吳緒益

摘 要：“幾何直觀”在日常教學(xué)中經(jīng)常用到，但很少去提煉它，它是推進(jìn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)步、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的手段，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、推理、建模的載體。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；數(shù)學(xué)本質(zhì)；思維發(fā)展

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“幾何直觀”這一核心概念。它可以幫助我們梳理信息、分析數(shù)量關(guān)系，這種直觀的圖形語(yǔ)言也是學(xué)生進(jìn)入積極思維狀態(tài)的引子。幾何直觀是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)的源泉，可以引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解，借助于幾何直觀能啟迪思路，可以幫助我們理解抽象的內(nèi)容。如何在教學(xué)中運(yùn)用這一核心理念指導(dǎo)我們的教學(xué)？下面將以本人在教學(xué)中關(guān)于分?jǐn)?shù)乘、除法為例談一談對(duì)這個(gè)問(wèn)題的個(gè)人看法。

案例一：在教學(xué)分?jǐn)?shù)除法■÷3時(shí)。

我讓學(xué)生動(dòng)手經(jīng)歷這樣的實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程：

1.首先把一張長(zhǎng)方形的紙平均分成7份。

2.畫出長(zhǎng)方形紙的七分之四。

3.把七分之四再平均分成三份。

4.畫出■被平均分成■的部分。

從而形成下面視覺(jué)直觀。

■

5.與此同時(shí)，讓學(xué)生積極反思這個(gè)動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程，用自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)解讀分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法。

案例二：在教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)五下分?jǐn)?shù)除法（3）時(shí)，文本呈現(xiàn)這樣的情景：

跳繩的小朋友有6人，是操場(chǎng)上參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的■，操場(chǎng)上有多少人參加活動(dòng)？

我班的多數(shù)學(xué)生采用方程的方法，只有吳××采用算術(shù)的方法來(lái)解決的，而且她的板演勾起了更多學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

■

她首先在黑板上畫出上面的線段圖并口述到：把活動(dòng)總?cè)藬?shù)平均分成9份，跳繩占了其中的2份，而且從線段圖可以直接看出這2份正好是6人，所以推斷1份是3人，那么9份是27人。所以操場(chǎng)上共有27人參加活動(dòng)。課到此沒(méi)有停住，而是引發(fā)學(xué)生思考：同學(xué)們觀察剛才吳××同學(xué)所畫的線段圖思考，請(qǐng)你們用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)方式來(lái)表達(dá)他的思考過(guò)程好嗎？給出了較長(zhǎng)的時(shí)間，仍然是吳宗娜同學(xué)呈現(xiàn)了上面的除法算式：6÷■=6×■。

鑒于上述兩個(gè)案例，幾何直觀在教學(xué)中可以發(fā)揮作用有：

一、實(shí)現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象

案例一中，整個(gè)教學(xué)過(guò)程我把豐富學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)作為理解算理的基礎(chǔ)，讓他們動(dòng)手操作，分層進(jìn)行、層層推進(jìn)。當(dāng)然數(shù)學(xué)活動(dòng)不僅來(lái)自于指端，更主要的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，因而學(xué)生不斷反思自己的操作行為的結(jié)果——上面的直觀圖形，實(shí)現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象，即一個(gè)數(shù)除法一個(gè)不為0的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這正是利用了圖形直觀到算法的抽象，從而也更好地理解了算理，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。同時(shí)，在此過(guò)程中也積累了學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，讓他們?cè)趧?dòng)手實(shí)踐活動(dòng)中豐富感性認(rèn)知，提高解決問(wèn)題的能力。正如笛卡兒說(shuō)得那樣：沒(méi)有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此用這種方式來(lái)表達(dá)事物是有益的。

