后,再利用內(nèi)角和外角互補(bǔ)的關(guān)系,得到外角和為360度.在講完三角形的內(nèi)角和與外角和以后,中學(xué)教材便開(kāi)始講凸多邊形的內(nèi)角和,課本中的講法通常是這樣的:從凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以作(n-3)條對(duì)角線(xiàn),從而把多邊形分成了(n-2)個(gè)三角形,多邊形的內(nèi)角和正好是這(n-2)個(gè)三角形的內(nèi)角和,因而是(n-2)×180°.相應(yīng)地,因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的外角和內(nèi)角互補(bǔ),所有內(nèi)角和與外角和的總和是n×180°,從而外角和是2×180°=360°,詳情可參考[1].一般的教

形內(nèi)角和定理及其外角性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)證明的重要內(nèi)容之一，揭示了三角形的內(nèi)角、外角數(shù)量關(guān)系。它在生活中有廣泛的應(yīng)用，下面我們舉例說(shuō)明。一、善用三角形內(nèi)角和，計(jì)算視角度數(shù)例1 如圖1，C島在A島的北偏東45°方向，C島在B島的北偏西25°方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB的度數(shù)為_(kāi)_________°?！窘馕觥恳蟆螦CB的度數(shù)，可以考慮連接AB，構(gòu)造△ABC，先求出∠CAB與∠ABC的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解。解：連接AB，如圖2?！逤島在

ⅱ）∠B與∠C的外角平分線(xiàn)長(zhǎng)相等的充要條件是∠B=∠C或（ⅲ）∠B的外角平分線(xiàn)長(zhǎng)與∠C的內(nèi)角平分線(xiàn)長(zhǎng)相等的充要條件是（ⅳ）∠C的外角平分線(xiàn)長(zhǎng)與它的內(nèi)角平分線(xiàn)長(zhǎng)相等的充要條件是|A-B|=90°.擂題提供與解答請(qǐng)電郵至guoyaohong1108@163.com.解答認(rèn)定時(shí)間以電子郵件時(shí)間為準(zhǔn)，歡迎廣大讀者踴躍提供擂題.

者以探究多邊形的外角和為例，探索教師角色的轉(zhuǎn)變.1 教學(xué)理論依據(jù)在解釋“學(xué)習(xí)”的神經(jīng)生理機(jī)制時(shí)，傳統(tǒng)的白板理論認(rèn)為大腦的復(fù)雜性是由外而內(nèi)隨著經(jīng)驗(yàn)的增加而增加.在白板理論中，教師的角色是“木匠”.而大腦意識(shí)機(jī)制的最新研究成果提出了由內(nèi)而外的理論.經(jīng)驗(yàn)并不是大腦復(fù)雜性的主要緣由.相反地，學(xué)習(xí)是大腦通過(guò)自組裝，將預(yù)先存在的神經(jīng)元軌跡與外部事件相匹配而發(fā)生[1].該理論認(rèn)為：“感知是一種主動(dòng)行為而非被動(dòng)接受，學(xué)習(xí)也不再主要依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)的積累，而是大腦活動(dòng)與外部世界相

，（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）.所以∠BPC=（∠1+∠A）+∠3=（∠1+∠3）+∠A=70°+40°=110°.解法3 如圖4，連接AP.在△ABC中，∠A=40°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，因?yàn)椤螦BC與∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，所以∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，所以∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）=12×14

線(xiàn)交于一點(diǎn)，兩條外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，或者一條內(nèi)角平分線(xiàn)與一條外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。圍繞這類(lèi)圖的題靈活多變，角平分線(xiàn)還可以變?yōu)槿确志€(xiàn)或者n等分線(xiàn)。但我們只要抓住基本原理，下次遇到也不用怕！例題 如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P。（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度數(shù);（2）如圖2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q，試探索∠Q與∠A之間的數(shù)量關(guān)系;（3）如圖3，延長(zhǎng)線(xiàn)段BP、QC交于點(diǎn)E，試探索∠E與∠A之間的數(shù)量

線(xiàn)交于一點(diǎn)，兩條外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，或者一條內(nèi)角平分線(xiàn)與一條外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。圍繞這類(lèi)圖的題靈活多變，角平分線(xiàn)還可以變?yōu)槿确志€(xiàn)或者n等分線(xiàn)。但我們只要抓住基本原理，下次遇到也不用怕！例題如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P。（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q，試探索∠Q與∠A之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，延長(zhǎng)線(xiàn)段BP、QC交于點(diǎn)E，試探索∠E與∠A之間的數(shù)量關(guān)

