陳彥恒 賈松芳

在高等數(shù)學(xué)課程級(jí)數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性是學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性定理很多，比如，柯西收斂準(zhǔn)則、比較審斂法、比較審斂法的極限形式、達(dá)朗貝爾判別法等。應(yīng)用比較審斂法的極限形式時(shí)，遇到最大的困難是要找到一個(gè)可以與所求級(jí)數(shù)進(jìn)行比較的級(jí)數(shù)。由級(jí)數(shù)收斂的必要條件我們知道，只要級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)在 時(shí)的極限不是0，即一般項(xiàng)不是 的無(wú)窮小，級(jí)數(shù)必發(fā)散，因此我們所需處理是級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是 的無(wú)窮小的情形。對(duì)于此情形的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，該文利用同階無(wú)窮小給出了一種簡(jiǎn)單有效的求比較級(jí)數(shù)的方法，為利用比較審斂法的極限形式判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性提供了方便，同時(shí)也為快捷的判定一般級(jí)數(shù)收斂性提供了強(qiáng)有力的支持。該文所使用數(shù)學(xué)符號(hào)與文獻(xiàn)保持一致。

下面首先給出利用同階無(wú)窮小判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的定理.

定理 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與 。若 是 的同階無(wú)窮小，則 與 具有相同的斂散性。

證明 由題意， ，且可設(shè) ，所以由比較審斂法的極限形式知，正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與 具有相同的斂散性。

注：在文獻(xiàn)中定理?xiàng)l件是 是 的等價(jià)無(wú)窮小，因此本文定理可以看作文獻(xiàn)中定理的推廣。

從上述定理我們知道，在學(xué)習(xí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的過(guò)程中，合理地應(yīng)用同階無(wú)窮小量，將會(huì)為利用比較審斂法的極限形式判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性提供了方便.下面我們將通過(guò)具體例題來(lái)體現(xiàn)這一便利，這些例題都是節(jié)選自文獻(xiàn)。

例1 判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。

（1） ， （2）

解 （1） 令 ， 。 因?yàn)?， 且 ，所以由定理知， 和 具有相同斂散性，因此 收斂。

通過(guò)例1中的（1）題可以看出，若一般項(xiàng)是關(guān)于 的有理分式函數(shù)

則在 時(shí)， 是同階無(wú)窮小，從而由p-級(jí)數(shù)的結(jié)論和定理知，當(dāng) 時(shí)， 收斂，當(dāng) 時(shí)， 發(fā)散。

（2）令 。當(dāng) ， ，

取 ，從而由p-級(jí)數(shù)和定理知，當(dāng) 時(shí)， 收斂，當(dāng) 時(shí)， 發(fā)散。

例2 判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。

（1） ， （2）

解 （1） 令 。因當(dāng) 時(shí)， ，所以可取 ，而由等比級(jí)數(shù)的結(jié)論知， 收斂，從而由定理知， 收斂。

（2） 令 ， 。由于 時(shí)， ，從而據(jù)定理，當(dāng) 時(shí)， 與 具有相同的斂散性，所以 發(fā)散。

從例1、例2可以看出，如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)含有對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)在 下的同階無(wú)窮小，利用本文定理很容易就可以找到與原級(jí)數(shù)相比較的級(jí)數(shù)，從而判別出原級(jí)數(shù)的斂散性.若利用一般的思路求解，過(guò)程將會(huì)非常繁瑣。 但有些正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)的同價(jià)無(wú)窮小并不那么清楚明顯，需要恒等變形為我們熟知的同階無(wú)窮小，請(qǐng)看下例：

例3 判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性。

解 令 。因當(dāng) 時(shí)， ，而 收斂，從而由定理知， 收斂。

對(duì)于一般級(jí)數(shù)，往往也需要我們將其轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定定理判別其收斂性。因此本文定理對(duì)一般級(jí)數(shù)的收斂性的判定也提供了強(qiáng)有力的支持。

例4 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性。

解 由于 與 是在 下的同階無(wú)窮小，但 是收斂的，所以 絕對(duì)收斂，從而 收斂。

基金項(xiàng)目：該文由重慶市教委科研資助項(xiàng)目（KJ1710254），重慶三峽學(xué)院重點(diǎn)項(xiàng)目（14ZD16），重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教改項(xiàng)目資助。

（作者單位：重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）