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        以幾何直觀內(nèi)化運算規(guī)律

        2021-10-30 17:52:14陳雅華麗芳
        教育研究與評論(課堂觀察) 2021年5期
        關鍵詞:乘法分配律數(shù)學本質(zhì)幾何直觀

        陳雅 華麗芳

        摘要:教學《乘法分配律》一課,利用幾何直觀,帶領學生不斷辨析乘法分配律的本質(zhì)意義,抽絲剝繭,理解并內(nèi)化運算規(guī)律。教學中,有匹配問題情境的直觀呈現(xiàn),讓學生在“形”中提升對“數(shù)”的認識;有凸顯數(shù)學本質(zhì)的動態(tài)呈現(xiàn),讓學生對“合著算”和“分開算”算式的結(jié)構(gòu)特征與內(nèi)在聯(lián)系印刻入心;有發(fā)展模型意識的抽象呈現(xiàn),讓學生經(jīng)歷富有層次的表征過程后,順理成章地用語言、文字和符號歸納總結(jié)乘法分配律。

        關鍵詞:幾何直觀;乘法分配律;問題情境;數(shù)學本質(zhì);模型意識

        “乘法分配律”是蘇教版小學數(shù)學四年級下冊的內(nèi)容,教學目標為:(1)在解決實際問題的過程中通過觀察、類比、猜想、舉例、驗證、歸納等數(shù)學活動發(fā)現(xiàn)、概括、理解乘法分配律;(2)在具身體驗中感悟探索規(guī)律的一般過程,培養(yǎng)模型思想,發(fā)展抽象思維,積累建模經(jīng)驗;(3)感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,體驗乘法分配律的價值,提高學習數(shù)學的興趣,體驗學習數(shù)學的成就感。其中,教學重點是乘法分配律和數(shù)形結(jié)合思想,教學難點是探索規(guī)律的一般過程?!冻朔ǚ峙渎伞芬徽n教學,可以利用幾何直觀,引導學生主動參與,不斷辨析乘法分配律的本質(zhì)意義,抽絲剝繭,理解并內(nèi)化運算規(guī)律。具體教學過程與評析如下:

        一、教學過程

        (一)在解決實際問題中初步感知規(guī)律

        1.購買運動服問題。

        師今天我們來學習乘法分配律。(出示下頁圖1)我們先來解決一個問題:學校有10名同學參加趣味運動會,需要訂購統(tǒng)一的運動服,一共多少元?你從中知道了哪些信息?

        生一件上衣60元,一條褲子40元,買10套,求一共多少元。

        師請同學們在本子上列出綜合算式并計算。

        (學生計算。)

        生(60+40)×10=1000(元)。我是先算出一套運動服多少元,再乘10套。

        師(出示圖2)我們可以把一個三角形看作一件上衣,一個正方形看成一條褲子。他是先把一件上衣和一條褲子合著算的。

        生60×10+40×10=1000(元)。我是先分別求出10件上衣的價格和10條褲子的價格,再相加。

        師(出示圖3)也就是先分開算,再加起來。

        師仔細觀察這兩個算式,其解題思路不同,運算順序也不同,但我們發(fā)現(xiàn),結(jié)果卻是——一樣的。[板書:(60+40)×10=60×10+40×10]我們可以畫上等號,把它們連接起來。

        2.啦啦隊人數(shù)問題。

        師再來看第二個問題。(出示圖4)啦啦隊分成了紅、藍兩隊,從圖中你知道了哪些信息?

        生紅隊一行有4人,藍隊一行有5人,都各有3行。

        師(出示圖5)用這樣的點子圖表示,理解嗎?一共有多少個隊員,可以怎么列式?

        生(4+5)×3。

        生4×3+5×3。

        師這兩個算式分別在算什么?

        生第一個算式是先算一行有多少個隊員,再乘3行。

        生第二個算式是把紅隊的人數(shù)和藍隊的人數(shù)分開算。

        師(出示圖6)這兩個算式相等嗎?為什么?

        生相等。我算出結(jié)果都是27。

        生(4+5)×3可以看成9個3;4×3+5×3表示4個3與5個3的和,也是9個3。

        師[板書:(4+5)×3=4×3+5×3]計算也好,乘法的意義也好,都能夠說明這兩個算式是相等的。(出示圖7)如果再增加三行,現(xiàn)在可以列成哪兩個算式,它們相等嗎?

        生相等。都解決同一個問題,也都表示9個6。

        [教師板書:(4+5)×6=4×6+5×6。]

        3.發(fā)現(xiàn)規(guī)律特征。

        師(指板書)我們得到了這樣3個等式。請同學們仔細觀察,比一比,你有什么發(fā)現(xiàn)?