角的和等于）2.外角與外角之間關(guān)系：三角形三個(gè)外角的和等于（1）三角形一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)3.內(nèi)角與外角之間關(guān)系 （2）三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰兩內(nèi)角（3）三角形一個(gè)外角大于與它不相鄰任一個(gè)內(nèi)角五角星模型、“8字形”基本模型以及它們的變形拓展模型中內(nèi)角間的數(shù)量關(guān)系這一類(lèi)專(zhuān)題其實(shí)是學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)外角和知識(shí)的一個(gè)很好鞏固，不同的變形模型，雖然原理都一樣，但能夠很好發(fā)展學(xué)生思維，學(xué)會(huì)識(shí)別學(xué)習(xí)幾何不外乎就是識(shí)別不同的幾何模型，幾何模型變化有趣，對(duì)發(fā)散思維

，CM為正三角形外角∠ACK的平分線(xiàn)，若∠ANM=60°，則AN=NM;②如圖2，在正五邊形ABCDE中，N為BC邊上任一點(diǎn)，CM為正五邊形外角∠DCK的平分線(xiàn)，若∠ANM=108°，則AN=NM.先證命題①，在線(xiàn)段AB上取一點(diǎn)E，使AE=NC，連接EN，如圖3，∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC，∴BE=BN∴△BEN也是等邊三角形∴∠BEN=∠ENB=60°，∠AEN=∠NEC=120°，∠EAN+∠ANE=60°又∵∠ANM=60°∴∠ANE+∠CN

]多邊形;內(nèi)角;外角;探究[中圖分類(lèi)號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2020）26-0007-02由若干條線(xiàn)段把它們的頭尾順次連接，形成封閉的平面圖形就是多邊形.這些線(xiàn)段就形成了多邊形的邊，這些線(xiàn)段的夾角形成了多邊形的內(nèi)角.把多邊形的各邊順次延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線(xiàn)與相鄰邊的夾角形成了多邊形的一組外角.從m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引對(duì)角線(xiàn)，能把多邊形分成數(shù)量最少的三角形，這些三角形的個(gè)數(shù)

,CM為正三角形外角∠ACK的平分線(xiàn),若∠ANM=60°,則AN=NM；②如圖2,在正五邊形ABCDE中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正五邊形外角∠DCK的平分線(xiàn),若∠ANM=108°,則AN=NM.先證命題①，在線(xiàn)段AB上取一點(diǎn)E，使AE=NC，連接EN，如圖3，∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC，∴BE=BN∴△BEN也是等邊三角形∴∠BEN=∠ENB=60°，∠AEN=∠NEC=120°，∠EAN+∠ANE=60°又∵∠ANM=60°∴∠ANE+∠CN

等腰三角形的一個(gè)外角等于140°，求這個(gè)等腰三角形各個(gè)角的度數(shù)。【分析】在第（1）題中，長(zhǎng)7cm 邊和長(zhǎng)9cm 邊哪條邊是腰，哪條邊是底不明確，所以要進(jìn)行分類(lèi)，而且還要考慮三條線(xiàn)段能不能構(gòu)成三角形。在第（2）題中，等腰三角形的一個(gè)外角不確定是頂角的外角還是底角的外角，所以也要分類(lèi)討論，而且如果底角不是銳角的話(huà)，也不能構(gòu)成三角形。解：（1）因?yàn)?+7＞9，9+9＞7，所以這兩種情況下都能構(gòu)成三角形。當(dāng)腰長(zhǎng)為7cm 的時(shí)候，周長(zhǎng)為7+7+9=23（cm）；當(dāng)腰

等腰三角形的一個(gè)外角等于140°，求這個(gè)等腰三角形各個(gè)角的度數(shù)?！痉治觥吭诘冢?）題中，長(zhǎng)7cm邊和長(zhǎng)9cm邊哪條邊是腰，哪條邊是底不明確，所以要進(jìn)行分類(lèi)，而且還要考慮三條線(xiàn)段能不能構(gòu)成三角形。在第（2）題中，等腰三角形的一個(gè)外角不確定是頂角的外角還是底角的外角，所以也要分類(lèi)討論，而且如果底角不是銳角的話(huà)，也不能構(gòu)成三角形。解：（1）因?yàn)?+7> 9，9+9>7，所以這兩種情況下都能構(gòu)成三角形。當(dāng)腰長(zhǎng)為7cm的時(shí)候，周長(zhǎng)為7+7+9=23（cm）;當(dāng)腰長(zhǎng)為

