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        一些正弦函數(shù)級(jí)數(shù)的斂散性

        2020-06-01 13:07:22杜先云任秋道
        關(guān)鍵詞:方法

        杜先云,任秋道

        (1.成都信息工程大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610225;2.綿陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與物理學(xué)院,四川綿陽 621000)

        1 引入

        目前《高等數(shù)學(xué)》[1]與《數(shù)學(xué)分析》[2]教材中,對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的內(nèi)容涉及少,而大量級(jí)數(shù)的斂散需要確定.我們通過數(shù)列收斂方法來判定級(jí)數(shù)收斂.從新的角度去認(rèn)識(shí)收斂數(shù)列的漸進(jìn)性:當(dāng)n無限增大時(shí),可以認(rèn)為收斂數(shù)列{yn}相鄰兩項(xiàng)的差所構(gòu)成的數(shù)列{yn-yn-1}(n>2),無限接近一個(gè)公差為0的等差數(shù)列,從而給出了利用yn-yn-1趨于0來判斷數(shù)列收斂的方法[3].這說明了收斂數(shù)列各項(xiàng)變化的微小性.本文給出了任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)判定理,討論了一些正弦級(jí)數(shù)的斂散性.

        2 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判定

        引理[1]設(shè){yn}為一個(gè)有界數(shù)列.?ε>0,?N∈Z+,當(dāng)n>N時(shí),不等式

        |yn-yn-1|<ε

        恒成立,則數(shù)列{yn}收斂.

        一個(gè)收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所成級(jí)數(shù)仍然收斂,其逆命題不成立[2,3].但是有下面的定理:

        (a1+a2+…+an1)+(an1+1+an1+2+…+an2)+…+(ank+1+ank+2+…+ank)+…,

        M=max{nk+1-nk|k=1,2,3,…}<.

        |Sn|=|bn1+bn2+…+bnk0+(ank0+1+ank0+2+…+an)|

        |t|+2.

        從而該級(jí)數(shù)有界.利用引理的推論可得結(jié)論.證畢.

        注該定理推廣了交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茲定理.

        3 正弦函數(shù)級(jí)數(shù)的斂散性

        在[1]中,可獲得:

        (1)如果0<α1,a≠2kπ,k∈Z,則級(jí)數(shù)和收斂.

        (2) 設(shè)有界函數(shù)f(n)滿足f(n)≥0(f(n)0).如果0<α1,則級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)(a-2kπ)2+(b-2lπ)2>0,k,l∈Z時(shí),也收斂.

        證明當(dāng)s=0時(shí),結(jié)論顯然成立.當(dāng)s>0時(shí),設(shè)m∈N.根據(jù)二項(xiàng)式定理可得,

        (4m±1)2s=(4m)2s±C12s(4m)2s-1+C22s(4m)2s-2±…±4mC2s-12s+1.

        從而設(shè)(4m+1)2s?4tm+1,(4m-1)2s?4tm′+1,其中tm,tm′∈N.由此可得,該級(jí)數(shù)部分和

        由此可得,Sn→(n→).根據(jù)級(jí)數(shù)發(fā)散的定義,該級(jí)數(shù)發(fā)散.證畢.

        推論2設(shè)ki∈N,i=0,1,…,t,C={ai|ai∈Z,i=0,1,…,t},D={aj|aj=2rj+1∈C,rj∈Z}.

        證明設(shè)m∈N.可知,設(shè)(4m+1)2s+1?4tm+1,(4m-1)2s+1?4tm′-1,其中tm,tm′∈N.由此可得,

        定理4設(shè)C={ai|ai∈Z,i=0,1,…,k},D={a2j|a2j=2r2j+1∈C,r2j∈Z},

        E={a2j+1|a2j+1=2r2j+1+1∈C,r2j+1∈Z}.如果|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,則級(jí)數(shù)

        證明根據(jù)定理3、4的證明知道,當(dāng)m∈N時(shí),有

        (4m+1)i=4um(i)+1,其中um(i)∈N,i=1,2,…,k;對(duì)于k=2s,s∈N時(shí),

        (4m-1)2j-1=4vm(2j-1)-1,(4m-1)2j=4vm(2j)+1,其中vm(2j-1),vm(2j)∈N,j=1,2,…,s.為了方便,設(shè)f(n)=a0n2s+a1n2s-1+…+a2s,A=a0+a2+…+a2s,B=a1+a3+…+a2s-1.因此,

        f(4m+1)=[(a2s+a2s-2n2+…+a0n2s)+(a2s-1n+a2s-3n3+…+a1n2s-1)]|4m+1

        =4[a2sum(0)+a2s-2um(2)+…+a0um(2s)+a2s-1u(1)+a2s-3u(3)+…

        +a1u(2s-1)]+(a0+a2+…+a2s)+(a1+a3+…+a2s-1)?4r+A+B.

        根據(jù)已知條件,(i)A=4p′+1,,B=4q′,p′,q′∈Z,可得f(4m+1)=4w+1,w∈Z.

        同理f(4m+3)=4r′+A-B=4w′+1,w′∈Z.可得該級(jí)數(shù)部分和

        由此可得,Sn→(n→).該級(jí)數(shù)發(fā)散.對(duì)于(ii)A=4p′+1,B=4q′+2,p′,q′∈Z;(iii)A=4p′+3,

        B=4q′,p′,q′∈Z;(iv)A=4p′+3,B=4q′+2,p′,q′∈Z.該級(jí)數(shù)均發(fā)散.對(duì)其它情況,類似方法可得該級(jí)數(shù)收斂.對(duì)于k=2s+1,s∈N時(shí),類似可得結(jié)論.證畢.

        推論設(shè)C={ai|ai∈Z,i=0,1,…,k},D={a2j|a2j=2r2j+1∈C,r2j∈Z},

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