張建

[摘 要] 在數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，我們所要滲透給學(xué)生的不僅僅是知識(shí)與技能，還需要在知識(shí)與技能的建構(gòu)過(guò)程中幫助學(xué)生積淀相應(yīng)的思想與方法. 其實(shí)，高中數(shù)學(xué)階段有很多的思想與方法需要教師用心去滲透和灌輸，需要學(xué)生用心去積淀和領(lǐng)悟.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合；概念；問(wèn)題；總結(jié)

“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中是最為常見(jiàn)，也是最為重要的一種思想方法，這既是在問(wèn)題解答之中適用范圍十分廣泛的一種思想方法，也為我們揭示出了高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的一條捷徑——圖形. 但是，在部分學(xué)生的心目中，總會(huì)用慣常的思維來(lái)認(rèn)識(shí)“數(shù)形結(jié)合”——那就是只有在具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程當(dāng)中才會(huì)借助到圖形. 實(shí)際上，這種想法是十分狹隘的. 從某種程度上來(lái)講，數(shù)學(xué)教學(xué)就是一門圖形的藝術(shù)，圖形的加入，往往會(huì)使得抽象的理論內(nèi)容具體化、靈活化，為知識(shí)的理解提供了極大便利. 因此，圖形不僅僅是問(wèn)題解答的導(dǎo)航員，更是課堂學(xué)習(xí)的引領(lǐng)者. 筆者結(jié)合實(shí)際的案例，談?wù)勅绾螐?qiáng)化圖形在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的引領(lǐng)價(jià)值，如何深化它對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想積淀的影響.

[?] 圖形引領(lǐng)概念建構(gòu)，深入細(xì)節(jié)堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)

從知識(shí)接受順序來(lái)講，概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開(kāi)端，也是知識(shí)建立的基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)的概念構(gòu)建越來(lái)越復(fù)雜、抽象. 而數(shù)學(xué)概念的理解又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在，更是學(xué)生開(kāi)展后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的基礎(chǔ). 而且概念的建構(gòu)過(guò)程也突顯了高中數(shù)學(xué)的精煉、抽象、復(fù)雜等特點(diǎn). 雖然從文字表面看來(lái)，高中數(shù)學(xué)概念的篇幅并不長(zhǎng)，卻往往蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵. 往往簡(jiǎn)單幾十個(gè)字，就足以通過(guò)很多道習(xí)題來(lái)予以檢驗(yàn). 而概念的建構(gòu)過(guò)程又是那么曲折復(fù)雜，在建構(gòu)的過(guò)程中更需要講究方法與技巧，更要在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)過(guò)程中積淀相應(yīng)的方法與技巧，最終轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力. 因此，僅靠學(xué)生一方的努力，是很難達(dá)成我們預(yù)設(shè)的效果的，很難提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，也很難將數(shù)形結(jié)合的方法巧妙地滲透到概念的架構(gòu)之中. 而這就需要我們教師在概念架構(gòu)的教學(xué)過(guò)程中把概念與數(shù)形結(jié)合進(jìn)行銜接，將概念的全部含義把握準(zhǔn)確，將數(shù)與形巧妙地合為一體，讓學(xué)生在圖形的引領(lǐng)下，輕松自如地達(dá)成對(duì)概念的深入理解.

【案例1】 在冪函數(shù)的概念建構(gòu)過(guò)程中，僅從字面上來(lái)看十分簡(jiǎn)單，定義如下：一般地，函數(shù)y=xa叫作冪函數(shù)，x是自變量，a是常數(shù). 然而，其中卻包含了a的不同取值所代表的不同形態(tài)的函數(shù). 為了讓冪函數(shù)的概念全面細(xì)致地展現(xiàn)出來(lái)，筆者在對(duì)這個(gè)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，結(jié)合學(xué)生已經(jīng)建構(gòu)的其他函數(shù)的概念和圖像，引領(lǐng)學(xué)生將不同形態(tài)的冪函數(shù)圖像集中在了同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中（如圖1）. 由此，學(xué)生得以一目了然地看到了冪函數(shù)的全部，并對(duì)結(jié)合不同形式的冪函數(shù)的表達(dá)和圖像的差異建構(gòu)了一個(gè)較為完整的認(rèn)知，學(xué)會(huì)了判斷和辨別. 如果沒(méi)有圖形的輔助，這一細(xì)節(jié)是很難從文字上體現(xiàn)出來(lái)的. 除此之外，在概念的建構(gòu)過(guò)程中，教師可以借助圖形的逐一呈現(xiàn)來(lái)協(xié)助概念的逐一達(dá)成，能讓概念的抽象慢慢顯現(xiàn)，讓學(xué)生在圖形的引領(lǐng)下完成對(duì)概念的逐一建構(gòu)，變抽象為形象，變復(fù)雜為直觀.

