汪水勇

[摘 要] 三視圖是新課程中增加的內(nèi)容之一，也是近年來(lái)數(shù)學(xué)高考命題的新熱點(diǎn). 本文在分析高中教材對(duì)三視圖的定位的基礎(chǔ)上，闡述了基于高考命題下三視圖教學(xué)方法的原則，并結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐提出了一些高中三視圖教學(xué)方法的策略.

[關(guān)鍵詞] 高考命題；三視圖；空間想象能力

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力. 為了有效增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力以及應(yīng)用圖形語(yǔ)言交流的能力，人教版數(shù)學(xué)教材中增設(shè)了三視圖的相關(guān)內(nèi)容. 縱觀近年來(lái)的高考題目，關(guān)于三視圖相關(guān)知識(shí)的考查頻頻出現(xiàn)，因此，研究基于高考命題下的三視圖教學(xué)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

[?] 高中教材對(duì)三視圖的定位

1. 教材內(nèi)容較為簡(jiǎn)單

教材中對(duì)于三視圖的介紹共分為兩部分，其中一部分是圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體的三視圖，簡(jiǎn)單介紹了正視圖、俯視圖、側(cè)視圖的概念，通過(guò)圓柱和圓錐兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體分別列舉出了圓柱和圓錐的三視圖. 另一部分是簡(jiǎn)單組合體的三視圖，通過(guò)畫(huà)出實(shí)物三視圖的方式，讓學(xué)生想象出三視圖的特征. 不難發(fā)現(xiàn)，教材中對(duì)于該部分知識(shí)的學(xué)習(xí)十分簡(jiǎn)單，列舉的實(shí)例是長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐及圓臺(tái)等極其簡(jiǎn)單的多面體或旋轉(zhuǎn)體圖形.

2. 三視圖知識(shí)靈活多樣

空間幾何體形式的復(fù)雜多變導(dǎo)致三視圖的形式復(fù)雜多變，對(duì)于每一種形式的空間幾何體，由于觀察角度的不同可能有多種不同形式的三視圖，加之兩種以上幾何體組成的組合體，無(wú)形中又增加了由三視圖還原空間幾何體的難度. 例如，三視圖既可以是圓柱和球體的組合，也可以是圓錐、球體去掉一部分后剩下的部分. 同時(shí)，雖然三視圖能夠具體地反映幾何圖形某一部位的詳細(xì)尺寸和角度關(guān)系，但根據(jù)三視圖還原空間幾何體時(shí)，需要兼顧正視圖、俯視圖以及側(cè)視圖，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的整體意識(shí)和空間想象能力才能準(zhǔn)確地描述出原來(lái)空間幾何體的真實(shí)結(jié)構(gòu)，而整體意識(shí)和空間想象力需要學(xué)生在學(xué)習(xí)生活中勤于思考、細(xì)于觀察才能夠培養(yǎng)出來(lái).

3. 圖形虛實(shí)結(jié)合，真假難辨

對(duì)于一個(gè)空間幾何體的三視圖而言，首先需要判斷該幾何體的總體形狀，判斷是柱、錐、臺(tái)、球體中的哪一類還是兩種或兩種以上的組合體. 其次，根據(jù)幾何體各面的長(zhǎng)、寬、高、半徑等尺寸進(jìn)行定量. 但在這一過(guò)程中常常遇到虛實(shí)結(jié)合、真假難辨的現(xiàn)象. 以2016年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)）第7題為例（見(jiàn)圖1），題目中只是說(shuō)出了某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓，但并沒(méi)有給出哪個(gè)是正視圖、俯視圖、側(cè)視圖，并且題目中的圖形極為相似，需要學(xué)生進(jìn)行判斷. 這種虛實(shí)結(jié)合、真假難辨的圖形需要學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象能力和生活經(jīng)驗(yàn).

[?] 基于高考命題下三視圖教學(xué)方法的原則

1. 多感官參與原則

空間想象能力是在缺乏空間立體圖形的前提條件下，依靠某些空間視角思考物體位置、現(xiàn)狀的能力，這種能力不是與生俱來(lái)的，需要在多種感官參與的基礎(chǔ)上反復(fù)強(qiáng)化而得到. 因此，教師在講解三視圖知識(shí)時(shí)，需要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官參與，通過(guò)觀察、觸摸各種空間幾何體的形狀結(jié)構(gòu)，把三視圖和空間幾何體在視覺(jué)和觸覺(jué)上形成的記憶結(jié)合起來(lái)，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)于學(xué)生頭腦中. 例如，2011年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)）第6題（見(jiàn)圖2），在已知三視圖中的俯視圖和正視圖的情況下，要求學(xué)生根據(jù)自己的空間想象能力猜想出該幾何體的側(cè)視圖. 在解答這類題目時(shí)，必須依靠頭腦中已經(jīng)形成的記憶. 單純地從正視圖分析，該空間幾何體可能是三棱錐、四棱錐等，但從俯視圖分析，看到的是三角形的底面和半圓，我們調(diào)動(dòng)頭腦中半圓錐以及三棱錐的記憶輕松得知該幾何體可能是三棱錐和半個(gè)圓錐的組合體. 其實(shí)，對(duì)于解決三視圖問(wèn)題，需要教師充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的視覺(jué)以及觸覺(jué)，讓學(xué)生在自己的頭腦中形成常見(jiàn)立體幾何的三視圖.