，應(yīng)當(dāng)說(shuō)“三角形外角和是360°”！把眼光盯住內(nèi)角，只能看到：三角形內(nèi)角和是180°：四邊形內(nèi)角和是360°;五邊形內(nèi)角和是540°;……n邊形內(nèi)角和是（n-2）x180°.這就找到了一個(gè)計(jì)算多邊形內(nèi)角和的公式.公式里出現(xiàn)了邊數(shù)n.如果看外角呢？三角形的外角和是360°;四邊形的外角和是360°;五邊形的外角和是360°;……任意n邊形的外角和都是360°.這就把多種情形用一個(gè)十分簡(jiǎn)單的結(jié)論概論起來(lái)了，用一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)代替了與n有關(guān)的公式，找到了更一般

——內(nèi)角和定理或外角結(jié)論與三角形有關(guān)的角包括內(nèi)角和外角，如何去求相關(guān)角呢？筆者認(rèn)為，牢牢抓住內(nèi)角和定理或者外角結(jié)論，在求與三角形相關(guān)的角時(shí)，首先確定所研究的角是什么角，抓住三角形的內(nèi)角和定理（三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°）這條線(xiàn)，或者抓住外角結(jié)論（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）這條線(xiàn).基于三角形求角中一條線(xiàn)的思路認(rèn)識(shí)，可進(jìn)一步得出以下兩個(gè)模型及對(duì)三個(gè)結(jié)論的認(rèn)識(shí).二、兩個(gè)模型——飛鏢模型和8字模型1.8字模型如圖1，試探究∠A、∠B、∠C、∠D的

從內(nèi)角我們會(huì)想到外角。你知道四邊形的外角在哪里嗎？（學(xué)生猜想并指出）師：一般我們把每條邊的延長(zhǎng)線(xiàn)與另一條邊組成的角看作外角。（課件逐次呈現(xiàn)長(zhǎng)方形外角，如圖11 所示）長(zhǎng)方形外角有幾個(gè)？它們的和是多少？（90°×4=360°）圖11 圖12師：觀察每個(gè)內(nèi)角和外角之間有什么關(guān)系？（加起來(lái)是平角，是180°）師:平行四邊形的四個(gè)外角在哪里？它們的和是多少呢？（小組探究）生：如圖12，平行四邊形一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的和是180°，有這樣的4 組。用4 個(gè)平角的和減去

角形ABC的三個(gè)外角，∠1、∠2、∠3、∠4分別是四邊形ABCD的四個(gè)外角，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分別是五邊形ABCDE的五個(gè)外角。設(shè)三角形ABC的三個(gè)外角和為W3，四邊形ABCD的四個(gè)外角和為W4，五邊形ABCDE的五個(gè)外角和為W5。（1）求W3，W4，W5。（2）一般地，設(shè)n邊形的n個(gè)外角和為Wn，試求Wn。一、探究（1）如圖，假設(shè)你站在A點(diǎn)，面向正東，那么經(jīng)過(guò)圖中的∠1對(duì)你來(lái)說(shuō)意味著什么？若你逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠1后，就與AB（箭頭所指）方向一致，繼續(xù)

學(xué)教材關(guān)于多邊形外角及外角和知識(shí),基本上圍繞凸多邊形定義,很少看到有關(guān)凹多邊形外角及外角和定義的內(nèi)容.筆者查閱很多資料,但沒(méi)有得到一個(gè)大家公認(rèn)的確切的定義.有不少研究者對(duì)此問(wèn)題作出研究,如文獻(xiàn)[1]對(duì)凹多邊形外角定義是根據(jù)內(nèi)角是否為凹角和凸角(凹角和凸角定義見(jiàn)文獻(xiàn)[2])來(lái)定義.在文獻(xiàn)[3]中,黃燦軍直接對(duì)文獻(xiàn)[1]提出質(zhì)疑,該文認(rèn)為凹多邊形外角定義同凸多邊形外角定義,在計(jì)算時(shí)運(yùn)用了張景中院士《數(shù)學(xué)家的眼光》“方向改變量之和”代替“外角和”思維,得到凹多邊

多邊形的內(nèi)角和與外角和”提到小學(xué)里就發(fā)現(xiàn)了三角形的內(nèi)角和是180°，但并沒(méi)有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f(shuō)明理由。接著“議一議”的圖形變換與探索讓我們感受到三角形內(nèi)角和是180度的理由。如圖1，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A，MN∥BC。如圖2，延長(zhǎng)BC，在點(diǎn)C右邊依次取點(diǎn)C2，C3，C4，…，Cn，連接AC2，AC3，AC4，…，ACn。請(qǐng)比較“∠B+∠BAC2” 與“∠B+∠BAC3”的大小；并思考“∠B+∠BACn”的大小規(guī)律，你能說(shuō)明理由嗎？可以發(fā)現(xiàn)：讓點(diǎn)C動(dòng)起來(lái)后，只要