教師如果站在學(xué)生的角度去審視數(shù)學(xué)概念的話，許多知識(shí)難免晦澀難懂. 而如果加入了圖形，便可以開(kāi)辟一個(gè)新的途徑來(lái)詮釋概念. 圖形的方式，不僅讓冷冰冰的數(shù)學(xué)概念重新煥發(fā)出了生命力，還可以在圖形表示的同時(shí)，為學(xué)生展現(xiàn)出概念當(dāng)中的許多細(xì)節(jié)，讓學(xué)生結(jié)合圖像對(duì)概念理解得更深、更細(xì)、更廣. 這些細(xì)節(jié)，都是學(xué)生在常規(guī)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中十分容易忽略、混淆的，卻是對(duì)學(xué)習(xí)效果具有決定性作用的. 在圖形的引領(lǐng)之下，關(guān)鍵細(xì)節(jié)得到凸顯，關(guān)鍵的難點(diǎn)和重點(diǎn)也得了突破. 此時(shí)，堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)也就此打下了.

[?] 圖形引領(lǐng)問(wèn)題分析，一目了然清晰思維

在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，冗長(zhǎng)復(fù)雜的問(wèn)題比比皆是. 面對(duì)這些問(wèn)題時(shí)，如果只是對(duì)著文字本身展開(kāi)思考，目光必然是狹隘的，思維也自然無(wú)法開(kāi)闊. 這時(shí)，便需要圖形的引領(lǐng)與幫助. 在知識(shí)內(nèi)容教學(xué)的同時(shí)，筆者在教學(xué)過(guò)程中，還十分重視對(duì)學(xué)生圖形構(gòu)建能力的培養(yǎng)，甚至要求學(xué)生將畫(huà)圖變成自己面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的一個(gè)條件反射，能習(xí)慣性地利用數(shù)形間的彼此轉(zhuǎn)化來(lái)達(dá)成對(duì)知識(shí)的架構(gòu)、難點(diǎn)的突破、方法的鎖定. 這種情況下，圖形對(duì)于問(wèn)題解答的幫助就更為明顯了，學(xué)生一旦能在平時(shí)的解題中順其自然地養(yǎng)成這樣的習(xí)慣，那么很多問(wèn)題便會(huì)在無(wú)形當(dāng)中顯現(xiàn)出來(lái)，迎刃而解.

【案例2】 三角函數(shù)一直是圖形引領(lǐng)的典型領(lǐng)域，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)之一. 當(dāng)學(xué)生結(jié)束了對(duì)三角函數(shù)基本知識(shí)的學(xué)習(xí)之后，筆者提問(wèn)：“請(qǐng)運(yùn)用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)判斷方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2π）中解的個(gè)數(shù)是多少.”問(wèn)題雖然簡(jiǎn)短，卻讓很多學(xué)生找不到頭緒. “這個(gè)方程應(yīng)該怎么解？”“好像沒(méi)學(xué)過(guò)啊……”看到大家犯難的樣子，筆者及時(shí)啟發(fā)：“不然先試試把這兩個(gè)函數(shù)的圖像畫(huà)出來(lái)吧！”這個(gè)并不難. 當(dāng)學(xué)生在同一直角坐標(biāo)系中開(kāi)始畫(huà)第二個(gè)函數(shù)的圖像時(shí)，便恍然大悟：兩個(gè)圖像的交點(diǎn)不就是這個(gè)方程的解嗎？（如圖2）何苦再去解方程呢？只要從圖像上數(shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就夠了. 多么巧妙的圖形思維！

在復(fù)雜問(wèn)題的分析解答過(guò)程當(dāng)中，圖形就像是另一種語(yǔ)言，以一種具體、生動(dòng)的方式對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行展現(xiàn)和突破；圖像更像一把萬(wàn)能鑰匙，它隨著具體情況的變化而變化，打開(kāi)所有突破的智慧之門. 也正是在圖形的輔助之下，學(xué)生更加清晰地明確了題目中已知條件之所述，與此同時(shí)，也得到了思維上的啟發(fā)，找到了解答問(wèn)題的突破口. 圖形用其直觀形象的線條反饋它所能表達(dá)的特點(diǎn)和信息，引領(lǐng)學(xué)生的思維，讓問(wèn)題顯現(xiàn)、思路清晰、方向明確. 這些思維收獲，都是單純的文字所無(wú)法在問(wèn)題突破環(huán)節(jié)，圖形的協(xié)助不僅巧妙地突破了原先問(wèn)題中的難點(diǎn)，還有效地幫助學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)之有法、用之有道，感受到方法的重要性、圖形的重要性，在學(xué)習(xí)方法上啟迪了學(xué)生的智慧，激勵(lì)了學(xué)生的信心.

