楊經(jīng)宇

筆者最近在考試和高考復(fù)習(xí)中碰到幾道圓錐曲線四點(diǎn)共圓相關(guān)的題目，現(xiàn)擇其充要條件這個(gè)命題進(jìn)行證明。只有掌握了這個(gè)最基本的命題，其他問題也就迎刃而解。

命題： 橢圓四點(diǎn)共圓的充要條件是該四點(diǎn)連接四邊形的兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中，任一對(duì)直線中的兩條直線傾斜角互為補(bǔ)角 。

證明：設(shè)橢圓為：mx?+ny?=1，（mn≠0）

A、B、C、D依次為曲線上的四點(diǎn)，兩組對(duì)邊為AB/CD、BC/AD，兩條對(duì)角線為AC/BD，三對(duì)直線中任一對(duì)直線方程設(shè)為：

y=k1x+b1 （k1≠0）， y=k2x+b2 （k2≠0），

則過任意一對(duì)直線與橢圓的4個(gè)交點(diǎn)的二次曲線系方程為：

mx2+ny2-1+λ（y-k1x-b1）（y-k2x-b2）=0 （λ為參數(shù)）

整理得：

（m+λk1k2）x2+（n+λ）y2-λ（k1+k2）xy+λ（k1 b2+k2 b1）x-λ（b1+b2）y+

λb1 b2-1=0 ①

（Ⅰ）充分性證明：

當(dāng)三對(duì)直線中任一對(duì)直線的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，k1+k2=0，則方程①變?yōu)椋?/p>

（m+λk1k2）x2+（n+λ）y2+λ（k1 b2+k2 b1）x-λ（b1+b2）y+λb1 b2-1=0

令 則：

即必存在λ0= ，使得方程①為圓的方程，

故A、B、C、D四點(diǎn)共圓；

（Ⅱ）必要性證明：

當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則方程①不應(yīng)含有交叉項(xiàng)xy，

故 -λ（k1+k2）=0， ∴ k1+k2=0，

即三對(duì)直線中任一對(duì)直線的傾斜角互補(bǔ)。

由（Ⅰ） （Ⅱ）知，上述命題成立。

同理，可以證明雙曲線四點(diǎn)共圓的充要條件也是該四點(diǎn)連接四邊形的兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中，任一對(duì)直線中的兩條直線傾斜角互為補(bǔ)角。

利用這一命題，在做題時(shí)可以節(jié)省很多時(shí)間。如：武漢市2016年2月高三調(diào)考的數(shù)學(xué)選擇題中曾出現(xiàn)一道題（給出的標(biāo)準(zhǔn)答案是先證明A、B、C、D四點(diǎn)共圓，略顯復(fù)雜）：

設(shè)直線y=3x-2與橢圓Г： =1交于A、B兩點(diǎn)，過A、B的圓與橢圓Г交于另外兩點(diǎn)C、D，則直線CD的斜率k為（ ）。

A.- ；B.-3 ；C. ； D.-2；答案：B

參考文獻(xiàn)：

[1]張乃貴.圓錐曲線上四點(diǎn)共圓充要條件的研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué) 2012，7.

[2] 田富德 陳琛. 圓錐曲線中一個(gè)四點(diǎn)共圓性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2014，4.

【摘要】橢 圓上四點(diǎn)共圓的充要條件是該四點(diǎn)連接四邊形的兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中，任一對(duì)直線的傾斜角互為補(bǔ)角。本文用較簡(jiǎn)單的方法對(duì)這一命題進(jìn)行了證明。恰到好處地利用這一命題，會(huì)節(jié)省考試中的寶貴時(shí)間。

【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線； 四點(diǎn)共圓；充要條件； 高考復(fù)習(xí)；

個(gè)人簡(jiǎn)介： 男，1997年10月出生，湖北省水果湖高三學(xué)生，數(shù)學(xué)課代表。自幼愛好數(shù)學(xué)，喜歡對(duì)一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究。