靠近單打邊線(xiàn)的為外角區(qū)；（3）落點(diǎn)介于為內(nèi)角區(qū)和外角區(qū)中間的為中區(qū)。2.結(jié)果與分析發(fā)球落點(diǎn)的選擇會(huì)受發(fā)球位置、接發(fā)方的持拍手、接發(fā)方的技術(shù)、場(chǎng)地、一發(fā)和二發(fā)等影響。同時(shí)，由于受到不同技戰(zhàn)術(shù)風(fēng)格的影響，不同運(yùn)動(dòng)員關(guān)鍵分時(shí)的發(fā)球落點(diǎn)區(qū)域的選擇也會(huì)有所差異［3］。2.1 關(guān)鍵分時(shí)的一發(fā)落點(diǎn)分析一發(fā)是指運(yùn)動(dòng)員在每一分時(shí)的第一次發(fā)球，網(wǎng)球的每分發(fā)球都有兩次機(jī)會(huì)，因此在一發(fā)時(shí)運(yùn)動(dòng)員大多注重的是力量和速度，使用強(qiáng)有力的發(fā)球去進(jìn)攻對(duì)手，使接發(fā)方處于被動(dòng)狀態(tài)［4］。本研究的

級(jí)上冊(cè)“三角形的外角”公開(kāi)課.本節(jié)課的重點(diǎn)是探索三角形內(nèi)角和定理的一個(gè)推論，即三角形外角定理.本文展示該課的教學(xué)分析、教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)反思，與更多同行研討.一、課前的教學(xué)分析三角形的外角是指三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，其實(shí)質(zhì)是三角形內(nèi)角的鄰補(bǔ)角，外角可以看作由內(nèi)角而“生”，兩者之間有密切的聯(lián)系.因此，在概念教學(xué)中，我們可以從三角形的內(nèi)角出發(fā)，將其一邊延長(zhǎng)，觀察新得到的角與內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系，再歸納形成外角的概念.這種設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)潔明了，直奔主題，

個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角。六邊形的外角和等于多少？分析：考慮以下問(wèn)題：（1）任何一個(gè)外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？（2）六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得的總和是多少？（3）上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？聯(lián)系這些問(wèn)題，考慮外角和的求法。課本中的分析是引導(dǎo)學(xué)生思考“六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得的總和是多少”，然后由此得出六邊形的外角和為360度，進(jìn)而得出多邊形的外角和是360度。筆者在引導(dǎo)學(xué)生按

當(dāng) ，x軸為 的外角的平分線(xiàn).證明：不妨設(shè)直線(xiàn) 的斜率存在，其方程為由 ，消去y 可得，直線(xiàn)AN，BN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，由此知：（1）當(dāng) 時(shí)，x軸為 的平分線(xiàn)（如圖1）；（2）當(dāng) ，x軸為 的外角的平分線(xiàn)（如圖2）.注：在性質(zhì)1中，當(dāng) 時(shí)，C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) 時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；當(dāng) 時(shí)，表示一個(gè)圓.由此便知有如下的性質(zhì)2.性質(zhì)2 過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn) ，則（1）當(dāng) 時(shí)，y軸為 的平分線(xiàn)；（2）當(dāng) ，y軸為 的外角的平分線(xiàn)

多邊形的內(nèi)角和及外角和的計(jì)算公式時(shí)，一般采用下列步驟：首先將一個(gè)n邊形分成（n-2）個(gè)三角形，從而得到n邊形的內(nèi)角和為（n-2）180°。再由相鄰外角與內(nèi)角的互補(bǔ)關(guān)系得到n邊形的外角和恒為360°的結(jié)論，從而也間接地證明了多邊形的外角和與其邊數(shù)多少無(wú)關(guān)的這一重要性質(zhì)。但是，由上述方法得到的外角和性質(zhì)，主要是通過(guò)代數(shù)演算而得到的，致使學(xué)生甚至一部分教師很難從幾何意義上徹底理解。為了向?qū)W生說(shuō)明其幾何意義，老師們也絞盡腦汁地進(jìn)行了多種探索，但終是沒(méi)能揭示其實(shí)質(zhì)。

恒老師《三角形內(nèi)外角關(guān)系的拓展與證明》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)文[1]），筆者在認(rèn)真研讀期刊時(shí)，想到了更一般性的結(jié)論，并拓展到二次平分∠ABC、∠ACB、四次平分∠ABC、∠ACB……在此整理成文，供讀者參考.圖1圖2圖3圖4為使讀者能清楚本文結(jié)論的一般性，先簡(jiǎn)要介紹文[1]中的結(jié)論：（1）如圖1，OB，OC是角平分線(xiàn)，有∠O=90°+12∠A；（2）如圖2，OB平分∠DBC，OC平分∠ECB，有∠O=90°-12∠A；（3）如圖3，OB平分∠ABC，OC平分∠ACD，

