[摘 要] 數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學學習者在學習數(shù)學或?qū)W習數(shù)學某一個領(lǐng)域所應(yīng)達成的綜合性能力. 與高中數(shù)學相關(guān)的核心素養(yǎng)主要包括：學會學習、應(yīng)用能力、創(chuàng)新意識、抽象概括、推理能力、數(shù)學建模、運算能力、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析，其中前三項為通識素養(yǎng)，后六項為數(shù)學素養(yǎng). 數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學教與學過程中應(yīng)當特別關(guān)注的基本素養(yǎng). “能推理、會運算”是從數(shù)學的學習中養(yǎng)成的基本素質(zhì). 運算能力的培養(yǎng)與學生的素養(yǎng)相輔相成.

[關(guān)鍵詞] 學生素養(yǎng)；數(shù)學素養(yǎng)；數(shù)學核心素養(yǎng)；運算能力

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，學生素養(yǎng)的培養(yǎng)越來越為人們所關(guān)注. 就數(shù)學學科而言，學生數(shù)學素養(yǎng)的提高，特別是數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，已經(jīng)引起許多數(shù)學教師的思考和探索. 核心素養(yǎng)是指學生借助學校教育所形成的解決問題的素養(yǎng)與能力. 數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學學習者在學習數(shù)學或?qū)W習數(shù)學某一個領(lǐng)域所應(yīng)達成的綜合性能力. 與高中數(shù)學相關(guān)的核心素養(yǎng)主要包括：學會學習、應(yīng)用能力、創(chuàng)新意識、抽象概括、推理能力、數(shù)學建模、運算能力、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析，其中前三項為通識素養(yǎng)，后六項為數(shù)學素養(yǎng). 數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學教與學過程中應(yīng)當特別關(guān)注的基本素養(yǎng).

近年來，各地的高考試題一直關(guān)注對數(shù)學核心素養(yǎng)中的運算能力的考查，要求考生在理解、應(yīng)用、實施運算過程中，分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序（考查算法算理）. 運算能力的培養(yǎng)與學生的素養(yǎng)相輔相成，主體上無法靠簡單的訓練形成，在高三復習過程中需要重視以下幾個操作層面.

[?] 著眼于扎實的數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能

落實基本概念、公式、法則的理解是思維和運算的“基元”. 在數(shù)學教學中，讓學生牢固掌握運算所需要的概念、公式、法則是運算的前提.

例1：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則公比q的值為______.

在列出等式2Sn=Sn+1+Sn+2后，利用數(shù)列前n項和的定義有：2Sn=Sn+an+1+Sn+an+1+an+2，即0=an+1+an+1+an+2，所以q=-2. 方法簡明，體現(xiàn)了對定義的理解.在理解概念的基礎(chǔ)上自覺用來進行運算，說明學生在這方面具備了一定的數(shù)學素養(yǎng). 個別學生往往會按照思維慣性利用等比數(shù)列前n項和的公式來求解，過程相對煩瑣，而且容易忽視q=1的情形，說明運算方面的素養(yǎng)仍需提高.

除了熟記和活用概念、公式外，對于一些典型問題的結(jié)論和方法也要熟化，更要弄清楚這些典型問題的結(jié)構(gòu)和背景，使其結(jié)論能夠生發(fā)，方法能夠遷移，成為運算的“助推器”.

例2：在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點，B，C分別為橢圓的上、下頂點，直線BF2與橢圓的另一個交點為D. 若tan∠F1BO=，則直線CD的斜率為______.

本題由tan∠F1BO=可得直線BD的斜率，利用結(jié)論“在橢圓+=1（a>b>0）中，若MN是過中心的一條弦，P是橢圓上異于M，N的一點，則有kPM·kPN= -”，可迅速求得直線CD的斜率.

