陳實(shí) 石昌梅 彭春源 何丁莉

[摘? ? ? ? ? ?要]? 達(dá)朗貝爾判別法是判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性一種非常方便和常用的方法，這種方法對(duì)某些級(jí)數(shù)斂散性的判別卻是無(wú)效的.主要通過(guò)舉例說(shuō)明達(dá)朗貝爾判別法失效的兩種情況，給出了判別這類級(jí)數(shù)斂散性的一些方法和思路.

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 正項(xiàng)級(jí)數(shù);達(dá)朗貝爾判別法;斂散性;失效

[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）32-0056-02

無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要組成部分，無(wú)窮級(jí)數(shù)又分為數(shù)值級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，數(shù)值級(jí)數(shù)是研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基礎(chǔ).函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是用于表示函數(shù)的一個(gè)重要工具，特別是非初等函數(shù)的表示問(wèn)題.對(duì)某些函數(shù)，利用冪級(jí)數(shù)可將其表示成無(wú)窮項(xiàng)多項(xiàng)式的和，同時(shí)通過(guò)選取有限項(xiàng)來(lái)近似計(jì)算時(shí)可以估計(jì)其誤差等.所以，無(wú)窮級(jí)數(shù)對(duì)于研究函數(shù)起到非常重要的作用.

對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)最重要的問(wèn)題是什么呢？對(duì)給定的級(jí)數(shù)，最核心的兩個(gè)問(wèn)題是：（1）判別所給級(jí)數(shù)是否收斂;（2）如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)的和為多少？所以，對(duì)一個(gè)級(jí)數(shù)而言，首當(dāng)考慮的是其斂散性的判別問(wèn)題.那么，如何判別一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性呢？有關(guān)級(jí)數(shù)斂散的判別法有很多，常用的方法有：（1）利用級(jí)數(shù)斂散的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列極限的問(wèn)題，這種方法的前提是所給級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和要能夠比較容易地計(jì)算出來(lái)，這對(duì)許多級(jí)數(shù)而言都是比較困難的，例如級(jí)數(shù);（2）利用級(jí)數(shù)斂散性的柯西收斂準(zhǔn)則，這種方法是級(jí)數(shù)理論上的一個(gè)非常重要的結(jié)果，但對(duì)具體的級(jí)數(shù)而言，柯西收斂準(zhǔn)則應(yīng)用起來(lái)會(huì)比較麻煩，甚至?xí)灰着袆e;（3）可以借助已知斂散性的級(jí)數(shù)，以及級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)進(jìn)行判別;（4）利用級(jí)數(shù)相關(guān)判別法，例如比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、萊布尼茨判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法等[1].

正項(xiàng)級(jí)數(shù)作為數(shù)值級(jí)數(shù)的一類重要類型，其斂散性判別法常用的有比較判別法、柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法等，為了使判別法更精細(xì)、應(yīng)用更廣泛，學(xué)者們?cè)谝延械倪@些經(jīng)典方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入地研究和探討正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法，例如有關(guān)推廣判別法的研究，文獻(xiàn)[2]對(duì)拉貝判別法和達(dá)朗貝爾判別法進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，并考慮更精細(xì)的級(jí)數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn)，從而將已有方法做了兩個(gè)推廣;又有將新的級(jí)數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn)，得到比較判別法的新審斂法，由此總結(jié)出：當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)含有l(wèi)n（n）且較復(fù)雜時(shí)，可以考慮用此審斂法[3];還有基于柯西積分判別法和比較原理，證明了某些正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，并將這些結(jié)果推廣到更一般的情形[4].關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題的研究還有很多，例如文獻(xiàn)[5-11]，學(xué)者們從不同角度，利用不同的方法和工具對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性進(jìn)行探討，例如文獻(xiàn)[5]是利用函數(shù)的泰勒展開(kāi)式以及極限的運(yùn)算性質(zhì)，再借助已知級(jí)數(shù)的斂散性，推導(dǎo)出判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的兩種方法，并在此基礎(chǔ)上得到了通項(xiàng)遞減的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的兩種判別法.

