林建華

(福建省長(zhǎng)樂(lè)第二中學(xué)，福建福州，350200)

一線教學(xué)中往往存在這樣的現(xiàn)象，教師在教學(xué)中傳授不少解題技巧，而且認(rèn)為自己教得越細(xì)致，學(xué)生訓(xùn)練得越多，越有助于形成教學(xué)成果；與此同時(shí)，學(xué)生花大量時(shí)間做大量配套訓(xùn)練，遇到新題型卻常出現(xiàn)“其實(shí)知道，只是當(dāng)時(shí)沒(méi)想到”的卡殼情況，原因在于學(xué)生沒(méi)有形成有效的決策機(jī)制，只是模式化地進(jìn)行知識(shí)性的學(xué)習(xí).從某種程度上說(shuō)，這樣的教學(xué)方式制約了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，也與當(dāng)下的教育教學(xué)環(huán)境嚴(yán)重不適應(yīng).教師應(yīng)該積極轉(zhuǎn)變角色，不再將學(xué)生按照預(yù)設(shè)的模樣去雕琢，而是要致力于營(yíng)造學(xué)生成長(zhǎng)的學(xué)習(xí)氛圍，提供有營(yíng)養(yǎng)的學(xué)習(xí)素材，幫助學(xué)生自我建設(shè)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者以探究多邊形的外角和為例，探索教師角色的轉(zhuǎn)變.

1 教學(xué)理論依據(jù)

在解釋“學(xué)習(xí)”的神經(jīng)生理機(jī)制時(shí)，傳統(tǒng)的白板理論認(rèn)為大腦的復(fù)雜性是由外而內(nèi)隨著經(jīng)驗(yàn)的增加而增加.在白板理論中，教師的角色是“木匠”.而大腦意識(shí)機(jī)制的最新研究成果提出了由內(nèi)而外的理論.經(jīng)驗(yàn)并不是大腦復(fù)雜性的主要緣由.相反地，學(xué)習(xí)是大腦通過(guò)自組裝，將預(yù)先存在的神經(jīng)元軌跡與外部事件相匹配而發(fā)生[1].該理論認(rèn)為：“感知是一種主動(dòng)行為而非被動(dòng)接受，學(xué)習(xí)也不再主要依賴于經(jīng)驗(yàn)的積累，而是大腦活動(dòng)與外部世界相匹配的過(guò)程.[1]”“由內(nèi)而外”的大腦意識(shí)機(jī)制與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱2022年版標(biāo)準(zhǔn))提出的“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”[2]的課程理念高度契合，教師的角色不再是“木匠”而是“園丁”.

2 教材內(nèi)容解讀

人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第十一章《三角形》先從小學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)三角形內(nèi)角和為180°開(kāi)始，通過(guò)平行線的性質(zhì)與平角的定義推導(dǎo)出三角形的內(nèi)角和定理，并且得出推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.然后再由特殊推廣到一般，探索并證明了多邊形的內(nèi)角和公式.最后在章末通過(guò)一道例題研究六邊形的外角和：利用相鄰內(nèi)外角互補(bǔ)的關(guān)系推導(dǎo)出六邊形的內(nèi)角和為360°，接著提出：能否將這一結(jié)論推廣至所有多邊形.再給出這樣的解釋：從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)(如圖1)，沿多邊形的各邊走過(guò)各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向.在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形的外角和等于360°.

