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        行列式的二項展開式

        2011-11-30 12:55:48劉建波焦哲哲李文毅
        唐山師范學院學報 2011年5期
        關(guān)鍵詞:東北大學展開式二項式

        劉建波,焦哲哲,李文毅

        (東北大學 秦皇島分校,河北 秦皇島 066004)

        行列式的二項展開式

        劉建波,焦哲哲,李文毅

        (東北大學 秦皇島分校,河北 秦皇島 066004)

        給出了行列式的二項展開式,并通過實例闡明了公式計算和證明行列式帶來的便利。

        二項式;行列式;向量

        牛頓二項式是數(shù)學各學科中均具有廣泛應用的重要公式,具體表述為[1]

        其中n是任意一個自然數(shù),0≤k≤n,

        n! = 1? 2?…?n。在微積分中,對一元函數(shù)f( t)和g( t)的乘積求n(n≥1是自然數(shù))階導數(shù),有如下的萊布尼茲公式[2]

        其中 f(k)表示對函數(shù)f( t)求n階導數(shù)。這個公式與牛頓二項式非常相似,區(qū)別在于將冪次數(shù)換成了求導階數(shù)。類似地,在多元微積分中,對二元函數(shù) μ= f( x, y)求n階微分時,也有如下的公式[2]

        值得注意的是,上面等式的第三項只是一個形式表達。

        觀察以上公式可以發(fā)現(xiàn),

        (1)式給出了兩個數(shù)和的正整數(shù)次冪的展開公式;

        (2)式將兩個函數(shù)乘積的高階導數(shù)展開成一個函數(shù)導數(shù)的乘積的和;

        (3)式給出了二元函數(shù)微分的計算公式。

        這些公式都使得計算變得簡便可行,因此也很常用。

        本文給出行列式計算中的一個二項展開式,也是一種形式表達,但是也能給行列式的計算和證明帶來很大的簡便。

        1 主要結(jié)論

        定理1 設(shè)

        均為n維列向量,則

        構(gòu)成一個n階行列式,記 α(n-k)β(k)表示第i列或者為 α,i或者為 βi,并且有n-k列為α,而其它列為β所組成的行列式,則

        值得注意的是,這個公式只是一個形式表達式,同一個α(n-k)β(k)可能表示不同的行列式,這里只是表示有這么多種不同的取法。

        證明 由[3]中行列式計算性質(zhì)3有

        2 應用

        例1 計算行列式:

        解 行列式的第j列可表示為 αj+βj,其中

        如果行列式中出現(xiàn)兩列或兩列以上的jβ,則由行列式的性質(zhì)知,行列式的值為0。所以,行列式可表示為:

        例2 求證:

        證明 D( x)的第j列可表示為 αj+βj,其中

        如果行列式中出現(xiàn)兩列或兩列以上的jα,則行列式的值為0。所以,f( x)可表示為:

        [1] 陳景林,閻滿富.組合數(shù)學與圖論[M].北京:中國鐵道出版社,2000.

        [2] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1991.

        [3] 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

        (責任編輯、校對:趙光峰)

        The Binomial Expansion of Determinants

        LIU Jian-bo, JIAO Zhe-zhe, LI Wen-yi

        (Campus of Qinhuangdao, Northeastern University, Qinhuangdao 066004, China)

        The binomial expansion of determinants was given, and the advantages were showen by some examples.

        binomial; determinant; vector

        2011-01-13

        劉建波(1978-),男,河北唐山人,博士,東北大學秦皇島分校講師,研究方向為李代數(shù)、結(jié)合代數(shù)。

        O151.22

        A

        1009-9115(2011)05-0015-02

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