        生每組兩個算式計算結(jié)果都相同。

        生每組兩個算式中的三個數(shù)都相同。

        生每組算式都是乘了一個相同的數(shù)。

        生左邊都是先算兩個數(shù)的和再相乘,右邊都是兩個數(shù)分別與一個數(shù)相乘再相加。

        生左邊都是合著算的,右邊都是分開算的。

        (教師板書:合著算,分開算。)

        [評析:課始,教師帶領學生在解決實際問題中,初步感知乘法分配律在生活中的原型。同時,利用數(shù)形結(jié)合來對算式進行闡釋,使學生理解既可以合著算,又可以分開算,在多維角度中對得到的三組等式進行意義解讀。然后,教師放手讓學生通過觀察、比較,逐步發(fā)現(xiàn)三組等式的共性特征。在全班交流中,教師引導學生提煉出原型的特征,加深對原型的本質(zhì)認識。]

        (二)在仿寫建模中穩(wěn)步表征規(guī)律

        師通過橫著和豎著觀察和比較,我們發(fā)現(xiàn)了這些等式的特點。那是不是具有這些特點的兩個算式都相等呢?

        生我覺得都相等。

        生我覺得不一定相等。

        師到底誰的猜想是對的呢?我們需要進行驗證,可以怎么驗證?

        生舉更多的例子。

        師拿出學習單,想一想、算一算,各自列出具有這些特點的一組算式。

        (學生交流展示。)

        生(3+8)×9=3×9+8×9。

        生(12+30)×78=12×78+30×78。

        師我們來看這兩位同學的舉例,符合我們發(fā)現(xiàn)的這些特點嗎?等式成立嗎?怎么證明成立的?有寫到等式不成立的嗎?

        生沒有。

        師[板書:(7+0)×8=7×8+0×8]老師也寫了一個。你們瞧,等式成立嗎?

        生等式成立。

        師如果時間允許的話,我們還能再舉更多的算式,舉得完嗎?

        生舉不完。

        師那你能用一個等式表示出這個規(guī)律嗎?

        生(a+b)×c=a×c+b×c。

        師用字母式將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表達了出來,很好!

        [評析:在發(fā)現(xiàn)三組原型本質(zhì)特征的基礎上,教師引導學生猜想:是否具有這些特征的兩個算式都相等?學生在嘗試舉例中,發(fā)現(xiàn)結(jié)果都相等。教師適時補充含0的一組算式,充分暴露學生理解的盲區(qū),幫助學生形成更完整的認知。學生由之前學習運算律的經(jīng)驗,自然而然想到可以用字母式來表示乘法分配律。]

        (三)在動態(tài)驗證中內(nèi)化規(guī)律

        師其實啊,我們發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律早就潛伏在以前的學習中了?。ǔ鍪鞠马搱D8、圖9)一起看看。

        師(出示圖10)拼成的大長方形面積可以怎么求?

        (學生分別介紹合著算和分開算兩種方法,教師同步展示課件,最終畫面如圖11所示。)

        師老師給這個長方形施個魔法,讓它動起來。(在“幾何畫板”軟件中演示,呈現(xiàn)圖12-圖14)使第一個數(shù)動起來,符合嗎?

        生符合。

        師(在“幾何畫板”軟件中演示,呈現(xiàn)圖15-圖17)第二個數(shù)變動,現(xiàn)在呢?(在“幾何畫板”軟件中演示,呈現(xiàn)圖18-圖20)使寬變化,現(xiàn)在這兩個算式相等嗎?(在“幾何畫板”軟件中演示,呈現(xiàn)下頁圖21-圖23)使這三個數(shù)同時變化,算式相等嗎?

        生相等,求的都是大長方形的面積。

        師在這里,第一個數(shù)可以是什么?第二個、第三個數(shù)呢?(出示圖24)如果這三個數(shù)變成a、b、c,兩個算式還相等嗎?

        生相等。

        師(出示圖25)這就是乘法分配率。

        師(小結(jié))不管這三個數(shù)怎么變,等式都成立。在求拼成后大長方形的面積時,這兩種方法間的關系也符合我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律:(a+b)×c=a×c+b×c。

        [評析:在學生用字母表征出乘法分配律之后,教師沒有急著揭示概念,而是帶領學生一起回憶,喚醒學生的舊知,與本節(jié)課學習的新知串聯(lián)。這既是對之前碎片化學習的聚合,也是對新知的一種補充與驗證。運用“幾何畫板”軟件,在長方形面積的動態(tài)變化中,引導學生充分理解和思考,在幾何直觀中逐步抽象出乘法分配律。]

        (四)在練習鞏固中應用規(guī)律

        師(出示練習,如下)請同學們完成如下練習。

        1.填一填。

        (1)(42+35)×2=42×□+35×□;

        (2)15×26+15×14 = □○(□○□);

        (3)(30+x)×y=□○□○□○□。

        2.判一判:下面的等式成立嗎?

