袁甜

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 模型思想 思考

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）01A-

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“模型思想”在2011年的新課標(biāo)中被列入“十大核心概念”之一。盡管之前的課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿“教學(xué)建議”中曾提到過(guò)“建立模型”一詞，但無(wú)論是其表義的深度銳度，還是在該次課程標(biāo)準(zhǔn)中所占的分量，都沒(méi)引起教育者足夠的重視。新課標(biāo)提出后，以往在大學(xué)才有的數(shù)學(xué)建模被前移至義務(wù)教育階段，刷新了我們的認(rèn)知。近年來(lái)，關(guān)于“中小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想”“中小學(xué)數(shù)學(xué)建?！薄澳Ｐ退枷朐谥行W(xué)教學(xué)中的滲透”等作品頻出，許多學(xué)者和一線教育工作者紛紛加入到這個(gè)陣營(yíng)中來(lái)。在賞讀了多篇文章后，筆者產(chǎn)生了幾點(diǎn)思考，現(xiàn)將它們羅列出來(lái)，與教師們共同探討。

一、對(duì)數(shù)學(xué)模型、模型思想等含義的領(lǐng)會(huì)有過(guò)度泛化之嫌

張奠宙教授認(rèn)為，“廣義地講，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法，都可以叫做數(shù)學(xué)模型。但是，按通行的比較狹義的解釋，只有那些反映特定問(wèn)題或特定的具體事物系統(tǒng)和數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫做數(shù)學(xué)模型”。新課標(biāo)解讀對(duì)數(shù)學(xué)模型的定義是“根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”。一些作者往往廣義地理解數(shù)學(xué)模型的含義，即把小學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的符號(hào)、字母、代數(shù)式、定義等統(tǒng)統(tǒng)歸并到小學(xué)數(shù)學(xué)的模型之中，形成“草木皆兵”的狀況。數(shù)學(xué)模型含義的過(guò)度泛化使小學(xué)數(shù)學(xué)的所有知識(shí)點(diǎn)都被認(rèn)為是數(shù)學(xué)模型，非但沒(méi)有體現(xiàn)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)模型思想的教學(xué)優(yōu)勢(shì)，而且在不知不覺(jué)中走了以前的“老路”。誠(chéng)然，與高等數(shù)學(xué)的全抽象相比，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)借助于具體形象的事物，淺顯簡(jiǎn)單，但它卻是數(shù)學(xué)知識(shí)的根基，更加接地氣，因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師不應(yīng)有“數(shù)模只應(yīng)大學(xué)有”的觀念，更不要將數(shù)學(xué)模型束之高閣。筆者建議各個(gè)學(xué)校以數(shù)學(xué)教研組為單位，利用幾次集體備課的時(shí)間，將各個(gè)老師總結(jié)出來(lái)的所教年級(jí)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行匯總、研討，最后將匯總的小學(xué)數(shù)學(xué)所有年段的數(shù)學(xué)模型整理成冊(cè)，派發(fā)給每一位數(shù)學(xué)教師，安排其進(jìn)行研讀學(xué)習(xí)。通過(guò)這樣形式的學(xué)習(xí)，教師可以了解小學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容，漸漸深入領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)模型含義，這對(duì)授課中更好地滲透數(shù)學(xué)模型思想大有裨益。

二、未能弄清在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透模型思想的緣由

數(shù)學(xué)家林群認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是個(gè)繼承的學(xué)問(wèn)，最主要的部分是小學(xué)的數(shù)學(xué)，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。初等數(shù)學(xué)研究固定不變的東西……我們要把變化的東西變成不變的東西，再利用初等數(shù)學(xué)的方法去研究，所以中小學(xué)數(shù)學(xué)太重要了?！背醯葦?shù)學(xué)中固定不變的東西，數(shù)學(xué)模型當(dāng)仁不讓地占有其中的重要地位。王永春教授從“數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率”三個(gè)方面梳理了小學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的數(shù)學(xué)模型的各個(gè)部分：數(shù)的表示、數(shù)的運(yùn)算、運(yùn)算定律、方程、數(shù)量關(guān)系、用字母表示的公式及統(tǒng)計(jì)與概率中的圖表、可能性。這些公式、定律、數(shù)量關(guān)系等呈現(xiàn)出高度的抽象性，它們便是初等數(shù)學(xué)中最深的內(nèi)核，也是數(shù)學(xué)體系中的地基、骨架，地基不穩(wěn)、房屋倒塌，骨頭散架、身體癱瘓，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)夯實(shí)，更高級(jí)別的學(xué)習(xí)也就更加游刃有余。在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透模型思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)思考的習(xí)慣，使學(xué)生學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)和生活之間進(jìn)行有機(jī)互通，并能夠?qū)?shù)學(xué)模型主動(dòng)同生活有機(jī)聯(lián)系和有效組合；同時(shí)，學(xué)生在生活中抽象出的數(shù)學(xué)運(yùn)算、定律、數(shù)量關(guān)系，能夠自然而然地應(yīng)用在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中。當(dāng)然，要達(dá)到后者的水平需要教師在教育實(shí)踐中逐漸滲透，更需要學(xué)生在知識(shí)的不斷學(xué)習(xí)中不斷領(lǐng)悟。

