亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        級(jí)數(shù)的絕對收斂性問題

        2011-11-30 12:55:04董立華
        關(guān)鍵詞:定義

        董立華

        (德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山東 德州 253023)

        級(jí)數(shù)的絕對收斂性問題

        董立華

        (德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山東 德州 253023)

        闡述了賦范線性空間中無窮級(jí)數(shù)的收斂、絕對收斂、無條件收斂等概念之間的關(guān)系,并例證說明級(jí)數(shù)的收斂與絕對收斂、絕對收斂與無條件收斂之間不等價(jià),但確實(shí)存在著無窮維的Fréchet空間中級(jí)數(shù)的無條件收斂與絕對收斂等價(jià)。

        收斂;無條件收斂;絕對收斂

        1 引言

        為敘述方便起見,首先給出幾個(gè)定義。

        定義2[2]設(shè)X是賦范線性空間,

        則稱級(jí)數(shù)

        收斂于x。

        定義3 賦范線性空間X中的級(jí)數(shù)

        為無條件收斂,是指該級(jí)數(shù)的項(xiàng)在任意相互交換次序后仍舊收斂,亦即每個(gè)改換排列的級(jí)數(shù)

        仍舊收斂。

        定義4 級(jí)數(shù)

        絕對收斂是指數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

        收斂。

        2 主要結(jié)論

        限于篇幅,相關(guān)結(jié)論的證明在此省略,僅舉(反)例以說明相應(yīng)的逆命題不成立。

        定理1 如果賦范線性空間是完備的,則該空間中絕對收斂的級(jí)數(shù)一定是收斂的。反之不成立。

        例1 在Banach空間C0(C0是空間(C)中以0為極限的數(shù)列所構(gòu)成的閉子空間)中考慮級(jí)數(shù)

        其中

        設(shè)

        則x∈C0,且

        故級(jí)數(shù)

        收斂于x,然而它并非絕對收斂。因?yàn)?/p>

        注意 如果其中的條件“完備”不滿足,則即使是絕對收斂的級(jí)數(shù)也未必收斂。

        例2 在線性空間E∞上定義范數(shù),

        其中

        考察級(jí)數(shù)

        絕對收斂。另一方面,不難看出

        在E∞中并不收斂。

        可以進(jìn)一步證明:

        (1)若賦范線性空間中每個(gè)絕對收斂的級(jí)數(shù)都是收斂的,則這個(gè)空間一定是完備的。

        (2)Banach空間X中的級(jí)數(shù)

        無條件收斂,當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)級(jí)數(shù)

        (其中ηn= 0或1)都收斂。

        易知在每個(gè)有限維賦范空間中,級(jí)數(shù)的無條件收斂與絕對收斂是等價(jià)的。但在無窮維空間中有:

        定理 2 Banach空間X中絕對收斂的級(jí)數(shù)一定是無條件收斂的。然而其逆不真。

        Dvoretzky與Rogers已給出下面的反例。

        例3 在Banach空間C[0,1]中點(diǎn)列{xn}如下

        易見,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

        在區(qū)間[0,1]上是一致收斂的,從而對任意ε>0,存在n0∈N+,當(dāng) p, q≥n0時(shí),有

        所以

        因此,級(jí)數(shù)

        在[0,1]中是無條件收斂的。另一方面,因?yàn)?/p>

        所以

        并非絕對收斂。

        注意 確實(shí)存在著無窮維的Fréchet空間中級(jí)數(shù)的無條件收斂與絕對收斂等價(jià)。

        現(xiàn)設(shè)D[0,1]是定義在區(qū)間[0,1]上的所有實(shí)值函數(shù)按通常的線性運(yùn)算所成的線性空間,其中諸函數(shù)有任意階的導(dǎo)數(shù),令

        此時(shí)

        又令

        則D[0,1]是一個(gè)Fréchet空間。由于Fréchet空間中絕對收斂的級(jí)數(shù)必是無條件收斂的,因此只需證明D[0,1]中的無條件收斂級(jí)數(shù)都是絕對收斂的。

        事實(shí)上,設(shè)

        是D[0,1]內(nèi)任一無條件收斂的級(jí)數(shù),固定i,并且選擇tn,使得

        則有

        因?yàn)榧?jí)數(shù)

        為無條件收斂的充要條件是每個(gè)級(jí)數(shù)

        (其中ηn= 0或1)在D[0,1]中都收斂,而級(jí)數(shù)