圖1

數(shù)學(xué)大師陳省身曾指出，對(duì)于多邊形不應(yīng)只看內(nèi)角，還應(yīng)該看外角.多邊形的內(nèi)角和隨著多邊形的邊數(shù)的變化而變化.而任意多邊形的外角和卻始終是360°，與多邊形的邊數(shù)無(wú)關(guān)，這才是多邊形的本質(zhì)屬性.那么應(yīng)如何處理多邊形的外角和這部分教學(xué)內(nèi)容呢？不少教師是安排在多邊形的內(nèi)角和這一課時(shí)，用幾個(gè)問(wèn)題快速帶出結(jié)論，這樣的教學(xué)處理是認(rèn)為多邊形的外角和為360°簡(jiǎn)單易掌握，好記好用并且相關(guān)考點(diǎn)的試題易得分，不必要更不值得花時(shí)間深究.其實(shí)這樣的處理忽視了多邊形外角和的教學(xué)價(jià)值.筆者認(rèn)為教師應(yīng)根據(jù)學(xué)情，專門(mén)安排一至兩課時(shí)來(lái)組織多邊形外角和的探索活動(dòng).

3 教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施

3.1 創(chuàng)設(shè)情境

【角度史話】角度概念來(lái)自美索不達(dá)米亞的巴比倫文明.眾所周知，兩河流域誕生了人類諸多文化遺產(chǎn)，角度就是其中之一.巴比倫人擅長(zhǎng)天文學(xué)，他們制定角度的靈感，就來(lái)源于長(zhǎng)期的天文觀測(cè).巴比倫人發(fā)現(xiàn)：從春分日到秋分日，太陽(yáng)劃過(guò)半個(gè)周形成的軌跡，恰好等于180個(gè)太陽(yáng)的直徑，受此啟發(fā)，他們定義圓周角為360度，平角為180度.1度就是一個(gè)太陽(yáng)直徑形成的角的度數(shù)，角度的符號(hào)“°”，最早就是代表太陽(yáng).

設(shè)計(jì)意圖：2022年版標(biāo)準(zhǔn)提出：“抽象能力包括數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí).[2]”角度史話呈現(xiàn)出古人對(duì)角度概念的定義過(guò)程，學(xué)生可以在如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察一類事物、定義一個(gè)幾何對(duì)象要完成那些事情(背景——定義——表示——分類)、如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)[3]等方面獲得營(yíng)養(yǎng)，同時(shí)為學(xué)生研究多邊形的外角和，將各個(gè)外角集中成一個(gè)整體周角以及圓出于方做了預(yù)設(shè).

3.2 探究新知

初步感知

【問(wèn)題1】在本單元我們已探究發(fā)現(xiàn)了三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和以及多邊形的內(nèi)角和公式后，我們繼續(xù)探索多邊形的角的世界，對(duì)于多邊形，還有什么元素可以研究呢？

設(shè)計(jì)意圖：作為教學(xué)的組織者，教師應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)和諧自然的數(shù)學(xué)語(yǔ)言環(huán)境，搭建數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的研究平臺(tái)，注重開(kāi)放性提問(wèn)方式的使用.村鎮(zhèn)學(xué)校的學(xué)生家庭語(yǔ)言環(huán)境偏于簡(jiǎn)單，學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力明顯單薄，特別需要教師足夠耐心和守候，需要教師給學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的空間.筆者自起始年級(jí)就開(kāi)始注重引導(dǎo)學(xué)生、鼓勵(lì)多形式的合作交流，以激發(fā)學(xué)生回答問(wèn)題的熱情.因此在這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生思考的角度很多，發(fā)散性思維活躍、課堂討論比較充分，達(dá)到了正向反饋.茲選取有代表性的學(xué)生回答如下：

學(xué)生甲：還有外角；

學(xué)生乙：可是多邊形的外角沒(méi)有規(guī)律，內(nèi)角有大有小，外角也有大有?。?/p>

學(xué)生丙：可是多邊形的內(nèi)角和有規(guī)律啊，三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為360°，那可能多邊形的外角和也會(huì)增加；

學(xué)生?。何抑懒耍噙呅蔚耐饨呛蜑?60°，比如等邊三角形的內(nèi)角都為60°，外角都為120°，三個(gè)外角和為360°，正方形的每個(gè)內(nèi)角都為90°，四個(gè)外角和也是360°，我相信，多邊形的外角和就是360°；

學(xué)生丙：丁的例子特殊；

學(xué)生?。禾厥獾睦右彩抢樱葲](méi)有舉例好.