推理得到n邊形的外角和等于360°，也就是說(shuō)隨著多邊形邊數(shù)n的變化，多邊形的內(nèi)角和也在變化，而多邊形的外角和是一個(gè)不變的量，都等于360°.解決與多邊形內(nèi)角或外角度數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往從多邊形的外角和入手，整體思考更顯解法自然.現(xiàn)舉例加以說(shuō)明.一、直接應(yīng)用多邊形外角和定理例1 若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）.A.7 B.8 C.9 D.10【分析】本題給出條件“多邊形的每一個(gè)外角都等于40°”，根據(jù)多邊形的外角和都是360

張立道聚焦外角和整體來(lái)思考張立道根據(jù)n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）· 180°，我們可以推理得到n邊形的外角和等于360°，也就是說(shuō)隨著多邊形邊數(shù)n的變化，多邊形的內(nèi)角和也在變化，而多邊形的外角和是一個(gè)不變的量，都等于360°.解決與多邊形內(nèi)角或外角度數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往從多邊形的外角和入手，整體思考更顯解法自然.現(xiàn)舉例加以說(shuō)明.一、直接應(yīng)用多邊形外角和定理例1若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）.A.7B.8C.9D.10【分析】

的夾角改為一內(nèi)一外角或兩外角角平分線(xiàn)的夾角；或?qū)⑷切胃臑槎噙呅蔚那闆r作了深入探究，發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在教學(xué)中收到了較好的效果?，F(xiàn)介紹如下，僅供同仁們參考。二、問(wèn)題的探究1.將內(nèi)角平分線(xiàn)改為外角平分線(xiàn)情形一：求三角形的一條內(nèi)角平分線(xiàn)與一條外角平分線(xiàn)的夾角如圖2，在△ABC中，∠A=α，點(diǎn)O是∠ABC與外角∠ACD的平分線(xiàn)BO和CO的交點(diǎn)，求∠BOC.解∵BO和CO分別是∠ABC與∠ACD的平分線(xiàn)，∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠AC

義人巧用三角形的外角□安義人三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫做三角形的外角.解答一些與三角形的角有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，別忘了靈活運(yùn)用三角形的外角.一、與角有關(guān)的求值問(wèn)題例1如圖1，CE平分∠ACD，F(xiàn)為CA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，F(xiàn)G∥CE交AB于G，∠ACD=110°，∠AGF=20°，試求∠B的度數(shù).圖1分析：顯見(jiàn)∠ACD=∠B+∠BAC.又∠ACD=110°，那么要求∠B的度數(shù)，關(guān)鍵在于確定∠BAC的度數(shù).解：因?yàn)镃E平分∠ACD，∠ACD=110°，因?yàn)镕G∥

、教材分析多邊形外角和是人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十一章第三節(jié)“多邊形及其內(nèi)角和”中第二課時(shí)的內(nèi)容，它要求在學(xué)習(xí)“多邊形及其內(nèi)角和”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、理解和研究多邊形外角和，掌握轉(zhuǎn)化、類(lèi)比和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.它既是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的延伸與拓展，也為后面的學(xué)習(xí)鑲嵌數(shù)學(xué)活動(dòng)和學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)做了良好的鋪墊，具有承上啟下的作用.二、教學(xué)目標(biāo)理解多邊形的外角概念及多邊形外角和公式；掌握多邊形外角和的推導(dǎo)方法；結(jié)合實(shí)踐與應(yīng)用，體會(huì)多邊形內(nèi)角和、外角和相互關(guān)系及

就能解決多邊形的外角和問(wèn)題，這個(gè)方法真是稀奇，稀奇，太稀奇！來(lái)，我們聽(tīng)故事吧！“三角形的內(nèi)角和是……”孔老師話(huà)音剛落，我們就異口同聲地回答：“180度！”“把一個(gè)三角形切成兩個(gè)小三角形，每個(gè)三角形的內(nèi)角和是……”孔老師連忙換了一道帶“迷彩”的題。哼哼，想騙我們上當(dāng)？“還是180度。”全班同學(xué)沒(méi)有一個(gè)掉進(jìn)孔老師布下的陷阱?！耙粋€(gè)四邊形的內(nèi)角和？”“切成2個(gè)三角形，360度！”“五邊形的內(nèi)角和？”“3個(gè)三角形，540度！”同學(xué)們答題的速度和孔老師出題的速度一樣

