)[M].2版. 北京：高等教育出版社，1991：43.

[6] 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993：19-20，338-340.