唐彩霞

在《與三角形有關(guān)的角》這一節(jié)中，有一類非常經(jīng)典的專題：五角星模型、“8字形”基本模型以及它的變形拓展模型中內(nèi)角間的數(shù)量關(guān)系。與三角形有關(guān)的角的數(shù)量關(guān)系，可以梳理一個類似分類討論情況的角關(guān)系，即：

1.內(nèi)角與內(nèi)角之間關(guān)系：三角形內(nèi)角和定理

（三角形三個內(nèi)角的和等于）

2.外角與外角之間關(guān)系：三角形三個外角的和等于

（1）三角形一個外角與它相鄰的內(nèi)角互補

3.內(nèi)角與外角之間關(guān)系 （2）三角形一個外角等于與它不相鄰兩內(nèi)角

（3）三角形一個外角大于與它不相鄰任一個內(nèi)角

五角星模型、“8字形”基本模型以及它們的變形拓展模型中內(nèi)角間的數(shù)量關(guān)系這一類專題其實是學生對三角形內(nèi)外角和知識的一個很好鞏固，不同的變形模型，雖然原理都一樣，但能夠很好發(fā)展學生思維，學會識別學習幾何不外乎就是識別不同的幾何模型，幾何模型變化有趣，對發(fā)散思維很強的學生來說能極大提高辨別能力。下面我們就用火眼精金來識別這些模型：

一、基本五角星模型

1.基本五角星模型

如圖，在任意五角星模型中，請?zhí)骄康亩葦?shù).

證明：在△中，是△的一個外角

在△中，是△的一個外角

在△中

即

.

對于五角星的基本模型，先轉(zhuǎn)化到兩個“對稱”的三角形中，運用兩次“三角形一個外角等于與它不相鄰兩內(nèi)角”轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，同樣利用三角形內(nèi)角和代換得到五個內(nèi)角之和。

2.簡單凹邊形模型

求證.

證明：在△中，是△的一個外角

在△中，是△的一個外角

.

含有一個凹邊形的模型的，作輔助線，運用兩次“三角形一個外角等于與它不相鄰兩內(nèi)角”轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，利用三角形內(nèi)角和代換關(guān)系。

3.簡單凹邊形模型變形（一）

如圖，在下面多邊形中，請?zhí)骄康亩葦?shù).

證明：在△中，是△的一個外角

在△中，

即

此類含有一個凹邊形的模型的，運用一次“三角形一個外角等于與它不相鄰兩內(nèi)角”轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，利用三角形內(nèi)角和代換關(guān)系。

4.簡單凹邊形模型變形（二）

如圖，在下面多邊形中，請?zhí)骄康亩葦?shù).

證明：在△中，是△的一個外角

在△中，是△的一個外角

即

此類含有三個凹邊形的模型，運用兩次“三角形一個外角等于與它不相鄰兩內(nèi)角”轉(zhuǎn)化在一個平角中，利用平角等于代換關(guān)系。由五角星模型衍生變式另一類在幾何證明題中常見的題目：“8字形”基本模型。

5.“8字形”基本模型中內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系

如圖，請?zhí)骄康臄?shù)量關(guān)系.

證明：在△中，中

，

（兩底角之和兩頂角之和）

二、“8字形”基本模型

“8字形”基本模型也是借助“三角形一個外角等于與它不相鄰兩內(nèi)角”轉(zhuǎn)化得到兩底角之和等于兩頂角之和;無論是多么復(fù)雜的模型，都可尋找特征轉(zhuǎn)化為“8字形”，這充分體現(xiàn)了數(shù)學思想方法中的轉(zhuǎn)化思想?！?字形”基本模型在以后的題目會經(jīng)常出現(xiàn)，它有一點像平行線中的拐點模型，特別是在證明兩個三角形全等中轉(zhuǎn)換角的關(guān)系中經(jīng)常出現(xiàn)。關(guān)于角的和差題目中，學生如果能夠很快速度找出“8字形”基本模型，有利于學生很快找出角與角之間的關(guān)系，對于學生來說學習三角形全等和三角形相似就輕松很多。

關(guān)于五角星、“8字形”基本模型中內(nèi)角之間的和、差問題背后的一些教學思考，對于剛步入初二年級學習幾何的同學來說，當幾何圖形比較復(fù)雜一些時候，他們不能很快有效識別，找到邊與角之間的數(shù)量、位置關(guān)系。所以在幾何情景中或者變式題目中，應(yīng)引導學生借助已有知識經(jīng)驗，借助圖形直觀，探索發(fā)現(xiàn)圖形可能具有的性質(zhì)，這樣不僅有利于學生在獲取有關(guān)知識，不斷提高研究幾何圖形的性質(zhì)能力，更有助于發(fā)展他們的創(chuàng)新意識和能力。以學生的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，不斷發(fā)現(xiàn)適合學生能夠理解運用的幾何模型，就像數(shù)學建模一樣，建立一些創(chuàng)新模型，從不同的題目中不斷總結(jié)，提升自主探索能力，這對于邏輯思維比較強的學生是一種很好的學習習慣。通過此類問題的思考研究，更多是希望能有助于學生感知和體驗空間與圖形的現(xiàn)實意義，逐步發(fā)展學生的空間觀念。