內(nèi)角平分線(xiàn)改變?yōu)?span id="rxnhjp5" class="hl">外角平分線(xiàn)，則有：如圖2，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠ABC的平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O（我們把點(diǎn)O稱(chēng)之為△ABC的旁心），求∠BOC的度數(shù).【分析】由∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠ABC的平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，可求得∠OBC和∠BCO的度數(shù)，進(jìn)而求出∠BOC的度數(shù).解：∵∠ABC=50°，BO平分∠ABC，∴∠OBC=25°；∵∠ACB=60°，∴∠ACD=120°. 又CO平分

CD∥AB.2.外角及其性質(zhì)：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，叫做三角形的外角.性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.如圖4，∠ACD=∠ABC+∠BAC.性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.如圖4，∠ACD>∠ABC，∠ACD>∠BAC.二、問(wèn)題透視例1 （2012年廣東肇慶）如圖5，已知D、E在△ABC的邊上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED =40°，則∠A 的度數(shù)為（ ）.A.100° B.90° C.80

. 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.例1 如圖1-1所示，△ABC中，點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB平分線(xiàn)的交點(diǎn).（1）請(qǐng)?zhí)剿鳌螾與∠A之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖1-2所示，若點(diǎn)P是∠ABC的外角和∠ACB的外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，判斷你在（1）中探索的結(jié)論是否還成立.如果不成立，∠P和∠A又有怎樣的關(guān)系，說(shuō)明理由.分析：無(wú)論是圖1-1，還是圖1-2，都有∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°. 要探索∠P與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)考慮將∠PBC+∠PCB

論：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.該推論能夠較好地揭示三角形的外角和內(nèi)角之間的兩種關(guān)系：角之間的相等關(guān)系與角之間的不等關(guān)系.靈活應(yīng)用這個(gè)推論可以幫助我們解決已知兩角求第三角的度數(shù)、證明兩個(gè)角之間的不等關(guān)系等問(wèn)題，使問(wèn)題能夠巧妙轉(zhuǎn)化，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下.一、 求角度問(wèn)題例1 如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=（ ）.A. 150°

BD是△ABC的外角，∠CBD必大于∠A與∠C.這是為什么呢？我們知道∠A+∠ABC+∠C=180°，且∠ABC+∠CBD=180°，那么可以得到∠CBD=∠A+∠C，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，必然地就可以得到∠CBD>∠A，∠CBD>∠C，概括為“三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角”.我們?cè)倏磮D1，這個(gè)三角形的三條邊都不相等，BC>AB>AC，三個(gè)角也不相等，∠A>∠C>∠B，它們之間有什么聯(lián)系嗎？那是當(dāng)然的.如圖3，作∠BAC的平

__；∠B的一個(gè)外角等于______.（2）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶5，則它們的外角的比是______.二、利用題目中角度之間的數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理為等量關(guān)系列方程例2 （1）在△ABC中，如果∠A＋∠B＝2∠C，那么∠C的度數(shù)是________.A.30° B.45° C.60° D.90°解：因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝2∠C，所以3∠C＝180°，所以∠C＝60°.選C.（2）在△ABC中，∠A＝2∠

張昌林三角形內(nèi)外角平分線(xiàn)有關(guān)命題的證明及應(yīng)用441123 湖北省襄陽(yáng)市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 張昌林圖1點(diǎn)評(píng) 利用角平分線(xiàn)的定義和三角形的內(nèi)角和等于180°,不難證明.證明 如圖1,證明 如圖2,∵DB和DC是△ABC的兩條外角平分線(xiàn),圖2點(diǎn)評(píng) 利用角平分線(xiàn)的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩內(nèi)角的和以及三角形的內(nèi)角和等于180 °,可以證明.穆振英是設(shè)計(jì)科班出身，畢業(yè)于山東工藝美術(shù)學(xué)院，曾任山東省廣告公司設(shè)計(jì)部主任。她和丈夫丁旭光共同經(jīng)營(yíng)國(guó)際彩印，工

象中，關(guān)于三角形外角和的證明，都是通過(guò)“三角形內(nèi)角和”來(lái)證明的.當(dāng)然，三角形內(nèi)角和的證明方法很多，其中一種證法是這樣的.所以∠BAC+∠B+∠C=∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定義).我們思考為什么會(huì)有這種證明方法？思路是這樣的，既然三角形的內(nèi)角和為180°，哪里有180°呢?平角等于180°.想辦法把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角即可.事實(shí)上，只要過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線(xiàn)，就會(huì)順利實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化！同樣，如果把剛才的思路再進(jìn)一步細(xì)化，我們不難

