毋桂萍

中學教材中在推導多邊形的內角和及外角和的計算公式時，一般采用下列步驟：

首先將一個n邊形分成（n-2）個三角形，從而得到n邊形的內角和為（n-2）180°。

再由相鄰外角與內角的互補關系得到n邊形的外角和恒為360°的結論，從而也間接地證明了多邊形的外角和與其邊數(shù)多少無關的這一重要性質。

但是，由上述方法得到的外角和性質，主要是通過代數(shù)演算而得到的，致使學生甚至一部分教師很難從幾何意義上徹底理解。為了向學生說明其幾何意義，老師們也絞盡腦汁地進行了多種探索，但終是沒能揭示其實質。下面舉兩種常見的解釋方法：

（1）外角變小說：如果一個多邊形的邊數(shù)增加，則一些內角便會增大，對應的外角就會隨之變小。這時雖然外角的個數(shù)增加，但由于一些外角變小，使得外角和保持不變。這種說法不能說明外角個數(shù)增加與外角度數(shù)變小之間的數(shù)量關系，因此缺乏說服力。

（2）繞圈說：以圖1為例：將鉛筆尖作為指向，鉛筆的另一端作為始點，先將鉛筆置于圖中多邊形的CD邊上，并沿線段CD指向D點。然后將鉛筆沿線段CD向D點滑移，使始點置于D點，再將鉛筆按逆時針方向旋轉到DE邊上并指向E點，此時鉛筆轉過的角度就是∠D的外角。用同樣的操作方法，將鉛筆的始點依次滑移到E、A、B、C各點并旋轉后會發(fā)現(xiàn)，鉛筆轉過的總的角度正好是多邊形的各個外角之和，而同時鉛筆也正好旋轉了一整周，即360°。于是得到多邊形的外角和恒為360°而與其邊數(shù)無關的結論。這一解釋方法，雖然形象直觀地直接得到了多邊形外角和的值，但絲毫沒有提及外角和與邊數(shù)之間的變化過程及其相互關聯(lián)，因此也不理想。

不過，值得一提的是，上述“繞圈法”的一個獨特作用是顛覆本文開頭提到的傳統(tǒng)教材中的“由內角和求外角和”的編排順序，改為由外角和求內角和：

設n邊形的各個內角分別為A1，A2，…An，由上面的繞圈法可知n邊形的外角和恒為360°，又由相鄰外角與內角的互補關系，便可以得到計算n邊形外角和的表達式為：

于是，得到n邊形的內角和的公式：

這便是由多邊形的外角和推得的熟知的多邊形的內角和公式。

特別地，當n=3時，就可以得到三角形的內角和為180°。

上述有趣的推證方法，還可以作為學生數(shù)學課外活動的內容。

下面給出筆者關于這一問題的純幾何證明方法。

定理：多邊形的外角和與其邊數(shù)無關。

證明：需要說明的是，中學教材中所說的多邊形，都是指簡單的凸多邊形，即各個內角均小于180°的簡單的多邊形。

首先看一種最簡單情況：假設多邊形只增加了一條邊，為保證增加一條邊后，多邊形仍是凸多邊形，我們可以過原多邊形的相鄰的兩個頂點，例如A、B兩點，畫一條外凸的弧線（不一定是圓弧），如圖2所示。在弧線上取一點P，連接PA、PB，此時若將P點作為多邊形的一個新頂點，則這個新的多邊形便比原多邊形多了一個頂點和一條邊，從而也就多了一個外角∠MPB。同時，原多邊形在頂點A和點B處的外角也由原來的∠RAB和∠SBA，分別變成∠RAP和∠SBP，分別減小了∠PAB和∠PBA的度數(shù)。

又由于∠MPB同時也是△PAB的外角，由三角形的外角定理可知：

∠MPB=∠PAB+∠PBA。

這個等式說明：新多邊形增加的那個外角∠MPB的度數(shù)，與原來多邊形的兩個外角∠RAB和∠SBA變成新多邊形的外角后減少的度數(shù)（即∠PAB+∠PBA）正好相等，兩者抵消后，使得新舊兩個多邊形的外角和相等。這就證明了當多邊形增加一條邊后，多邊形的外角和保持不變。

若再增加一條邊，證明的方法相同。就是說，不論多邊形增加多少條邊，其外角之和恒保持不變。（反之，若邊數(shù)減少，證明方法類似，只是順序相反。）

由于中學數(shù)學材中研究的是邊數(shù)有限的多邊形，所以，以上步驟就完成了定理的證明。（外角和的值恒為360°的推導，仍可用教材中的方法。）

以上證法的特點是，徹底揭示了問題的本質，即：當一個多邊形的邊數(shù)增加（或減少）時，新增（或減少）的那個外角的度數(shù)恰同與它相鄰的兩個外角減少（或增加）的度數(shù)之和相等而互相抵消，使得多邊形邊數(shù)的改變不會影響其外角和的值（只會影響其內角和的值）。此外，本證法還能從幾何圖形的直觀上看清楚外角之間隨著多邊形邊數(shù)改變的變化情況，使得這一長期困擾師生的難題得到徹底解決。

編輯 李博寧