2. 經(jīng)驗(yàn)與理論相結(jié)合原則

對(duì)于邏輯性不是很完整的三視圖而言，單純地依靠理論解答高考試題的方法并不是十分有效的. 在紛繁復(fù)雜的三視圖面前，需要將既成的事實(shí)總結(jié)成規(guī)律，將曾經(jīng)見(jiàn)過(guò)事物留下的直觀印象作為依據(jù)迅速進(jìn)行解答. 例如，在三視圖中，幾何體的寬可以由側(cè)視圖和俯視圖綜合得知，根據(jù)將學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)和事實(shí)總結(jié)成規(guī)律加以應(yīng)用.

3. 求真原則

在解決三視圖問(wèn)題時(shí)，常常遇到某些線條、區(qū)域的重疊，對(duì)于這一類型的三視圖時(shí)，應(yīng)當(dāng)按照求真的原則避開(kāi)一些誤區(qū)，去發(fā)現(xiàn)由于某些線條、區(qū)域的重疊而被忽略的圖形，特別是對(duì)于幾種幾何體的組合體而言，應(yīng)發(fā)現(xiàn)其真實(shí)的一面. 以2013年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)Ⅰ）第8題為例（見(jiàn)圖3），從主視圖分析，該幾何體是簡(jiǎn)單幾何體的組合體，只有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)后，才能為下一步的計(jì)算打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

[?] 高中三視圖教學(xué)方法的策略

1. 熟悉常見(jiàn)空間幾何體的三視圖

教師應(yīng)組織學(xué)生多角度地觀察、交流，讓學(xué)生通過(guò)體驗(yàn)的方式制作出圓柱、圓錐等常見(jiàn)的簡(jiǎn)單的幾何體模型. 在具體制作過(guò)程中仔細(xì)觀察，畫(huà)出各類幾何體的三視圖，熟悉各種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，達(dá)到根據(jù)相應(yīng)的三視圖畫(huà)出真實(shí)的空間幾何體，也能夠根據(jù)不同的空間幾何體能夠畫(huà)出相應(yīng)的三視圖的效果. 同時(shí)，強(qiáng)調(diào)經(jīng)驗(yàn)和理論的結(jié)合，將在實(shí)踐中反復(fù)觀察和觸摸、發(fā)現(xiàn)和糾正錯(cuò)誤過(guò)程中積累下的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行提煉，對(duì)于常見(jiàn)幾何體的直觀圖、三視圖以及簡(jiǎn)單組合體的三視圖、直觀圖在頭腦中形成深刻的記憶，面對(duì)空間幾何體或者空間幾何體的三視圖時(shí)能夠在第一時(shí)間內(nèi)有所反應(yīng).

2. 掌握三視圖中的基本規(guī)律

對(duì)于應(yīng)用三視圖推理空間單個(gè)幾何體的形狀時(shí)，要按照“兩三角則錐體、兩矩形則柱體、兩圓形則球體、兩梯形則臺(tái)體”的規(guī)律進(jìn)行判斷，也就是對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的空間幾何體而言，有兩個(gè)視圖的平面圖形是三角形，就可以判斷這個(gè)幾何體是錐體. 同理，則可以判斷柱體、球體和臺(tái)體. 對(duì)于其他幾何體的組合體而言，應(yīng)將其分解后進(jìn)行判斷. 例如，2014年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)）第8題（見(jiàn)圖4），根據(jù)兩矩形則柱體的規(guī)律，迅速判斷出該三視圖的空間幾何圖形為柱體.

同時(shí)，在已知三視圖所對(duì)應(yīng)幾何體的形狀后，按照“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”的原則進(jìn)一步推斷原來(lái)幾何體長(zhǎng)、寬、高，即幾何體的寬可以由側(cè)視圖和俯視圖綜合得知，幾何體的長(zhǎng)可以由正視圖和俯視圖綜合得知，幾何體的高可以由正視圖和側(cè)視圖綜合得知. 如圖5所示，形象地說(shuō)明了長(zhǎng)方體對(duì)應(yīng)三視圖的長(zhǎng)、寬、高.

3. 強(qiáng)調(diào)三視圖問(wèn)題解決中常見(jiàn)的誤區(qū)

針對(duì)一些高頻出現(xiàn)的三視圖錯(cuò)誤，教師需要勤于思考，勇于研討，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在常見(jiàn)的誤區(qū)中加深印象. 其中，三棱錐側(cè)高和物體的高混淆的現(xiàn)象是學(xué)生常見(jiàn)的一種誤區(qū)，三棱錐的正視圖、側(cè)視圖中三角形的高并不是原圖形的高，在計(jì)算表面積時(shí)要特別注意. 只有當(dāng)俯視圖中外圍三角形對(duì)應(yīng)原三棱錐的底面時(shí)才能說(shuō)明三棱錐的正視圖、側(cè)視圖中三角形的高是原圖形的高，這是因?yàn)橹挥幸粋€(gè)平面圖形垂直于視線時(shí)，它對(duì)應(yīng)的視圖才和它本身全等. 在錐體側(cè)面形成的視圖中，三角形的高并不是側(cè)面三角形的高，而是原錐體的高.

綜上所述，三視圖是數(shù)學(xué)高考命題的新熱點(diǎn)，高中數(shù)學(xué)教師在講解三視圖知識(shí)時(shí)，應(yīng)堅(jiān)持多感官參與、理論與經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合以及求真的原則，讓學(xué)生熟練記憶常見(jiàn)幾何體的三視圖，靈活應(yīng)用三視圖中總結(jié)的規(guī)律，并警示學(xué)生三視圖中常見(jiàn)的誤區(qū). 只有這樣，才能提高學(xué)生的空間想象能力，使學(xué)生在高考中取得優(yōu)異成績(jī).