一個(gè)三角形的兩個(gè)外角平分線(xiàn)的夾角與第三個(gè)角是否也有該關(guān)系呢？如果沒(méi)有該關(guān)系，它們之間有其他關(guān)系嗎？如圖2，△ABC的兩外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)I，那么∠BIC與∠A是否還具有以上關(guān)系？請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手試試！通過(guò)計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)，這時(shí)∠BIC=90°－∠A.以上兩個(gè)分別是內(nèi)角平分線(xiàn)、外角平分線(xiàn)的夾角，同學(xué)們有沒(méi)有再考慮：如果是一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)和一個(gè)外角平分線(xiàn)的夾角，它與第三個(gè)角是否也有一定的關(guān)系？如果有，又是什么關(guān)系呢？如圖3，在△ABC中，BI為∠ABC的平分線(xiàn)，CI為

道，任意多邊形的外角和等于360°.在求解涉及多邊形的角的問(wèn)題時(shí)，若能把多邊形的“內(nèi)角”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“外角”問(wèn)題來(lái)處理，則往往可以收到化繁為簡(jiǎn)、化難為易之效果.一、求多邊形的邊數(shù)例1已知n邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于162°，求該多邊形的邊數(shù).解：因?yàn)閚邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于162°，所以該n邊形的每一個(gè)外角都等于180°-162°=18°.因?yàn)槿我舛噙呅蔚?span id="5zt5lbf" class="hl">外角和都等于360°，所以該多邊形的邊數(shù)n==20.二、求多邊形的周長(zhǎng)例2小敏在課外活動(dòng)期間制作了一個(gè)簡(jiǎn)單的

還可以運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和來(lái)解決.但本題中的∠BDC不是哪個(gè)三角形的外角，因此我們要設(shè)法構(gòu)造一個(gè)三角形使得其外角為∠BDC.解法2：如圖2，延長(zhǎng)CD，交AB于點(diǎn)E.∵∠BDC是三角形BED的一個(gè)外角，∴∠BDC=∠1+∠3.∵∠3是三角形AEC的一個(gè)外角，∴∠3=∠A+∠2.∴∠BDC=∠A+∠2+∠1.∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.∵∠A=100°，∴∠ABC+∠

形的邊數(shù)、內(nèi)角、外角及它們的相互關(guān)系.解答這類(lèi)問(wèn)題用到的主要知識(shí)點(diǎn)是多邊形的內(nèi)角和公式與外角和為360°.解題方法主要是利用公式列方程.一、多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系例1如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加1倍，新多邊形的內(nèi)角和是2 160°，求原來(lái)多邊形的邊數(shù).分析：本題考查多邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是邊數(shù)的變化.根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理及已知條件列出方程.設(shè)原來(lái)多邊形的邊數(shù)為n，那么邊數(shù)增加1倍后的多邊形邊數(shù)為2n，內(nèi)角和為（2n-2）×180°.解： 設(shè)原來(lái)多邊

一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，最多有幾個(gè)角是銳角？【解題誤區(qū)】對(duì)三角形的內(nèi)角與外角的概念如未能真正理解并加以區(qū)分，就會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為三角形的外角也與其內(nèi)角一樣，最多可有三個(gè)銳角.正解：∵三角形的每一個(gè)外角都與相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，∴當(dāng)相鄰的內(nèi)角是鈍角時(shí)，這個(gè)外角才是銳角.又∵三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是鈍角，∴三角形的三個(gè)外角中最多只有一個(gè)銳角.例2如圖1，四邊形ABCD是一個(gè)任意四邊形，求證：∠A+∠B+∠C+∠D＝360°.【解題誤區(qū)】有的同學(xué)因?yàn)椴荒苁炀氝\(yùn)用三角形的內(nèi)

題目三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，這個(gè)三角形是（）.A. 直角三角形 B. 銳角三角形C. 鈍角三角形D. 不能確定我的答案：首先，由三角形的外角和與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角的關(guān)系可知，若外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則外角小于90°，內(nèi)角大于90°.故該內(nèi)角為鈍角，這個(gè)三角形為鈍角三角形.應(yīng)選C.解后思考：由三角形的外角和與它相鄰的內(nèi)角的大小關(guān)系可以判斷三角形是否為鈍角三角形，那么我們是否也能這樣判斷直角三角形或銳角三角形呢？我?guī)е曰蟛阎按蚱粕冲仭降?/div>

中學(xué)生數(shù)理化·七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版 2008年3期2008-06-10

