唐 艷

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400067)

級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位.這是因?yàn)?，一方面能借助級?shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，例如微分方程的解就常用級數(shù)表示;另一方面又可將函數(shù)表示為級數(shù)，從而借助級數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等［1］.用解析的形式來逼近函數(shù)，一般就是利用比較簡單的函數(shù)形式，逼近比較復(fù)雜的函數(shù)，最為簡單的逼近途徑就是通過加法運(yùn)算來決定逼近的程度，或者說控制逼近的過程，這就是無窮級數(shù)的思想出發(fā)點(diǎn).一般地，考慮級數(shù)理論的基本問題時，總是首先考慮收斂問題，然后考慮性質(zhì)問題.在概念上，級數(shù)與序列是不同的:級數(shù)隱含著無限次加法，意味著施行于序列的一種運(yùn)算.但是對于級數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中總會出現(xiàn)將概念、性質(zhì)尤其是使用級數(shù)的斂散判別方法等混淆的情況［2，3］.基于此，重點(diǎn)討論使用判別方法時的幾種常見錯誤以及幾個概念理解上的錯誤，并舉例加以聯(lián)系和區(qū)別.

1 使用判別法時幾種常見的錯誤

1.1 利用通項(xiàng)的性質(zhì)來判別級數(shù)的斂散性

對于級數(shù)的收斂問題，只在一般項(xiàng)是無窮小量的前提下，才是值得考慮的問題.

性質(zhì) 1［1］(必要條件)若級數(shù)收斂，則u趨于零.n

事實(shí)上，這個級數(shù)確實(shí)收斂，但是并不是因?yàn)槠渫?xiàng)趨于零才收斂.按照級數(shù)收斂的定義，部分和Sn=，即 ，因此級數(shù)收斂.

1.2 利用正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件來判別級數(shù)的斂散性

在正項(xiàng)級數(shù)的收斂判別法中，教材介紹了正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件.

定理1［1］正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界.

在使用這個充分必要條件時，學(xué)生們往往更注意的是“部分和數(shù)列有界”，而將級數(shù)的最基本要求——正項(xiàng)級數(shù)忽略了.

1.3 利用比值判別法和根值判別法來判斷級數(shù)的斂散性

在正項(xiàng)級數(shù)的判別法中，用得較多并且學(xué)生們認(rèn)為較為方便的就是比值判別法和根值判別法，因?yàn)橄鄬τ诒容^判別法而言，不需要另外尋求新的級數(shù)，只需直接從給定的級數(shù)中取出通項(xiàng)就可以進(jìn)行判別了.但是，學(xué)生們在使用這兩個相對方便的方法時，也會因?yàn)闆]有認(rèn)真研究判別法的條件而得出錯誤的結(jié)論.

另外，學(xué)生在使用這兩個判別法時由于沒有注意級數(shù)的通項(xiàng)是否為正項(xiàng)而直接使用判別法也會導(dǎo)致判斷結(jié)果錯誤.

2 幾個容易混淆的概念

2.1 絕對收斂和條件收斂

學(xué)生在理解絕對收斂和條件收斂這兩個概念時，容易簡單地理解為前者是指級數(shù)絕對是收斂的;而對于后者，學(xué)生會發(fā)明創(chuàng)造出“條件發(fā)散”這樣的名詞.一般情況下，發(fā)散和收斂對立.所以學(xué)生會以為既然有條件收斂，自然也應(yīng)該有條件發(fā)散.這是學(xué)生在概念的理解上，沒有認(rèn)真體會這兩個名詞的本質(zhì)，所以就產(chǎn)生了混淆.應(yīng)該從絕對收斂以及條件收斂的定義知道，無論級數(shù)是條件收斂還是絕對收斂的都是收斂的，只是對于前者是發(fā)散的，對于后者是收斂的.

注意到這個級數(shù)并不是交錯級數(shù)，實(shí)際上并非如此.該級數(shù)是一個公比為的等比級數(shù)，因此要判斷其斂散性，應(yīng)該進(jìn)行討論:＜1

2.2 收斂域和收斂區(qū)間

在討論冪級數(shù)時，通常會計(jì)算它的收斂半徑，并且會討論它的收斂域.收斂域和收斂區(qū)間是不一樣的，收斂域是指級數(shù)收斂的區(qū)域.若收斂半徑為 R 的話，收斂域可能是［－R，R］，(－R，R］，［－R，R)，(－R，R)，而收斂區(qū)間只是(－R，R).收斂區(qū)間的端點(diǎn)也有可能是收斂點(diǎn)，所以考察收斂域時應(yīng)將收斂區(qū)間的端點(diǎn)進(jìn)行討論.

上面給出了級數(shù)部分常見的一些典型錯誤，并對之進(jìn)行了分析，其目的在于幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)無窮級數(shù)這一章的知識時開拓思路，提高運(yùn)算能力.這樣對于函數(shù)的學(xué)習(xí)將更上一個臺階.對于學(xué)生來說，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，理解概念要求明確概念的要素，認(rèn)清其實(shí)質(zhì)，要盡力做到了解性質(zhì)、概念的內(nèi)涵與外延.這樣才能將大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握的更牢固.

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下)［M］.6版.北京:高等教育出版社，2010

［2］徐兵.高等數(shù)學(xué)大講堂［M］.大連:大連理工大學(xué)出版社，2004

［3］金裕紅.一般項(xiàng)趨于零且部分和有界的發(fā)散級數(shù)［J］.北京:高等數(shù)學(xué)研究，2011，14(3):78-79