        (1)(28+72)×7=28×7+72×7;

        (2)40×25+4×25=40×(25+4);

        (3)74×(99+1)=74×99+1。

        (學生完成后展示交流答案。)

        師等號兩邊的算式不相等時,怎么改能使兩邊相等?如果讓你計算,你會選等式的哪一邊?為什么?

        ……

        [評析:這里設計的練習,既尊重教材又超出教材,即對靜態(tài)的習題進行動態(tài)的操作,提高練習的趣味性。第二題除了基于乘法分配律判斷和改正等式,還引導學生思考規(guī)律的價值,為以后學習簡便計算做鋪墊。]

        (五)在總結(jié)回顧中掌握探索規(guī)律的方法

        師讓我們一起來回顧一下今天的學習過程。我們是怎么一步一步概括出乘法分配律的?

        生我們在解決實際問題中得到了三個等式,再通過觀察、比較、猜想、驗證,最終概括出乘法分配律。

        師看來,大家都收獲滿滿。(出示下頁圖26)瞧,運算律小火車也收獲了新成員呢。今天,我們通過數(shù)形結(jié)合學習了乘法分配率。那如果再增加一個小長方形,大長方形面積是多少呢?合著算和分開算又會得到兩個什么樣的算式呢?它們之間又有什么關系呢?同學們可以運用今天研究乘法分配律的方法繼續(xù)探究。

        [評析:弗賴登塔爾指出:“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力?!闭n尾,教師及時指導學生回顧反思,幫助他們梳理學習過程,提煉規(guī)律發(fā)現(xiàn)的一般過程;并且?guī)ьI學生整理已經(jīng)學習的運算律,豐富知識網(wǎng)絡,幫助學生形成整體思維。最后,教師拋出一個問題,鼓勵學生利用今天的所學進行更深入的研究,培養(yǎng)學生的應用意識,幫助學生鞏固學到的探索規(guī)律的方法。]

        二、教學總評

        (一)匹配問題情境的直觀呈現(xiàn)

        本節(jié)課,雖然需要對算式進行觀察,但教師沒有生硬地提供脫離實際意義的式子,而是創(chuàng)設了豐富的現(xiàn)實情境。無論購買運動服還是隊形的排列,都是學生非常熟悉的生活情境,能夠助力他們理解算式表示的實際意義,從而更好地認識和比較“合著算”和“分開算”。每一個問題情境,都有匹配的幾何直觀呈現(xiàn),讓學生在“形”中提升對“數(shù)”的認識。

        (二)凸顯數(shù)學本質(zhì)的動態(tài)呈現(xiàn)

        深度學習與淺層學習不同,是一種基于理解的學習,重在經(jīng)歷學習的過程。絕大部分學生通過計算,知道了“合著算”和“分開算”結(jié)果相等,兩個算式可以用等號連接。而很少有學生會想到運用乘法的意義——幾個幾,來解釋為什么相等。這種現(xiàn)象,也反映出之前的學習更關注結(jié)果而不是過程。于是,教師從情境圖抽象到點子圖,幫助學生在數(shù)一數(shù)的過程中感悟“合著算”和“分開算”背后的意義,豐富學生的多元表征經(jīng)驗。同時,利用“幾何畫板”軟件,研究求大長方形面積的兩種不同算法的關系。在動態(tài)呈現(xiàn)中,學生對乘法分配律的本質(zhì)特征有了充分的直觀感受,對“合著算”和“分開算”算式的結(jié)構(gòu)特征與內(nèi)在聯(lián)系印刻入心。

        (三)發(fā)展模型意識的層次呈現(xiàn)

        學習從模仿開始。學生在解決“購買服裝”“隊形排列”問題的過程中,充分感知了乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征。緊接著,學生通過仔細觀察、比較,逐步發(fā)現(xiàn)了這些算式的特點。教師在學生回答時相機框一框、畫一畫、圈一圈,使乘法分配律的表象躍然于黑板上,同時也清晰地投射在學生的頭腦中。在這之后的仿寫建模中,學生舉出了很多例子來驗證,教師還舉例“(7+0)×8=7×8+0×8”這類等式,探討其是否符合乘法分配律,直逼學生的認知盲區(qū)。學生經(jīng)歷富有層次的表征過程后,用語言、文字和符號歸納總結(jié)乘法分配律也就順理成章,從而在內(nèi)化運算規(guī)律的同時還有效發(fā)展了模型意識。

        參考文獻:

        [1] 王茜,周衛(wèi)東.“乘法分配律”教學實錄與評析[J].小學數(shù)學教育,2021(11).

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