丁 慧 崔國范 王鳳玲

（綏化學(xué)院信息工程學(xué)院 黑龍江綏化 152061；2.黑河學(xué)院 黑龍江黑河 164300）

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，其中判斷函數(shù)項級數(shù)的一致斂散性是一重點及難點問題，其中判別級數(shù)收斂的方法很多，如何能深入系統(tǒng)地把握各種方法間的關(guān)系，運用判別法靈活、快捷地解決問題是我們積極探索的問題。

一、判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法

判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法有柯西一致收斂原理，M判別法，阿貝爾及狄利克雷判別法等，他們的具體內(nèi)容如下：

引理1[1]（Cauchy一致收斂原理）級數(shù)在D一致收斂的充要條件為：?ε＞0，?N，當(dāng) n＞N，?p∈N，?x∈D，有

引理2[2]（M判別法）設(shè)級數(shù)un(x)定義在區(qū)間D上，是收斂的正項級數(shù)。若當(dāng)n充分大時,對?x∈D，有則在D上一致收斂。

對于此定理要注意，若級數(shù)在區(qū)間D上不存在優(yōu)級數(shù)，則不能推出級數(shù)在區(qū)間D上非一致收斂.

引理3[1]（Abel判別法）設(shè)級數(shù)滿足：

（2）對每個x∈D，數(shù)列{vn(x)}單調(diào)，且函數(shù)列{vn(x)}在D上一致有界,即?M＞0,使對于?x∈D，?n，有 |vn(x)|≤M，則級數(shù)在區(qū)間D上一致收斂。

引理4[2]（Dirichlet判別法）設(shè)級數(shù)滿足：

（1）級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間D上一致有界；

（2）對于每一個D，數(shù)列{vn(x)}單調(diào)且在區(qū)間D上函數(shù)列{vn(x)}一致收斂于零，則級數(shù)在區(qū)間D上一致收斂。

二、研究結(jié)果

凡凡種種的數(shù)學(xué)分析教材都能指出狄利克雷判別法包含了阿貝爾判別法，狄利克雷判別法還包含了交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，我們將給出狄利克雷判別法也包含了一致柯西收斂原理,狄利克雷判別法的推廣到復(fù)數(shù)域的形式以及與其他判別法的系統(tǒng)關(guān)系圖。

（一）狄利克雷判別法包含一致柯西收斂原理。

定理1 若級數(shù)滿足狄利克雷判別法，則級數(shù)滿足一致柯西收斂原理。

證明：因為部分和函數(shù)列有界，則max{|vk(x)|,|vm(x)}|是有界的，即

同時，由于級數(shù)一致收斂，根據(jù)柯西收斂原理，對于任意的ε＞0，對于足夠大n和k＞n，以及任何x∈E,有

又因為不等式

于是，級數(shù)滿足一致柯西收斂原理。

（二）狄利克雷判別法推廣形式。函數(shù)項級數(shù)一致收斂的狄利克雷判別法不僅在實數(shù)域上成立，而且可以推廣到復(fù)數(shù)域上，推廣形式如下：

定理 2[3]設(shè) E?X，un:X→C,其中 C是復(fù)函數(shù)，vn:X→R,其中R是實函數(shù)，級數(shù)滿足：

（1）級數(shù)的部分和在E上一致有界；

則級數(shù)在E?X上一致收斂。

由這個定理我們給出為數(shù)項級數(shù)時，并將條件{vn}弱化為{vn}，其修正后是單調(diào)的，且構(gòu)成絕對收斂級數(shù)。

定理3 設(shè)E?X，un:X→C,其中C是復(fù)數(shù)，vn:X→R,其中R是實數(shù)，級數(shù)滿足：

（1）級數(shù)的部分和在E上有界；

（2）{γn}在 E單調(diào)，且構(gòu)成絕對收斂級數(shù)；則級數(shù)在E上收斂。

證明:級數(shù)的部分和在E上有界，即存在M＞0,使得（不依賴于的常數(shù)），則在E上，?p＞0，恒有

{γn}在 E 構(gòu)成絕對收斂級數(shù)，則滿足?ε＞0，?N，當(dāng) n＞N，?p∈N，有ε，進而有

所以級數(shù)在E上收斂。

（三）狄利克雷判別法與其他一致收斂判別法的關(guān)系圖。

函數(shù)項級數(shù)一致收斂的狄利克雷判別法包含阿貝爾判別法、柯西收斂原理，同時它也可以推廣到對于任意點集的復(fù)數(shù)域上函數(shù)項級數(shù)，其中點集可以是有限區(qū)間，也可以是無限區(qū)間.狄利克雷判別法不僅可以特殊化為交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法，而且可以將數(shù)項級數(shù)條件弱化為{vn}，當(dāng)修正后是單調(diào)的，且構(gòu)成絕對收斂級數(shù).

三、結(jié)束語

從對于函數(shù)項級數(shù)一致收斂的狄利克雷判別法入手，詳細(xì)地論證出了狄利克雷判別法與其它判別法間的關(guān)系，展現(xiàn)了知識間的系統(tǒng)聯(lián)系性.同時，給出狄利克雷判別法的推廣及弱化的數(shù)項級數(shù)的斂散條件，使解決的對象外延擴大，而且便捷有效地解決函數(shù)項的一致收斂這一難點問題.

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