彭光琴

如果我們能多思考、多總結(jié)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中很多有趣的內(nèi)在關(guān)系.我們要會(huì)求同存異，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì).這樣我們才能靈活運(yùn)用知識(shí).下面請(qǐng)彭老師給我們舉例分析吧.

問(wèn)題如圖1，在△ABC中，I分別為∠ABC、∠ACB的平分線的交點(diǎn).

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=60°，你能求出∠BIC的度數(shù)嗎？

（2）若∠A=80°，你能求出∠BIC的度數(shù)嗎？

（3）若∠A=n°，你能求出∠BIC的度數(shù)嗎？

（4）由以上結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了什么？

分析：這道題并不難，對(duì)（1）、（2）兩問(wèn)，同學(xué)們很容易求得∠BIC為130°.下面我們來(lái)看如何解答第（3）問(wèn).

因?yàn)镮為∠ABC、∠ACB的平分線的交點(diǎn)，所以∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，則∠BIC=180°-（∠IBC＋∠ICB）=180°－（∠ABC＋∠ACB）=180°－（180°－∠A）=90°＋∠A=90°＋×n°.

由以上結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)恒等關(guān)系：∠BIC=90°＋∠A.根據(jù)一個(gè)三角形中兩個(gè)內(nèi)角平分線的夾角與第三個(gè)角的關(guān)系，你能大膽猜想一個(gè)三角形的兩個(gè)外角平分線的夾角與第三個(gè)角是否也有該關(guān)系呢？如果沒(méi)有該關(guān)系，它們之間有其他關(guān)系嗎？

如圖2，△ABC的兩外角平分線交于點(diǎn)I，那么∠BIC與∠A是否還具有以上關(guān)系？請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手試試！

通過(guò)計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)，這時(shí)∠BIC=90°－∠A.

以上兩個(gè)分別是內(nèi)角平分線、外角平分線的夾角，同學(xué)們有沒(méi)有再考慮：如果是一個(gè)內(nèi)角平分線和一個(gè)外角平分線的夾角，它與第三個(gè)角是否也有一定的關(guān)系？如果有，又是什么關(guān)系呢？

如圖3，在△ABC中，BI為∠ABC的平分線，CI為△ABC的外角∠ACD的平分線，則∠A與∠BIC之間有何關(guān)系？

解決這個(gè)問(wèn)題的方法與上面有所不同.因?yàn)镮為∠ABC的平分線和∠ACD的平分線的交點(diǎn)，所以∠IBC=∠ABC，∠ICD=∠ACD，則∠BIC=∠ICD－∠IBC=（∠ACD－∠ABC）=∠A.

學(xué)數(shù)學(xué)要學(xué)會(huì)舉一反三，只有這樣才能觸類旁通.下面請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合以上的探索過(guò)程，解決這個(gè)問(wèn)題.

如圖4，在△ABC中，∠A=50°，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC的平分線和∠ACD的平分線交于點(diǎn)I1，∠I1BC的平分線和∠I1CD的平分線交于點(diǎn)I2……依此類推，∠I4BC的平分線和∠I4CD的平分線交于點(diǎn)I5，則∠BI5C=.

同學(xué)們，這道題你會(huì)處理嗎？在數(shù)學(xué)的王國(guó)里，只要多思考，你一定會(huì)感受到數(shù)學(xué)的奧妙無(wú)窮.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。