二、實(shí)現(xiàn)了視覺(jué)思維到有序思維的有效過(guò)渡

在教學(xué)中，我利用除法這種數(shù)學(xué)符號(hào)形式實(shí)現(xiàn)這種思考的過(guò)程。從這個(gè)孩子表述中可以清晰地看出，她利用了線段圖這一載體實(shí)現(xiàn)了視覺(jué)思維到有序思維有效過(guò)渡。其實(shí)質(zhì)是將相對(duì)抽象對(duì)象“圖形化”使得過(guò)程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維了。著名的教育家夸美紐斯稱，知識(shí)的開端永遠(yuǎn)從感官得到的。直觀是為了更好地抽象，直觀不是目的，目的是認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)。

綜上所述，面對(duì)這美妙的圖形，不得不深深地贊嘆其偉大，正如課標(biāo)中闡釋的那樣：幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀是具體的，不是虛無(wú)的。他不僅可以讓我們看到了什么，而且可以讓我們通過(guò)看到的圖形思考到了什么，想到了什么。幾何直觀會(huì)把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)思考、想象，猜測(cè)出一些可能的結(jié)論，這不就是合情推理嗎？因此文章到此是否可以形成下面的邏輯結(jié)構(gòu)圖呢？所以我認(rèn)為：“幾何直觀”架構(gòu)視覺(jué)思維與有序思維的“橋梁”，更是實(shí)現(xiàn)了由圖形語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)變。

圖形語(yǔ)言→符號(hào)語(yǔ)言

↓幾何直觀↓

視覺(jué)思維→有序思維

（作者單位 安徽省霍山縣下符橋鎮(zhèn)地稅希望小學(xué)）

編輯 韓 曉endprint

摘 要：“幾何直觀”在日常教學(xué)中經(jīng)常用到，但很少去提煉它，它是推進(jìn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)步、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的手段，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、推理、建模的載體。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；數(shù)學(xué)本質(zhì)；思維發(fā)展

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“幾何直觀”這一核心概念。它可以幫助我們梳理信息、分析數(shù)量關(guān)系，這種直觀的圖形語(yǔ)言也是學(xué)生進(jìn)入積極思維狀態(tài)的引子。幾何直觀是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)的源泉，可以引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解，借助于幾何直觀能啟迪思路，可以幫助我們理解抽象的內(nèi)容。如何在教學(xué)中運(yùn)用這一核心理念指導(dǎo)我們的教學(xué)？下面將以本人在教學(xué)中關(guān)于分?jǐn)?shù)乘、除法為例談一談對(duì)這個(gè)問(wèn)題的個(gè)人看法。

案例一：在教學(xué)分?jǐn)?shù)除法■÷3時(shí)。

我讓學(xué)生動(dòng)手經(jīng)歷這樣的實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程：

1.首先把一張長(zhǎng)方形的紙平均分成7份。

2.畫出長(zhǎng)方形紙的七分之四。

3.把七分之四再平均分成三份。

4.畫出■被平均分成■的部分。

從而形成下面視覺(jué)直觀。

■

5.與此同時(shí)，讓學(xué)生積極反思這個(gè)動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程，用自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)解讀分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法。

案例二：在教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)五下分?jǐn)?shù)除法（3）時(shí)，文本呈現(xiàn)這樣的情景：

跳繩的小朋友有6人，是操場(chǎng)上參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的■，操場(chǎng)上有多少人參加活動(dòng)？

我班的多數(shù)學(xué)生采用方程的方法，只有吳××采用算術(shù)的方法來(lái)解決的，而且她的板演勾起了更多學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

■

她首先在黑板上畫出上面的線段圖并口述到：把活動(dòng)總?cè)藬?shù)平均分成9份，跳繩占了其中的2份，而且從線段圖可以直接看出這2份正好是6人，所以推斷1份是3人，那么9份是27人。所以操場(chǎng)上共有27人參加活動(dòng)。課到此沒(méi)有停住，而是引發(fā)學(xué)生思考：同學(xué)們觀察剛才吳××同學(xué)所畫的線段圖思考，請(qǐng)你們用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)方式來(lái)表達(dá)他的思考過(guò)程好嗎？給出了較長(zhǎng)的時(shí)間，仍然是吳宗娜同學(xué)呈現(xiàn)了上面的除法算式：6÷■=6×■。

