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        橢圓與雙曲線的一個(gè)美妙性質(zhì)及應(yīng)用

        2018-05-14 06:14:48占峰
        學(xué)校教育研究 2018年19期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)

        占峰

        性質(zhì)1 過點(diǎn) 的直線 與曲線 相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn) ,則

        (1)當(dāng) 時(shí),x軸為 的平分線;

        (2)當(dāng) ,x軸為 的外角的平分線.

        證明:不妨設(shè)直線 的斜率存在,其方程為

        由 ,消去y 可得

        ,直線AN,BN關(guān)于x軸對稱,由此知:

        (1)當(dāng) 時(shí),x軸為 的平分線(如圖1);

        (2)當(dāng) ,x軸為 的外角的平分線(如圖2).

        注:在性質(zhì)1中,當(dāng) 時(shí),C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;當(dāng) 時(shí),表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;當(dāng) 時(shí),表示一個(gè)圓.由此便知有如下的性質(zhì)2.

        性質(zhì)2 過點(diǎn) 的直線 與曲線 相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn) ,則

        (1)當(dāng) 時(shí),y軸為 的平分線;

        (2)當(dāng) ,y軸為 的外角的平分線.

        性質(zhì)3過點(diǎn) 的直線 與雙曲線 相交于同一支上的A,B兩點(diǎn),點(diǎn) ,則

        (1)當(dāng) 時(shí),x軸為 的平分線;

        (2)當(dāng) 時(shí), x軸為 的外角的平分線.

        證明:不妨設(shè)直線 的斜率存在,其方程為

        由 ,消去y 可得

        ,直線AN,BN關(guān)于x軸對稱,由此知:

        (1)當(dāng) 時(shí),x軸為 的平分線(如圖3);

        (2)當(dāng) 時(shí), x軸為 的外角的平分線(如圖4).

        注:當(dāng)B,A分別位于雙曲線的左,右支時(shí),則與性質(zhì)3中的結(jié)論相反:

        (1)當(dāng) 時(shí),x軸為 的平分線;

        (2)當(dāng) 時(shí), x軸為 的外角的平分線.

        應(yīng)用

        例1 (2015年高考四川理科數(shù)學(xué)第20題)如圖,橢圓E: 的離心率是 ,過點(diǎn)P(0,1)的動直線 與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線 平行與 軸時(shí),直線 被橢圓E截得的線段長為 .

        (1)求橢圓E的方程;

        (2)在平面直角坐標(biāo)系 中,是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,

        使得 恒成立?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

        解析(1) ;

        (2)因?yàn)?,所以當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ,由性質(zhì)2知,y軸為 的平分線,所以 恒成立.

        例2 過點(diǎn) 的直線與雙曲線E: 相交于同一支上的A,B兩點(diǎn),點(diǎn) .若 干,則直線 的斜率為 .

        解 由性質(zhì)3知,x軸為 的外角的平分線,,過點(diǎn)A,B分別作x軸的垂線,垂足分別為G,H,則 ∽ ,故 (如圖5)

        聯(lián)立(1),(5)解得 ,代入(3)解得 ,故直線 的斜率

        .

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