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        聚焦外角和整體來思考

        2017-03-04 01:27:33張立道
        初中生世界 2017年9期

        張立道

        聚焦外角和整體來思考

        張立道

        根據(jù)n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)· 180°,我們可以推理得到n邊形的外角和等于360°,也就是說隨著多邊形邊數(shù)n的變化,多邊形的內(nèi)角和也在變化,而多邊形的外角和是一個不變的量,都等于360°.解決與多邊形內(nèi)角或外角度數(shù)有關(guān)的問題時,往往從多邊形的外角和入手,整體思考更顯解法自然.現(xiàn)舉例加以說明.

        一、直接應(yīng)用多邊形外角和定理

        例1若一個多邊形的每一個外角都等于40°,則這個多邊形的邊數(shù)是().

        A.7B.8C.9D.10

        【分析】本題給出條件“多邊形的每一個外角都等于40°”,根據(jù)多邊形的外角和都是360°,所以,直接用360除以外角的度數(shù)就可以求出多邊形的外角個數(shù),即多邊形的邊數(shù),為360÷40=9.選C.

        【點評】本題直接應(yīng)用多邊形外角和與每一個外角、外角個數(shù)即多邊形的邊數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系求得多邊形的邊數(shù).

        例2(2016·臺灣)如圖1中的七邊形ABCDEFG中,AB、ED的延長線相交于O點.若圖中∠1、∠2、∠3、∠4的角度和為220°,則∠BOD的度數(shù)為().

        A.40°B.45°C.50°D.60°

        圖1

        【分析】待求的∠BOD既不在三角形中,也不是多邊形的內(nèi)角,那我們就應(yīng)考慮把∠BOD放入三角形中或構(gòu)造成與多邊形外角有關(guān)系的角,延長BC交OD于點M,這樣,就可以直接根據(jù)多邊形的外角和為360°得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°,∠OMC與∠BMD的和為180°,即可得出結(jié)論.

        解:延長BC交OD于點M.

        ∵多邊形的外角和為360°,

        ∴∠OBC+∠MCD+∠CDM

        =360°-220°=140°.

        ∵三角形的內(nèi)角和為180°,

        ∴在△OMB和△MCD中,∠BOD+∠OBC+∠OMB+∠DMC+∠MCD+∠CDM=360°,

        即∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM= 360°,

        ∴∠BOD=40°.即本題應(yīng)該選A.

        【點評】本題考查了能否靈活地構(gòu)造多邊形的外角,直接應(yīng)用多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和定理解決問題.

        例3如圖2,六邊形ABCDEF中,AB∥DC,∠1、∠2、∠3、∠4分別是∠BAF、∠AFE、∠FED、∠EDC的外角,則∠1+∠2+∠3+∠4=.

        圖2

        【分析】由圖形可知:∠1、∠2、∠3、∠4是六邊形ABCDEF的四個外角,如果能求出這個六邊形的另外兩個外角,即可求解.故作出這兩個外角∠MBC、∠BCN,并應(yīng)用平行線的性質(zhì)求得它們的和,進而求得∠1+∠2+∠3+∠4的值.

        解:作出六邊形ABCDEF的兩個外角∠MBC、∠BCN.

        ∵AB∥DC,∴∠MBC+∠BCN=180°.

        ∵六邊形ABCDEF的外角和為360°,

        ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.

        即:本題應(yīng)該填180°.

        【點評】本題考查了能否構(gòu)造多邊形中具有特殊數(shù)量關(guān)系的兩個外角,從而直接應(yīng)用多邊形的外角和定理求得四個角的度數(shù)和.

        二、轉(zhuǎn)化內(nèi)角為外角,整體應(yīng)用多邊形外角和定理

        例4(2016·揚州)若多邊形的每一個內(nèi)角均為135°,則這個多邊形的邊數(shù)為.

        【分析】由于一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于135°,所以這個多邊形的每一個外角都等于45°,再根據(jù)多邊形的外角和都是360°,即可求得多邊形的外角個數(shù)為360÷45=8.

        【點評】本題考查能否根據(jù)多邊形的每個內(nèi)角與外角互為鄰補角,求得多邊形的每個外角的度數(shù),進而整體應(yīng)用多邊形外角和與每一個外角、外角個數(shù)的關(guān)系,求得多邊形的邊數(shù).當然,本題也可以設(shè)邊數(shù)為n,根據(jù)內(nèi)角和可以用代數(shù)式表示為135n,也可以用代數(shù)式表示為(n-2)×180,則可建立方程為135n=(n-2)×180,解得n=8.

        三、實際問題數(shù)學化,整體應(yīng)用多邊形外角和定理

        例5(2016·十堰)如圖3所示,小華從點A出發(fā),沿直線前進10米后左轉(zhuǎn)24°,再沿直線前進10米,又向左轉(zhuǎn)24°,……,照這樣走下去,他第一次回到出發(fā)地A點時,一共走的路程是().

        圖3

        A.140米B.150米C.160米D.240米

        【分析】由于小華從點A出發(fā),沿直線前進10米后左轉(zhuǎn)24°,依次行走,他第一次回到出發(fā)地A點,說明小華轉(zhuǎn)過的角度就是360°,即為運動路線構(gòu)成的多邊形的外角和是360°.每次左轉(zhuǎn)24°,即為這個多邊形的每個外角的度數(shù),所以這個多邊形的邊數(shù)為360÷24=15,即左轉(zhuǎn)15次可以回到出發(fā)點.又因為每次走10米左轉(zhuǎn)一次,所以共走了150米.選B.

        【點評】本題考查正多邊形的外角計算與實際問題的結(jié)合.求小華所走的路程,使外角和的應(yīng)用煥然一新,解答時需要同學們靈活地把實際問題抽象成數(shù)學問題.

        (作者單位:江蘇省揚州市邗江實驗學校)

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