例如，在講授“長(zhǎng)方體的表面積”這一節(jié)時(shí)，可先讓學(xué)生動(dòng)手剪手中的長(zhǎng)方體幾何模型，看到其展開圖，在觀察各個(gè)面面積的關(guān)系和每個(gè)面的長(zhǎng)和寬與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系之后，再自主探索長(zhǎng)方體表面積的公式。這樣，學(xué)生就會(huì)把每個(gè)面分別加起來(lái)，或是相對(duì)的面為一組，亦或是把相連的三個(gè)面當(dāng)做一組來(lái)計(jì)算……這些都是學(xué)生自己建立的數(shù)學(xué)模型。爾后，通過(guò)小組討論來(lái)決定優(yōu)劣，將大多數(shù)同學(xué)認(rèn)同為優(yōu)的模型作為長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算公式，并用這個(gè)模型試著計(jì)算正方體的表面積。如“生活—抽象—分析—建模—求解—應(yīng)用”看似繁雜的建模步驟全盤蘊(yùn)含于剛才的課例之中。當(dāng)然，小學(xué)課程中有不少這樣的課例，有待同仁耐心鉆研、仔細(xì)揣摩。

三、模型思想最好要“講出來(lái)”

“模型”在詞典中的解釋有“模式，樣式”“照實(shí)物的形狀和結(jié)構(gòu)按比例制成的物體”“模子”等。提到模型我們可以聯(lián)想到“模式”“標(biāo)準(zhǔn)”“套路”等與其表義相近的詞。當(dāng)我們寫記敘文的時(shí)候，第一反應(yīng)就是要寫時(shí)間、地點(diǎn)、人物，事件的起因、經(jīng)過(guò)、結(jié)果；寫議論文，第一直覺(jué)就是要寫論點(diǎn)、論據(jù)、論證；答應(yīng)用題，想到的是設(shè)、列、解、答。這都是相應(yīng)的“套路”。模型可以規(guī)范“數(shù)學(xué)王國(guó)”的方方面面，數(shù)學(xué)中有如枝杈般的公式、定律、數(shù)量關(guān)系等，由于小學(xué)生的思維發(fā)展還不夠健全，歸納、演繹能力還在發(fā)展中，因此，教師講到公式、定律時(shí)，要讓學(xué)生知道這些是需要記憶的知識(shí)或者在無(wú)意記憶中已經(jīng)識(shí)記了，接著再指導(dǎo)學(xué)生當(dāng)堂根據(jù)公式、定律做練習(xí)，課后再根據(jù)課上學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)完成作業(yè)。在學(xué)生的頭腦中大多沒(méi)有意識(shí)到同樣的公式、定律換到其他情境也可以用，更沒(méi)有認(rèn)識(shí)到今天學(xué)的內(nèi)容結(jié)合上一個(gè)月前學(xué)的知識(shí)就可以解決看似不可能完成的任務(wù)。針對(duì)這樣的情況，教師們不光要滲透模型思想，而且要告訴學(xué)生“模型”二字，讓他們?cè)噲D去體會(huì)數(shù)學(xué)模型的含義與作用，也可以用前述的同義詞來(lái)解釋。這樣培養(yǎng)，當(dāng)學(xué)生知識(shí)積累到一定程度時(shí)，會(huì)貫通已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而解決看似比較難的問(wèn)題。

四、“新瓶裝舊酒”要不得

新課改帶來(lái)了“模型思想”，越來(lái)越多的一線教師緊跟其腳步，紛紛做上了“模型”的文章。其中，不難發(fā)現(xiàn)，不少作者將自己原有的教學(xué)方式和教學(xué)片段換了“模型思想”的“包裝”。有些例子我們品讀起來(lái)著實(shí)上佳，看后覺(jué)得受益匪淺，但有些則有“新瓶裝舊酒”之嫌。其實(shí)，我們?cè)谥暗慕虒W(xué)中也曾默默地滲透著模型思想，只是因?yàn)檎n標(biāo)沒(méi)有形成文字，所以我們的教學(xué)行為、策略常常是自發(fā)而又盲目的。現(xiàn)在我們有必要把自己認(rèn)為與模型思想有關(guān)的教學(xué)方式、方法展現(xiàn)出來(lái)，與他人交流，在以后的教學(xué)實(shí)踐中，更要善于總結(jié)一些模型，從而為自己的教學(xué)服務(wù)，為學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，有效運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題獻(xiàn)出自己的微薄之力。

例如，三年級(jí)上冊(cè)解決問(wèn)題的“歸一問(wèn)題”：媽媽買了3個(gè)碗用了18元。如果買8個(gè)同樣的碗，需要多少錢？學(xué)生在“閱讀與理解”這一環(huán)節(jié)，首先想到如何用一些事物來(lái)代替碗，有的同學(xué)想到要用筆來(lái)代替，有的是用符號(hào)，這便是一個(gè)滲透模型思想的一個(gè)絕佳的機(jī)會(huì)，不同的物品或符號(hào)都可以表示數(shù)量“3”，即數(shù)的模型，每個(gè)數(shù)字都有其在特定情形下表明的意義，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)。在“分析與解答”這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生在之前閱讀與理解的基礎(chǔ)上，嘗試用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)列算式并解答。在“回顧與反思”這一環(huán)節(jié)，教師則可以引導(dǎo)學(xué)生用逆推的方式來(lái)檢驗(yàn)，并且給學(xué)生出示如“百貨商店阿姨今天賣了3塊香皂，收入18元。如果她賣了8塊香皂，收入多少錢？”之類的變式問(wèn)題，先變情境，爾后情境與數(shù)值一起變。在不知不覺(jué)中，學(xué)生可以領(lǐng)悟到此類問(wèn)題的解決方法，感受到此類問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，從而達(dá)到滲透建模，讓學(xué)生真正理解題目精髓的目的。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想貫穿于其他九大核心概念之中，更橫跨小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)體系之上，有效滲透數(shù)學(xué)模型思想，不但可以提升數(shù)學(xué)教學(xué)效率，還能讓教師和學(xué)生產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)思考，使師生均受益。

（責(zé)編 黎雪娟）