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        回歸教材分析,探究中點四邊形的面積計算

        2016-06-01 11:29:54林文權(quán)
        關(guān)鍵詞:位線對角線中點

        ◎林文權(quán)

        (福建省晉江市南灣中學(xué),福建 晉江 362256)

        回歸教材分析,探究中點四邊形的面積計算

        ◎林文權(quán)

        (福建省晉江市南灣中學(xué),福建 晉江 362256)

        “中點四邊形”是在掌握了三角形的中位線定理后,結(jié)合平行四邊形的判定所進行探索延伸,通過探索,可知“中點四邊形”必為平行四邊形.當原四邊形的對角線相等或垂直時,該“中點四邊形”會形成特殊的平行四邊形(矩形、菱形或正方形),從中我們知道原四邊形對角線的特殊關(guān)系決定“中點四邊形”的特殊性.在探索過程中也發(fā)現(xiàn)由原四邊形各邊中點所構(gòu)成的新四邊形的面積與原四邊形存在著特殊的數(shù)量關(guān)系,下面我將運用實例就此類圖形所蘊含的面積關(guān)系加以探討及拓展延伸.

        一、借助“三角形中位線”,求“中點四邊形”的面積

        圖1

        【案例】已知:如圖1,在四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,且S四邊形ABCD=10.求:S四邊形EFGH.

        【解法】∵E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,

        根據(jù)中位線定理,很容易得到:

        ∴S△AEH+S△BEF+S△CFG+S△DGH

        【評析】以上僅僅提供一種利用三角形中位線,即相似三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形的面積和差關(guān)系,來求“中點四邊形”面積的方法.這種方法比較直接,又能充分結(jié)合數(shù)學(xué)的化歸思想,把求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求三角形的面積,把“中點四邊形”的問題轉(zhuǎn)化為“三角形中位線”的問題,充分調(diào)動和運用已有的知識、經(jīng)驗和方法應(yīng)用于問題的解決.得到結(jié)論:“中點四邊形”的面積等于原四邊形面積的一半.

        二、借助“中點四邊形”面積,求對角線互相垂直的原四邊形的面積

        圖2

        【案例】已知:如圖2,在四邊形ABCD中,對角線AC⊥BD于O,且AC=6,BD=8.

        求:S四邊形ABCD.

        【解法一】

        S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD

        【解法二】

        易得,S矩形EFGH=EF·FG=3×4=12,

        所以S四邊形ABCD=2S矩形EFGH=24.

        【評析】本題比較簡單,解法一學(xué)生比較容易想到,也是比較正常的方法;解法二,對角線互相垂直的“中點四邊形”是矩形,求矩形面積學(xué)生很熟悉,再借助“中點四邊形”的面積等于與原四邊形面積的一半,就可以巧妙求出原四邊形的面積.得到結(jié)論:對角線互相垂直的四邊形的面積等于兩條對角線積的一半.

        三、借助“中點四邊形”面積,求四邊形對邊中點連線分割的圖形的面積

        圖3

        【案例】已知:如圖3,在四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,EG,F(xiàn)H相交與點O,其中S1,S2,S3,S4分別表示四個小四邊形的面積,且S四邊形ABCD=20.求:S1+S3.

        【解法】∵△AEF∽△ADB,△BFG∽△BAC,△CGH∽△CDB,△DHE∽△DCA,

        且EF,F(xiàn)G,GH,HE分別是△ADB,△BAC,△CDB,△DCA的中位線,

        ∴S△AEF+S△CGH=S△BFG+S△DHE.

        綜上所述:

        ∵S△EFO=S△FGO=S△GHO=S△HEO,

        S△AEF+S△CGH=S△BFG+S△DHE,

        ∴(S△AEF+S△EFO)+(S△CGH+S△GHO)=(S△BFG+S△FGO)+(S△DHE+S△HEO),

        【評析】根據(jù)解題慣性思維,學(xué)生很容易想到:依次連接四邊形各邊中點所成的圖形(中點四邊形)是平行四邊形.通過依次連接E,F(xiàn),G,H,將每個小四邊形又分割為兩個小三角形,從中發(fā)現(xiàn)三角形與要找面積存在的聯(lián)系.可以得到結(jié)論:四邊形對邊中點連線所分割的四個小四邊形,不相鄰的兩個小四邊形的面積之和相等.

        四邊形的中點作為特殊位置上的點,無論是由此引發(fā)的“中點四邊形”的面積或是其他與中點有關(guān)的圖形的面積,必有其特殊性,要注意聯(lián)系三角形的中位線定理,相似三角形的性質(zhì),面積分割的和差關(guān)系、同底等高等積關(guān)系,善于整合相關(guān)知識,起到舉一反三的效果.

        2016年度福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項課題“基于教材分析的初中數(shù)學(xué)校際教研的實踐研究”立項批準號:FJJKXB16-023.

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