陳彥恒 賈松芳
在高等數(shù)學(xué)課程級(jí)數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中,判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性是學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容,正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性定理很多,比如,柯西收斂準(zhǔn)則、比較審斂法、比較審斂法的極限形式、達(dá)朗貝爾判別法等。應(yīng)用比較審斂法的極限形式時(shí),遇到最大的困難是要找到一個(gè)可以與所求級(jí)數(shù)進(jìn)行比較的級(jí)數(shù)。由級(jí)數(shù)收斂的必要條件我們知道,只要級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)在 時(shí)的極限不是0,即一般項(xiàng)不是 的無窮小,級(jí)數(shù)必發(fā)散,因此我們所需處理是級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是 的無窮小的情形。對(duì)于此情形的正項(xiàng)級(jí)數(shù),該文利用同階無窮小給出了一種簡單有效的求比較級(jí)數(shù)的方法,為利用比較審斂法的極限形式判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性提供了方便,同時(shí)也為快捷的判定一般級(jí)數(shù)收斂性提供了強(qiáng)有力的支持。該文所使用數(shù)學(xué)符號(hào)與文獻(xiàn)保持一致。
下面首先給出利用同階無窮小判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的定理.
定理 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與 。若 是 的同階無窮小,則 與 具有相同的斂散性。
證明 由題意, ,且可設(shè) ,所以由比較審斂法的極限形式知,正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與 具有相同的斂散性。
注:在文獻(xiàn)中定理?xiàng)l件是 是 的等價(jià)無窮小,因此本文定理可以看作文獻(xiàn)中定理的推廣。
從上述定理我們知道,在學(xué)習(xí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的過程中,合理地應(yīng)用同階無窮小量,將會(huì)為利用比較審斂法的極限形式判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性提供了方便.下面我們將通過具體例題來體現(xiàn)這一便利,這些例題都是節(jié)選自文獻(xiàn)。
例1 判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。
(1) , (2)
解 (1) 令 , 。 因?yàn)?, 且 ,所以由定理知, 和 具有相同斂散性,因此 收斂。
通過例1中的(1)題可以看出,若一般項(xiàng)是關(guān)于 的有理分式函數(shù)
則在 時(shí), 是同階無窮小,從而由p-級(jí)數(shù)的結(jié)論和定理知,當(dāng) 時(shí), 收斂,當(dāng) 時(shí), 發(fā)散。
(2)令 。當(dāng) , ,
取 ,從而由p-級(jí)數(shù)和定理知,當(dāng) 時(shí), 收斂,當(dāng) 時(shí), 發(fā)散。
例2 判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。
(1) , (2)
解 (1) 令 。因當(dāng) 時(shí), ,所以可取 ,而由等比級(jí)數(shù)的結(jié)論知, 收斂,從而由定理知, 收斂。
(2) 令 , 。由于 時(shí), ,從而據(jù)定理,當(dāng) 時(shí), 與 具有相同的斂散性,所以 發(fā)散。
從例1、例2可以看出,如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)含有對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)在 下的同階無窮小,利用本文定理很容易就可以找到與原級(jí)數(shù)相比較的級(jí)數(shù),從而判別出原級(jí)數(shù)的斂散性.若利用一般的思路求解,過程將會(huì)非常繁瑣。 但有些正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)的同價(jià)無窮小并不那么清楚明顯,需要恒等變形為我們熟知的同階無窮小,請(qǐng)看下例:
例3 判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性。
解 令 。因當(dāng) 時(shí), ,而 收斂,從而由定理知, 收斂。
對(duì)于一般級(jí)數(shù),往往也需要我們將其轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù),利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定定理判別其收斂性。因此本文定理對(duì)一般級(jí)數(shù)的收斂性的判定也提供了強(qiáng)有力的支持。
例4 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性。
解 由于 與 是在 下的同階無窮小,但 是收斂的,所以 絕對(duì)收斂,從而 收斂。
基金項(xiàng)目:該文由重慶市教委科研資助項(xiàng)目(KJ1710254),重慶三峽學(xué)院重點(diǎn)項(xiàng)目(14ZD16),重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教改項(xiàng)目資助。
(作者單位:重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院)