周啟東

蜜蜂是勤勞的，也是可愛的，下面就請(qǐng)同學(xué)們來(lái)思考一個(gè)與蜜蜂有關(guān)的數(shù)學(xué)趣題.

假定有一排蜂房，形狀如圖1，一只蜜蜂在左下角，由于受了點(diǎn)傷，它只能始終向右方（包括右上、右下）爬行，從一間蜂房爬到右邊相鄰的蜂房中去.例如，蜜蜂到1號(hào)蜂房的爬法有：蜜蜂→1號(hào)；蜜蜂→0號(hào)→1號(hào).共有2種不同的爬法.同學(xué)們知道蜜蜂從最初位置到4號(hào)蜂房共有多少種不同的爬法嗎？

要求出蜜蜂從最初位置到4號(hào)蜂房共有幾種不同的爬法，就得由簡(jiǎn)到繁、一步一步來(lái).

很明顯，按規(guī)則，蜜蜂從最初位置到0號(hào)蜂房只有唯一的一種爬法.從最初位置到1號(hào)蜂房有2種不同爬法：蜜蜂→1號(hào)；蜜蜂→0號(hào)→1號(hào).同樣的道理，蜜蜂從最初位置到2號(hào)蜂房有3種不同爬法：蜜蜂→0號(hào)→2號(hào)；蜜蜂→1號(hào)→2號(hào)；蜜蜂→0號(hào)→1號(hào)→2號(hào).蜜蜂從最初位置到3號(hào)蜂房有5種不同爬法：蜜蜂→1號(hào)→3號(hào)；蜜蜂→0號(hào)→2號(hào)→3號(hào)；蜜蜂→0號(hào)→1號(hào)→2號(hào)→3號(hào)；蜜蜂→1號(hào)→2號(hào)→3號(hào)；蜜蜂→0號(hào)→1號(hào)→3號(hào).

現(xiàn)在不難看出，蜜蜂要是想從最初位置爬到4號(hào)蜂房，那它在到4號(hào)蜂房之前，最后一個(gè)落腳點(diǎn)不是2號(hào)蜂房就是3號(hào)蜂房.所以蜜蜂從最初位置到4號(hào)蜂房的不同爬法的總數(shù)，就是它從最初位置到2號(hào)蜂房的不同爬法的總數(shù)與它從最初位置到3號(hào)蜂房的不同爬法的總數(shù)的和.因此蜜蜂從最初位置到4號(hào)蜂房的不同爬法的總數(shù)為3+5=8.

如果還有5號(hào)蜂房、6號(hào)蜂房、7號(hào)蜂房……繼續(xù)算下去就會(huì)得到下面的一組數(shù)：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，

144，….

如果這列數(shù)前面再加上一項(xiàng)1，那么就成了很有名的斐波那契數(shù)列.

列昂納多·斐波那契是意大利的數(shù)學(xué)家.他是一個(gè)商人的兒子.兒童時(shí)代跟隨父親到了阿爾及利亞，在那里他學(xué)到了許多阿拉伯的算術(shù)和代數(shù)知識(shí)，從而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣.

長(zhǎng)大以后，因?yàn)樯虡I(yè)貿(mào)易關(guān)系，他去過(guò)許多國(guó)家，到過(guò)埃及、敘利亞、希臘、西西里和法蘭西.每到一處他都留心搜集數(shù)學(xué)知識(shí).回國(guó)后，他把搜集到的算術(shù)和代數(shù)材料，進(jìn)行研究、整理，編寫成一本書，取名為《算盤之書》，于1202年正式出版.

這本書是歐洲人從亞洲學(xué)來(lái)的算術(shù)和代數(shù)知識(shí)的整理和總結(jié)，它推動(dòng)了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展.從此，阿拉伯?dāng)?shù)字在歐洲通行起來(lái).

在這本書中有一道“兔子問(wèn)題”：

一個(gè)人到集市上買了一對(duì)小兔子，一個(gè)月后，這對(duì)小兔子長(zhǎng)成一對(duì)大兔子.然后這對(duì)大兔子每過(guò)一個(gè)月就可以生一對(duì)小兔子，而每對(duì)小兔子也都是經(jīng)過(guò)一個(gè)月可以長(zhǎng)成大兔子，長(zhǎng)成大兔子后也是每經(jīng)過(guò)一個(gè)月就可以生一對(duì)小兔子.那么，從此人在市場(chǎng)上買回那對(duì)小兔子算起，每個(gè)月后，他擁有多少對(duì)兔子？

這是一個(gè)有趣的問(wèn)題.可以這么推算:

第一個(gè)月后，小兔子剛長(zhǎng)成大兔子，還不能生小兔子，所以只有一對(duì)大兔子.

第二個(gè)月后，大兔子生了一對(duì)小兔子，他有了一對(duì)小兔子和一對(duì)大兔子.

第三個(gè)月后，原先的大兔子又生了一對(duì)小兔子，上月出生的小兔子也長(zhǎng)成了大兔子，他共有一對(duì)小兔子和兩對(duì)大兔子.

第四個(gè)月后，兩對(duì)大兔子各生一對(duì)小兔子，上月出生的小兔子又長(zhǎng)成了大兔子，他共有兩對(duì)小兔子和三對(duì)大兔子.

第五個(gè)月后，三對(duì)大兔子各生一對(duì)小兔子，上月出生的兩對(duì)小兔子也長(zhǎng)成了大兔子，他共有三對(duì)小兔子和五對(duì)大兔子.

……

以此類推，可得到每月兔子對(duì)數(shù)為一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….

這是一個(gè)很有規(guī)律的數(shù)列，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是緊接著它的前面兩項(xiàng)的和，這個(gè)數(shù)列可以無(wú)窮盡地向大數(shù)發(fā)展.人們?yōu)榱思o(jì)念這位“兔子問(wèn)題”的創(chuàng)始人，就把這個(gè)數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．

該數(shù)列有很多奇妙的屬性.比如：

隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越來(lái)越逼近0.618 033 988 7…….

還有一個(gè)性質(zhì)，從第二項(xiàng)開始，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1，每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1.連續(xù)4項(xiàng)中，中間兩項(xiàng)的積與外面兩項(xiàng)積的差是1或-1.

上面的知識(shí)同學(xué)們懂了嗎？下面的問(wèn)題就請(qǐng)你們來(lái)完成吧!

人民公園的側(cè)門口有9級(jí)臺(tái)階，小聰一步只能上１級(jí)臺(tái)階或２級(jí)臺(tái)階，那么小聰上這９級(jí)臺(tái)階共有多少種不同方法？（參考答案：55）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。