[?] 圖形引領(lǐng)知識(shí)總結(jié)，有機(jī)整合簡(jiǎn)潔高效

高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的量是非常巨大的，而且難度也在日益增加，學(xué)生面臨的不僅僅是知識(shí)與技能的理解，更是思想與方法的應(yīng)用. 想要將這些內(nèi)容全部清晰地掌握住，就要做到階段性、系統(tǒng)性、方法性的總結(jié)與歸納、分析與對(duì)比. 而在這個(gè)總結(jié)與歸納的過(guò)程中，巧妙地運(yùn)用圖形，總是可以實(shí)現(xiàn)零碎知識(shí)點(diǎn)的有機(jī)整合，讓學(xué)習(xí)過(guò)程簡(jiǎn)潔高效. 教師如果巧妙地借助圖形進(jìn)行系統(tǒng)的整理、框架的架構(gòu)、思維的再現(xiàn)、方法的點(diǎn)撥，那么總結(jié)的效果將更加顯著，且可以輻射得更廣、更深、更科學(xué).

【案例3】 筆者在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)柱體、椎體和臺(tái)體的體積計(jì)算問(wèn)題之后，抓住三者之間的內(nèi)在形態(tài)聯(lián)系，在課堂活動(dòng)中，通過(guò)教師的提問(wèn)、學(xué)生的回答，在一問(wèn)一答的課堂互動(dòng)中，激發(fā)學(xué)生的思維，啟發(fā)學(xué)生的智慧，為學(xué)生呈現(xiàn)出了下面的圖形（圖3）.

圖中不僅涵蓋了上述幾種幾何體，還形象地體現(xiàn)出了相互之間的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程. 在此基礎(chǔ)上，再將每種幾何體的體積計(jì)算方法配合起來(lái)，這部分的知識(shí)內(nèi)容便被巧妙地整合到一張圖中了. 與零散的圖形、公式相比，這種結(jié)合圖形進(jìn)行有機(jī)整合的總結(jié)方式，顯然高效多了. 這樣將這幾幅圖的特點(diǎn)、共性、差異、關(guān)系巧妙地聯(lián)成一整體，學(xué)生理解的高度和深度都將得到一定程度的提升. 這樣的總結(jié)為學(xué)生日后進(jìn)行復(fù)習(xí)和應(yīng)用指引了方向，夯實(shí)了基礎(chǔ)，有效地幫助學(xué)生輕松愉悅地完成了學(xué)習(xí)任務(wù)，提升了學(xué)習(xí)效率.

筆者始終認(rèn)為，知識(shí)總結(jié)的精髓并不在于對(duì)已有知識(shí)內(nèi)容的堆積羅列，而是能夠找到一個(gè)巧妙合理的方式，將所學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)、規(guī)律提煉出來(lái)，從而加以整合，將知識(shí)越學(xué)越“少”，方法越提越“精”，在提煉的過(guò)程中滲透方法與思想，培養(yǎng)思維習(xí)慣，提升思維定位. 比如，在這里的圖形對(duì)比、總結(jié)，圖形便扮演了一個(gè)串連者的角色，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)，并在圖形的輔助下進(jìn)行合并與記憶，引導(dǎo)學(xué)生要善于利用數(shù)形結(jié)合、類比等方法進(jìn)行總結(jié)和歸納，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和應(yīng)用打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

通過(guò)前文當(dāng)中的論述，我們可以明確地感受到，圖形對(duì)于高中數(shù)學(xué)的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止是優(yōu)化問(wèn)題解答過(guò)程這么簡(jiǎn)單. 在任何一個(gè)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)階段當(dāng)中，圖形都發(fā)揮著不可小覷的作用. 筆者堅(jiān)信，在圖形的有效引領(lǐng)之下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)行為可以煥發(fā)出更具活力的生機(jī)和沖勁，教學(xué)效果也將比從前理想許多.