董立華

（德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 德州 253023）

級(jí)數(shù)的絕對收斂性問題

董立華

（德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 德州 253023）

闡述了賦范線性空間中無窮級(jí)數(shù)的收斂、絕對收斂、無條件收斂等概念之間的關(guān)系，并例證說明級(jí)數(shù)的收斂與絕對收斂、絕對收斂與無條件收斂之間不等價(jià)，但確實(shí)存在著無窮維的Fréchet空間中級(jí)數(shù)的無條件收斂與絕對收斂等價(jià)。

收斂；無條件收斂；絕對收斂

1 引言

為敘述方便起見，首先給出幾個(gè)定義。

定義2[2]設(shè)X是賦范線性空間，

若

則稱級(jí)數(shù)

收斂于x。

定義3 賦范線性空間X中的級(jí)數(shù)

為無條件收斂，是指該級(jí)數(shù)的項(xiàng)在任意相互交換次序后仍舊收斂，亦即每個(gè)改換排列的級(jí)數(shù)

仍舊收斂。

定義4 級(jí)數(shù)

絕對收斂是指數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

收斂。

2 主要結(jié)論

限于篇幅，相關(guān)結(jié)論的證明在此省略，僅舉（反）例以說明相應(yīng)的逆命題不成立。

定理1 如果賦范線性空間是完備的，則該空間中絕對收斂的級(jí)數(shù)一定是收斂的。反之不成立。

例1 在Banach空間C0（C0是空間(C)中以0為極限的數(shù)列所構(gòu)成的閉子空間）中考慮級(jí)數(shù)

其中

設(shè)

則x∈C0，且

故級(jí)數(shù)

收斂于x，然而它并非絕對收斂。因?yàn)?/p>

注意 如果其中的條件“完備”不滿足，則即使是絕對收斂的級(jí)數(shù)也未必收斂。

例2 在線性空間E∞上定義范數(shù)，

其中

考察級(jí)數(shù)

絕對收斂。另一方面，不難看出

在E∞中并不收斂。

可以進(jìn)一步證明：

（1）若賦范線性空間中每個(gè)絕對收斂的級(jí)數(shù)都是收斂的，則這個(gè)空間一定是完備的。

（2）Banach空間X中的級(jí)數(shù)

無條件收斂，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)級(jí)數(shù)

（其中ηn= 0或1）都收斂。

易知在每個(gè)有限維賦范空間中，級(jí)數(shù)的無條件收斂與絕對收斂是等價(jià)的。但在無窮維空間中有：

定理 2 Banach空間X中絕對收斂的級(jí)數(shù)一定是無條件收斂的。然而其逆不真。

Dvoretzky與Rogers已給出下面的反例。

例3 在Banach空間C[0,1]中點(diǎn)列{xn}如下

易見，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

在區(qū)間[0,1]上是一致收斂的，從而對任意ε＞0，存在n0∈N+，當(dāng) p, q≥n0時(shí)，有

所以

因此，級(jí)數(shù)

在[0,1]中是無條件收斂的。另一方面，因?yàn)?/p>

所以

并非絕對收斂。

注意 確實(shí)存在著無窮維的Fréchet空間中級(jí)數(shù)的無條件收斂與絕對收斂等價(jià)。

現(xiàn)設(shè)D[0,1]是定義在區(qū)間[0,1]上的所有實(shí)值函數(shù)按通常的線性運(yùn)算所成的線性空間，其中諸函數(shù)有任意階的導(dǎo)數(shù)，令

此時(shí)

又令

則D[0,1]是一個(gè)Fréchet空間。由于Fréchet空間中絕對收斂的級(jí)數(shù)必是無條件收斂的，因此只需證明D[0,1]中的無條件收斂級(jí)數(shù)都是絕對收斂的。

事實(shí)上，設(shè)

是D[0,1]內(nèi)任一無條件收斂的級(jí)數(shù)，固定i，并且選擇tn，使得

則有

因?yàn)榧?jí)數(shù)

為無條件收斂的充要條件是每個(gè)級(jí)數(shù)

（其中ηn= 0或1）在D[0,1]中都收斂，而級(jí)數(shù)

在D[0,1]中收斂等價(jià)于對每個(gè)i

在區(qū)間[0,1]上一致收斂，從而

于是，由不等式（1）得到

因此，級(jí)數(shù)

在空間C[0,1]內(nèi)絕對收斂。再由空間D[0,1]中距離的定義可知，級(jí)數(shù)

在D[0,1]中絕對收斂。至于級(jí)數(shù)的無條件收斂與收斂之間的關(guān)系有下面的定理。

定理 3 Banach空間中級(jí)數(shù)的無條件收斂蘊(yùn)涵著級(jí)數(shù)的收斂，反之不然。

設(shè)

是（條件）收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，則根據(jù)Riemann重排定理，它可以重排而給出發(fā)散的級(jí)數(shù)，即

是收斂的，而不是無條件收斂的級(jí)數(shù)。例如級(jí)數(shù)

適當(dāng)重排后，可以使之發(fā)散，即不是無條件收斂的。

綜上所述，在Banach空間中一般地有：

絕對收斂?無條件收斂?收斂

但其逆命題一般不成立。

[1] 定光桂.巴拿赫空間引論[M].北京：科學(xué)出版社,1984.

[2] 汪林.泛函分析中的反例[M].北京：高等教育出版社,1994.

（責(zé)任編輯、校對：趙光峰）

The Problem on the Absolute Convergence of Series

DONG Li-hua

(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou 253023, China)

This article mainly introduces the relationship between convergent series, absolutely convergent series and unconditionally convergent series in normed linear spaces. And through some counterexamples we draw the important conclusions that convergent series is unequal to absolute convergence and also the unconditional convergence is unequal to absolute convergence. This article also proves that absolute convergence is equivalent to unconditional convergence in infinite dimensional Fréchet space.

convergence; unconditional convergence; absolute convergence

山東省教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)項(xiàng)目（2010JZ123）

2011-05-12

董立華（1965-），女，山東平原人，德州學(xué)院數(shù)學(xué)系教授，研究方向?yàn)榉汉治觥?/p>

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1009-9115(2011)05-0009-03