鑒于上述兩個(gè)案例，幾何直觀在教學(xué)中可以發(fā)揮作用有：

一、實(shí)現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象

案例一中，整個(gè)教學(xué)過(guò)程我把豐富學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)作為理解算理的基礎(chǔ)，讓他們動(dòng)手操作，分層進(jìn)行、層層推進(jìn)。當(dāng)然數(shù)學(xué)活動(dòng)不僅來(lái)自于指端，更主要的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，因而學(xué)生不斷反思自己的操作行為的結(jié)果——上面的直觀圖形，實(shí)現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象，即一個(gè)數(shù)除法一個(gè)不為0的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這正是利用了圖形直觀到算法的抽象，從而也更好地理解了算理，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。同時(shí)，在此過(guò)程中也積累了學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，讓他們?cè)趧?dòng)手實(shí)踐活動(dòng)中豐富感性認(rèn)知，提高解決問(wèn)題的能力。正如笛卡兒說(shuō)得那樣：沒(méi)有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此用這種方式來(lái)表達(dá)事物是有益的。

二、實(shí)現(xiàn)了視覺(jué)思維到有序思維的有效過(guò)渡

在教學(xué)中，我利用除法這種數(shù)學(xué)符號(hào)形式實(shí)現(xiàn)這種思考的過(guò)程。從這個(gè)孩子表述中可以清晰地看出，她利用了線段圖這一載體實(shí)現(xiàn)了視覺(jué)思維到有序思維有效過(guò)渡。其實(shí)質(zhì)是將相對(duì)抽象對(duì)象“圖形化”使得過(guò)程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維了。著名的教育家夸美紐斯稱，知識(shí)的開端永遠(yuǎn)從感官得到的。直觀是為了更好地抽象，直觀不是目的，目的是認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)。

綜上所述，面對(duì)這美妙的圖形，不得不深深地贊嘆其偉大，正如課標(biāo)中闡釋的那樣：幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀是具體的，不是虛無(wú)的。他不僅可以讓我們看到了什么，而且可以讓我們通過(guò)看到的圖形思考到了什么，想到了什么。幾何直觀會(huì)把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)思考、想象，猜測(cè)出一些可能的結(jié)論，這不就是合情推理嗎？因此文章到此是否可以形成下面的邏輯結(jié)構(gòu)圖呢？所以我認(rèn)為：“幾何直觀”架構(gòu)視覺(jué)思維與有序思維的“橋梁”，更是實(shí)現(xiàn)了由圖形語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)變。

圖形語(yǔ)言→符號(hào)語(yǔ)言

↓幾何直觀↓

視覺(jué)思維→有序思維

（作者單位 安徽省霍山縣下符橋鎮(zhèn)地稅希望小學(xué)）

編輯 韓 曉endprint

摘 要：“幾何直觀”在日常教學(xué)中經(jīng)常用到，但很少去提煉它，它是推進(jìn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)步、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的手段，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、推理、建模的載體。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；數(shù)學(xué)本質(zhì)；思維發(fā)展

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“幾何直觀”這一核心概念。它可以幫助我們梳理信息、分析數(shù)量關(guān)系，這種直觀的圖形語(yǔ)言也是學(xué)生進(jìn)入積極思維狀態(tài)的引子。幾何直觀是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)的源泉，可以引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解，借助于幾何直觀能啟迪思路，可以幫助我們理解抽象的內(nèi)容。如何在教學(xué)中運(yùn)用這一核心理念指導(dǎo)我們的教學(xué)？下面將以本人在教學(xué)中關(guān)于分?jǐn)?shù)乘、除法為例談一談對(duì)這個(gè)問(wèn)題的個(gè)人看法。

案例一：在教學(xué)分?jǐn)?shù)除法■÷3時(shí)。

我讓學(xué)生動(dòng)手經(jīng)歷這樣的實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程：

1.首先把一張長(zhǎng)方形的紙平均分成7份。

2.畫出長(zhǎng)方形紙的七分之四。

3.把七分之四再平均分成三份。

4.畫出■被平均分成■的部分。

從而形成下面視覺(jué)直觀。

■

5.與此同時(shí)，讓學(xué)生積極反思這個(gè)動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程，用自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)解讀分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法。