本文主要是在判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的達(dá)朗貝爾判別法的基礎(chǔ)上，討論該方法的應(yīng)用問(wèn)題，其中主要考慮達(dá)朗貝爾判別法失效的情形，通過(guò)舉例說(shuō)明達(dá)朗貝爾判別法失效的兩種情況，并給出其中某些級(jí)數(shù)斂散性判別的一些方法.

一、達(dá)朗貝爾判別法

正項(xiàng)級(jí)數(shù)作為一類重要的級(jí)數(shù)，由于級(jí)數(shù)理論的復(fù)雜性和不確定性，我們看到并不能建立一種萬(wàn)能的判別方法，因?yàn)獒槍?duì)不同類型的級(jí)數(shù)可能需要應(yīng)用不同的判別法，所以，這使級(jí)數(shù)斂散性的判別方法有很多.比較判別法是判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性一種最基本和最常用的方法.在比較判別法中，當(dāng)以幾何級(jí)數(shù)n作為比較的標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)時(shí)，得到了柯西（Cauchy）判別法和達(dá)朗貝爾（DAlembert）判別法.柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法的極限形式敘述如下：

從定理2的敘述可以知道，達(dá)朗貝爾判別法是通過(guò)考察比來(lái)判斷級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)速率的，而且該判別法是具體級(jí)數(shù)判別問(wèn)題中非常便利的一種方法.一般地，當(dāng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)中包含有n的階層或n的次冪時(shí)，達(dá)朗貝爾判別法都是有效的，我們可以通過(guò)下面兩個(gè)級(jí)數(shù)斂散性的判別看到.

從這兩個(gè)級(jí)數(shù)斂散性的判別操作上可以看到，達(dá)朗貝爾判別法在實(shí)際應(yīng)用中是非常方便的.那么，達(dá)朗貝爾判別法適用于哪些類型級(jí)數(shù)的斂散性判別呢？從理論上來(lái)看，由于達(dá)朗貝爾判別法是以幾何級(jí)數(shù)用，例如，調(diào)和級(jí)數(shù)就無(wú)法用達(dá)朗貝爾判別法判斷其斂散性. 因此，對(duì)達(dá)朗貝爾判別法失效的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如何判別它們的斂散性便成為一個(gè)需要討論的問(wèn)題.下面，我們將討論達(dá)朗貝爾判別法失效的兩種情況，并給出其中某些常見(jiàn)類型級(jí)數(shù)斂散性判別的一些方法和思路，通過(guò)實(shí)例進(jìn)行解析.由此希望能給讀者在學(xué)習(xí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法時(shí)提供一點(diǎn)解題思路和建議.

二、達(dá)朗貝爾判別法失效的情況分析

（1）對(duì)通項(xiàng)為單調(diào)增加數(shù)列的級(jí)數(shù)，可以考慮其通項(xiàng)極限是否為零.

我們知道，收斂級(jí)數(shù)一個(gè)重要的必要條件是其通項(xiàng)極限為零，所以，這個(gè)命題的逆否命題為真的，即若級(jí)數(shù)通項(xiàng)數(shù)列的極限不為零，則級(jí)數(shù)是發(fā)散的.因此，如果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是單調(diào)增加的，而且其首項(xiàng)不為零，則此時(shí)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的極限不為零，故可以判斷級(jí)數(shù)是發(fā)散的.我們來(lái)看下面具體的例子.

（2）對(duì)斂散性比幾何級(jí)數(shù)慢的級(jí)數(shù)，可以考慮以比幾何級(jí)數(shù)斂散更慢的正項(xiàng)級(jí)數(shù)作為新的比較標(biāo)準(zhǔn)而得到更精細(xì)的判別法，這樣判別法適用范圍也將會(huì)有所擴(kuò)大.例如下面的拉貝（Raabe）判別法即是廣義調(diào)和級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù)所得到的判別法.

所以，對(duì)斂散性比幾何級(jí)數(shù)慢的級(jí)數(shù)，可以考慮用拉貝判別法，甚至用比拉貝判別法更細(xì)致的其他推廣形式，例如文獻(xiàn)[2]中的推廣方法等.

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◎編輯 馬燕萍