在復習過程中學生可在教師的帶領(lǐng)下，或自主將知識歸類整理，把知識對應(yīng)的問題及解法進行梳理、歸納，使得解法模式化，適度重復使用，形成技能，便于遇到問題時能在短時間內(nèi)檢索、篩選，獲得解題的思路. 從會學習的角度看，學生就獲得了數(shù)學素養(yǎng)的提高.

[?] 突出數(shù)學思想和方法的教學，提倡在理解的基礎(chǔ)上創(chuàng)新

必須突出數(shù)學思想和方法的教學，使學生在把握問題、理解問題的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新. 要重視培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力、抽象概括能力、推理論證能力等，要加強特殊化、一般化、類比推廣、從反面考慮問題、構(gòu)造法等基本數(shù)學思想方法的教學；向?qū)W生適當介紹有關(guān)創(chuàng)造性方法學、科學方法論等知識，啟發(fā)學生的積極思維，開闊視野. 同時，要幫助學生建立良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)和培養(yǎng)學生的廣泛遷移能力，要重視數(shù)學知識與應(yīng)用的發(fā)生過程，重視知識間的有機聯(lián)系，把整體學習與局部學習有機地結(jié)合起來.

例3：在平面直角坐標系xOy中，以點（1，0）為圓心且與直線mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為___________.

本題的切入點有兩個，一個是按部就班，找出半徑r的表達式r=，通過代數(shù)法求其最大值；另一個是將直線方程變形為m（x-2）-（y+1）=0，可“發(fā)現(xiàn)”直線過定點（2，-1），結(jié)合圖像，r的最大值就是點（2，-1）與圓心（1，0）之間的距離. 這種數(shù)形結(jié)合的思考就展現(xiàn)出了一定的思維創(chuàng)新，對學生學習數(shù)學和研究數(shù)學有指導意義，是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn).

例4：設(shè)t∈R，若x>0時均有（tx-1）·[x2-（t+1）x-1]≥0，則實數(shù)t的值為_________.

令f（x）=tx-1，g（x）=x2-（t+1）x-1，g（x）的兩個零點x<00且f（x）的零點也為x2時不等式恒成立. 將x2=代入g（x）=0，得

t-

（t+1）=0，解得t=.

如果單純來解不等式，往往需要分類討論，中間環(huán)節(jié)對問題的理解、運算都需要較強的功底. 但是，在審題時，如果注意到不等式左邊是兩個因式相乘的形式，聯(lián)想因式對應(yīng)的函數(shù)，那么對不等式就有很直觀的認識了，解法自然就會流暢很多. 在解決某些規(guī)律性較強的問題時，需要學生牢固掌握一些基本方法，形成一定的思維習慣，樹立應(yīng)用數(shù)學思想方法的意識.

數(shù)學的學習不僅是指數(shù)學知識的獲得與積累，更重要的是使個體形成良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，形成有序的、起作用的、有著生長點和開放面的認知結(jié)構(gòu). 數(shù)學思想方法是從操作層面上體現(xiàn)的數(shù)學核心素養(yǎng)，對培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)來說是一個很好的切入點，也是一個良好的機會.

[?] 優(yōu)化教學過程，培養(yǎng)學生的主體意識

在運算教學中，要重視從激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣入手，努力提高學生學習的積極性和主動性. 激發(fā)學生學習興趣的方式并不在于過多地求新求奇，而主要在于教學內(nèi)容要在適應(yīng)學生現(xiàn)有水平基礎(chǔ)上達到最近發(fā)展區(qū)水平，使教學具有啟發(fā)性. 通過挖掘數(shù)學中的美來啟迪學生的心靈，也是吸引學生自覺鉆研數(shù)學的一個重要方面.

的值.

這是一個三角計算求值的問題，試圖通過三角恒等變換達到考查運算能力的目的. 主要體現(xiàn)在如何選擇公式，如何確定運算方向，怎樣確定運算路徑，從合理進行運算的角度來考查運算能力.

可以引導學生分析條件和目標，從角α+與2α+之間的關(guān)系入手確定運算路徑.