案例二：在教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)五下分?jǐn)?shù)除法（3）時(shí)，文本呈現(xiàn)這樣的情景：

跳繩的小朋友有6人，是操場(chǎng)上參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的■，操場(chǎng)上有多少人參加活動(dòng)？

我班的多數(shù)學(xué)生采用方程的方法，只有吳××采用算術(shù)的方法來(lái)解決的，而且她的板演勾起了更多學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

■

她首先在黑板上畫出上面的線段圖并口述到：把活動(dòng)總?cè)藬?shù)平均分成9份，跳繩占了其中的2份，而且從線段圖可以直接看出這2份正好是6人，所以推斷1份是3人，那么9份是27人。所以操場(chǎng)上共有27人參加活動(dòng)。課到此沒(méi)有停住，而是引發(fā)學(xué)生思考：同學(xué)們觀察剛才吳××同學(xué)所畫的線段圖思考，請(qǐng)你們用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)方式來(lái)表達(dá)他的思考過(guò)程好嗎？給出了較長(zhǎng)的時(shí)間，仍然是吳宗娜同學(xué)呈現(xiàn)了上面的除法算式：6÷■=6×■。

鑒于上述兩個(gè)案例，幾何直觀在教學(xué)中可以發(fā)揮作用有：

一、實(shí)現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象

案例一中，整個(gè)教學(xué)過(guò)程我把豐富學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)作為理解算理的基礎(chǔ)，讓他們動(dòng)手操作，分層進(jìn)行、層層推進(jìn)。當(dāng)然數(shù)學(xué)活動(dòng)不僅來(lái)自于指端，更主要的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，因而學(xué)生不斷反思自己的操作行為的結(jié)果——上面的直觀圖形，實(shí)現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象，即一個(gè)數(shù)除法一個(gè)不為0的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這正是利用了圖形直觀到算法的抽象，從而也更好地理解了算理，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。同時(shí)，在此過(guò)程中也積累了學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，讓他們?cè)趧?dòng)手實(shí)踐活動(dòng)中豐富感性認(rèn)知，提高解決問(wèn)題的能力。正如笛卡兒說(shuō)得那樣：沒(méi)有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此用這種方式來(lái)表達(dá)事物是有益的。

二、實(shí)現(xiàn)了視覺(jué)思維到有序思維的有效過(guò)渡

在教學(xué)中，我利用除法這種數(shù)學(xué)符號(hào)形式實(shí)現(xiàn)這種思考的過(guò)程。從這個(gè)孩子表述中可以清晰地看出，她利用了線段圖這一載體實(shí)現(xiàn)了視覺(jué)思維到有序思維有效過(guò)渡。其實(shí)質(zhì)是將相對(duì)抽象對(duì)象“圖形化”使得過(guò)程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維了。著名的教育家夸美紐斯稱，知識(shí)的開端永遠(yuǎn)從感官得到的。直觀是為了更好地抽象，直觀不是目的，目的是認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)。

綜上所述，面對(duì)這美妙的圖形，不得不深深地贊嘆其偉大，正如課標(biāo)中闡釋的那樣：幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀是具體的，不是虛無(wú)的。他不僅可以讓我們看到了什么，而且可以讓我們通過(guò)看到的圖形思考到了什么，想到了什么。幾何直觀會(huì)把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)思考、想象，猜測(cè)出一些可能的結(jié)論，這不就是合情推理嗎？因此文章到此是否可以形成下面的邏輯結(jié)構(gòu)圖呢？所以我認(rèn)為：“幾何直觀”架構(gòu)視覺(jué)思維與有序思維的“橋梁”，更是實(shí)現(xiàn)了由圖形語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)變。

圖形語(yǔ)言→符號(hào)語(yǔ)言

↓幾何直觀↓

視覺(jué)思維→有序思維

（作者單位 安徽省霍山縣下符橋鎮(zhèn)地稅希望小學(xué)）

編輯 韓 曉endprint