        在D[0,1]中收斂等價(jià)于對每個(gè)i

        在區(qū)間[0,1]上一致收斂,從而

        于是,由不等式(1)得到

        因此,級(jí)數(shù)

        在空間C[0,1]內(nèi)絕對收斂。再由空間D[0,1]中距離的定義可知,級(jí)數(shù)

        在D[0,1]中絕對收斂。至于級(jí)數(shù)的無條件收斂與收斂之間的關(guān)系有下面的定理。

        定理 3 Banach空間中級(jí)數(shù)的無條件收斂蘊(yùn)涵著級(jí)數(shù)的收斂,反之不然。

        設(shè)

        是(條件)收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),則根據(jù)Riemann重排定理,它可以重排而給出發(fā)散的級(jí)數(shù),即

        是收斂的,而不是無條件收斂的級(jí)數(shù)。例如級(jí)數(shù)

        適當(dāng)重排后,可以使之發(fā)散,即不是無條件收斂的。

        綜上所述,在Banach空間中一般地有:

        絕對收斂?無條件收斂?收斂

        但其逆命題一般不成立。

        [1] 定光桂.巴拿赫空間引論[M].北京:科學(xué)出版社,1984.

        [2] 汪林.泛函分析中的反例[M].北京:高等教育出版社,1994.

        (責(zé)任編輯、校對:趙光峰)

        The Problem on the Absolute Convergence of Series

        DONG Li-hua

        (Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou 253023, China)

        This article mainly introduces the relationship between convergent series, absolutely convergent series and unconditionally convergent series in normed linear spaces. And through some counterexamples we draw the important conclusions that convergent series is unequal to absolute convergence and also the unconditional convergence is unequal to absolute convergence. This article also proves that absolute convergence is equivalent to unconditional convergence in infinite dimensional Fréchet space.

        convergence; unconditional convergence; absolute convergence

        山東省教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(2010JZ123)

        2011-05-12

        董立華(1965-),女,山東平原人,德州學(xué)院數(shù)學(xué)系教授,研究方向?yàn)榉汉治觥?/p>

        O177

        A

        1009-9115(2011)05-0009-03

        猜你喜歡
        定義
        以愛之名,定義成長
        活用定義巧解統(tǒng)計(jì)概率解答題
        例談橢圓的定義及其應(yīng)用
        題在書外 根在書中——圓錐曲線第三定義在教材和高考中的滲透
        永遠(yuǎn)不要用“起點(diǎn)”定義自己
        海峽姐妹(2020年9期)2021-01-04 01:35:44
        嚴(yán)昊:不定義終點(diǎn) 一直在路上
        定義“風(fēng)格”
        成功的定義
        山東青年(2016年1期)2016-02-28 14:25:25
        有壹手——重新定義快修連鎖
        修辭學(xué)的重大定義
        老熟妻内射精品一区| 91成人国产九色在线观看| 欧美精品色婷婷五月综合| 亚洲色国产欧美日韩| 亚洲综合欧美日本另类激情| yw193.can尤物国产在线网页| 中文字幕有码久久高清| 公与淑婷厨房猛烈进出 | 国产精自产拍久久久久久蜜 | 久久久精品国产亚洲av网| 久久精品亚州中文字幕| 欧洲vat一区二区三区| 成人国产午夜在线视频| 国内色精品视频在线网址| 极品粉嫩小仙女高潮喷水操av| 999国内精品永久免费观看| 伊人色综合久久天天人手人停| 精品女同一区二区三区在线播放器 | 黑人巨大跨种族video| 白浆出来无码视频在线| 久久精品国产亚洲av试看| 国产精品无码一区二区三级| 国产精品久久久久久无码| 日韩精品永久免费播放平台| 日本免费视频一区二区三区| 亚洲精品乱码久久久久久中文字幕| 亚洲av色福利天堂| 婷婷开心五月综合基地| 久久精品人妻少妇一二三区| 亚洲精品美女久久久久99 | 欧美v亚洲v日韩v最新在线| 宅宅午夜无码一区二区三区| 精彩视频在线观看一区二区三区| 人人妻人人狠人人爽天天综合网| 无码国产精品一区二区免| 日日麻批视频免费播放器| 色偷偷色噜噜狠狠网站30根| 久久精品国内一区二区三区| 国产一级r片内射免费视频| 在线a亚洲视频播放在线播放| 国产在线一区二区三区av|