關(guān)系①簡潔明朗，但在由已知求cos

2α+

的過程中，需要先求出sinα，cosα和sin

α+

的值.

關(guān)系②比關(guān)系①要復雜一些，但在求cos

2α+

的過程中，只需求出sin

，即cos2α和sin2α的值.

教師：再往下分析，由cos

α+

的值求sinα，cosα容易還是求sin2α，cos2α容易？

學生3：由于2α+=2

α+

，自然是求角2α+的正、余弦容易.

到此運算的方向基本確定.

運算能力的主要標識不在運算的本身，而是運算方向和運算路徑的確定. 來自于對問題的深刻理解，運算目標在運算過程中起到了十分重要的作用. 沒有運算目標的指引，合理的運算路徑就很難形成.

[?] 引導學生反思，提升運算品質(zhì)

引導學生進行運算解題后的反思，是進一步優(yōu)化數(shù)學思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)的重要舉措. 對運算的過程和結(jié)果進行評估和研判，也是學生運算能力的一種. 這一過程既是對學生運算品質(zhì)的全面性培養(yǎng)，也是學生對自己思維活動的再認識.

例6：如圖2，在平面直角坐標系xOy中，橢圓+=1（a>b>0）的左頂點為A，右焦點為F（c，0），P（x0，y0）為橢圓上一點，且PA⊥PF. 求證：以F為圓心，F(xiàn)P為半徑的圓與橢圓的右準線x=相切.

[x][O][y][P][A][F]

圖2

本題的思路不難確定，由PA⊥PF知點P（x0，y0）在以線段AF為直徑的圓上，將此圓方程與橢圓方程聯(lián)立，可解得點P的坐標；然后再求半徑FP，證明FP與點F到右準線x=的距離-c相等即可.

具體地，由PA⊥PF得·=-1，即y=-（x0+a）（x0-c）①.

又+=1②，①②聯(lián)立，如果不假思索消去y并整理成（b2-a2）x-a2（a-c）x0+a3c-a2b2=0，下一步無論用十字相乘法或是求根公式，都可能得不到理想的結(jié)果.

此時，就應(yīng)引導學生對過程進行反思：解題目標是什么？思路是什么？從而促使學生再一次對兩個研究對象進行深入的觀察和思考，挖掘新特征，調(diào)整運算，達成目標.

以AF為直徑的圓與橢圓除點P這個公共點外，還有另一個公共點A，那么由①②聯(lián)立整理成關(guān)于x0的二次方程中就一定會有“x0+a”這個因子.

消y得b2x+a2[-（x0+a）（x0-c）]-a2b2=0，即b2（x-a2）=a2（x0+a）（x0-c），有（x0+a）

x0+

=0，解得x0=或x0=-a（舍去）.

課堂上，許多學生的解題思路是清楚的，目標是明確的，卻往往陷于“復雜”的運算當中不能自拔. 學生處在欲進不得、欲罷不能之時，教師引導其深挖信息，走出困境，此時學生收獲的不僅僅是解題技能的提高，更是思維水平的提升和數(shù)學學習興趣的激揚. 這樣的反思過程強化了理性思考，有效促使了學生對運算的認知理解，提高了學生自覺通過提高思維水平來達到提升運算水平的認識，數(shù)學素養(yǎng)也會隨之提高.

總之，高三復習過程中要把培養(yǎng)學生的運算能力列為明確的教學目標，輔之以相應(yīng)的教學素材和教學設(shè)計. 要把學生運算能力的培養(yǎng)滲透到每節(jié)課、每道題中. 任何一道精心編擬的數(shù)學試題，均蘊涵著運算的通性通法或者是在數(shù)學思想方法基礎(chǔ)上所表現(xiàn)出來的合理、簡潔的運算方式. 如果注意滲透、適時講解、反復強調(diào)，貫穿于整個高三復習的始終，學生就會深入于心，形成良好的運算心理、意識和品質(zhì)，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)才會得到有效落實.