角和定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形角平分線(xiàn)的性質(zhì)對(duì)于解答與三角形有關(guān)的問(wèn)題有著很重要的作用，靈活應(yīng)用這些定理和性質(zhì)有助于提高我們的解題能力.下面舉例說(shuō)明.例1如圖1，若點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，試說(shuō)明∠BPC=90°+∠A.[解析：]在△BPC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）.∵∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（∠ABC+∠ACB）.∵在△ABC中，∠ABC+∠AC

角都等于與它相鄰外角的9倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).預(yù)備知識(shí) 解答本題要知道以下知識(shí)：1. n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°；2. n邊形的外角和等于360°；3. 當(dāng)n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等時(shí)，每個(gè)外角都相等，且每個(gè)內(nèi)角都等于，每個(gè)外角都等于.我的解法： 根據(jù)多邊形的內(nèi)角與外角的數(shù)量關(guān)系，可列方程求解.設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得=×9.解得n=20.所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為20.趙明的解法： 根據(jù)題意，可得多邊形的內(nèi)角和是外角和的9倍，利用這個(gè)等量關(guān)

2）·180°，外角和是360°，由此可知，由多邊形的邊數(shù)可以求出它的內(nèi)角和，由多邊形的內(nèi)角和可以求出它的邊數(shù).不僅如此，我們根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n-2）·180°可以知道，多邊形的內(nèi)角和是180°的整數(shù)倍；根據(jù)多邊形的外角和是360°可知，多邊形的外角和不隨多邊形邊數(shù)的變化而變化.在研究多邊形的內(nèi)角和時(shí)，我們將多邊形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形，這種轉(zhuǎn)化的思想在解題中起著重要的作用.下面舉例說(shuō)明這些性質(zhì)和思想方法在解題中的運(yùn)用.1. 利用多邊形的內(nèi)角和公式例1已知

形的內(nèi)角和等于其外角和，那么這個(gè)多邊形是邊形.5. 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之比為7 ∶ 2，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.6. 在多邊形中，小于108°的內(nèi)角最多可以有個(gè).二、選擇題7. 如果多邊形的邊數(shù)增加1，則多邊形的內(nèi)角和增加（）.A. 90°B. 108°C. 180°D. 270°8. 隨著多邊形邊數(shù)的增加，它的外角和將（）.A. 增加 B. 減少C. 不變D. 無(wú)法確定9. 下列多邊形是正多邊形的為（）.A. 各邊都相等的多邊形B. 有一個(gè)外角為

角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)是“三角形”這一章的重要內(nèi)容.學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容僅記住定理和推論是不夠的，要能準(zhǔn)確地?cái)⑹龆ɡ?，?guī)范地作出圖形，用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行證明，這樣才能對(duì)定理深刻理解，熟練掌握，靈活運(yùn)用.1. 理解定理及性質(zhì)三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.課本參照?qǐng)D1對(duì)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行了說(shuō)明，這里我們參照?qǐng)D2對(duì)三角形內(nèi)角和定理及

識(shí)多邊形的內(nèi)角和外角.學(xué)習(xí)“多邊形及其內(nèi)角和”這節(jié)內(nèi)容，首先要知道三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形.可根據(jù)圖1所示的結(jié)構(gòu)圖領(lǐng)會(huì)三角形的角與多邊形的角之間的聯(lián)系.2. 體會(huì)“化未知為已知”的數(shù)學(xué)思想，掌握多邊形的內(nèi)角和公式.三角形的內(nèi)角和是180°，那么求四邊形的內(nèi)角和問(wèn)題（未知），是否可以使用“化未知為已知”的思想，將求四邊形的內(nèi)角和問(wèn)題（未知）轉(zhuǎn)化為計(jì)算三角形的內(nèi)角和問(wèn)題（已知）呢？下面給出了將四邊形劃分為三角形的幾種方法，如圖5、圖6、圖7，你能借助這些圖形計(jì)算

與這些銳角相鄰的外角就有4個(gè)或4個(gè)以上是鈍角，它們的和將大于360°.這個(gè)多邊形的外角和當(dāng)然就大于360°了，這與任意多邊形的外角和等于360°相矛盾．所以，多邊形的內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)不能多于3個(gè)．點(diǎn)評(píng)(1)本題若從內(nèi)角考慮，較難說(shuō)清楚理由，而從外角入手，問(wèn)題便簡(jiǎn)單多了．這是因?yàn)槎噙呅蔚膬?nèi)角和隨著邊數(shù)的改變而變化，而外角和卻是一個(gè)常數(shù)360°.因此，用外角和處理這個(gè)問(wèn)題較簡(jiǎn)單.(2)注意本題的說(shuō)理方法，當(dāng)直接說(shuō)明“為什么多邊形不能有3個(gè)以上的內(nèi)角是銳角”有