◎聶 濤

(南京科技職業(yè)學(xué)院，江蘇 南京 210048)

用冪級(jí)數(shù)研究常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

◎聶 濤

(南京科技職業(yè)學(xué)院，江蘇 南京 210048)

冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單也是最重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算等方面都具有重要作用，同時(shí)它在研究常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)方面也有重要的貢獻(xiàn).本文通過舉例闡述了如何用冪級(jí)數(shù)判斷常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性并進(jìn)一步求和.

冪級(jí)數(shù)；常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；斂散性；和函數(shù)

一、用冪級(jí)數(shù)判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性

判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法有很多.有的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以用定義法，即通過求解部分和數(shù)列{Sn}的極限來判斷；有的可以運(yùn)用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)來判斷.對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，又有很多不同的判斷方法，例如比較判別法、比值判別法、積分判別法、對(duì)數(shù)判別法、高斯判別法等等.還有交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法.

對(duì)于某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，這些方法都無法判斷其斂散性，而通過冪級(jí)數(shù)展開式可以將原級(jí)數(shù)化成比較容易判斷其斂散性的正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)或任意項(xiàng)級(jí)數(shù).下面先給出萊布尼茲定理的推論.

分析 這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，無法用萊布尼茲定理判斷其收斂性，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)也不能用，而將通項(xiàng)取絕對(duì)值之后也無法用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法判斷，考慮到通項(xiàng)中函數(shù)的特點(diǎn)，可以用冪級(jí)數(shù)展開化簡(jiǎn).

二、用冪級(jí)數(shù)求收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和

一個(gè)收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和就等于它的部分和數(shù)列的極限值，而對(duì)于部分和不可求或難以求解的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，可以構(gòu)造一個(gè)冪級(jí)數(shù)，求出它的和函數(shù)，然后求該和函數(shù)在某一點(diǎn)處的函數(shù)值.