3.3 操作發(fā)現(xiàn)

【問(wèn)題2】那么用什么方法找反例？

學(xué)生：可以用量角器畫(huà)圖，再測(cè)量角度計(jì)算.

【學(xué)生操作】這里我們一起來(lái)使用幾何畫(huà)板測(cè)量并計(jì)算多邊形的外角和.

讓學(xué)生按照一定的操作流程選取邊數(shù)不同的多邊形，使用軟件測(cè)量并計(jì)算多邊形的外角和.讓所有學(xué)生形成強(qiáng)烈的共識(shí)：多邊形的外角和無(wú)論邊數(shù)如何變化，外角和的大小始終不變，是定值360°.

設(shè)計(jì)意圖：2022年版標(biāo)準(zhǔn)提出：“創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情[2].”幾何畫(huà)板是高效的數(shù)學(xué)研究工具，這一信息技術(shù)工具的應(yīng)用提升了課堂觀測(cè)效率，讓學(xué)生在更具普遍性的例子中歸納、發(fā)現(xiàn)多邊形的外角和定理.同時(shí)，學(xué)生在觀察、探究過(guò)程中形成良好的學(xué)習(xí)交流氛圍，獲得必要的數(shù)學(xué)體驗(yàn).

3.4 嚴(yán)謹(jǐn)證明

【問(wèn)題3】我們利用幾何畫(huà)板軟件發(fā)現(xiàn)了多邊形的外角和是360°，你還有什么想對(duì)自己說(shuō)的嗎？

學(xué)生表達(dá)各自觀點(diǎn)，有學(xué)生提出我們要證明.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在本節(jié)之前對(duì)角有一定的推理計(jì)算能力，本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的核心依然是教師搭建課堂學(xué)生共學(xué)共研的平臺(tái)，不明示、不塑造，做一位傾聽(tīng)者、與學(xué)生一起成長(zhǎng)的陪伴者，讓學(xué)生作為課堂教學(xué)活動(dòng)的主體.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理；學(xué)生在聆聽(tīng)同齡人的觀點(diǎn)時(shí)，產(chǎn)生自己的理解，激蕩出思維的火花.

筆者所任教的氣質(zhì)、稟賦不同的兩班村鎮(zhèn)學(xué)生以及借班上課的城區(qū)優(yōu)質(zhì)學(xué)校的學(xué)生在這一環(huán)節(jié)亮點(diǎn)頻現(xiàn)，下文是這三個(gè)班級(jí)相當(dāng)精彩的證明思路(實(shí)際課堂學(xué)生表達(dá)的內(nèi)容完整度和先后順序并不相同，他們的典型轉(zhuǎn)化有借助平行線的性質(zhì)和周角定義推理或利用相鄰內(nèi)外角互補(bǔ)來(lái)計(jì)算三角形的外角和，再類推到多邊形的外角和，或者直接研究多邊形，從構(gòu)型或從代數(shù)計(jì)算切入證明多邊形的外角和為360°).

如圖2，利用相鄰的內(nèi)外角互為補(bǔ)角列關(guān)系式，由∠1+∠BAC=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠ACB=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，得∠1+∠2+∠3=3×180°-180°=360°.

圖2

或利用三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角列關(guān)系式，由∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ACB，∠3=∠BAC+∠ABC，得∠1+∠2+∠3=2×180°=360°.

如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，則∠3=∠4，∠2=∠5，所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠4+∠5，即三角形的外角和為一個(gè)周角360°.

圖3

實(shí)際上，只要通過(guò)平移將三角形分散的三個(gè)外角頂點(diǎn)集中，就能證明三角形的外角和為一個(gè)周角.集中的頂點(diǎn)位置不限，可以在三角形內(nèi)(如圖4)，也可以在三角形外(如圖5).

圖4

圖5

過(guò)程和方法推廣到n邊形.

圖6

方法一：如圖，將多邊形的各個(gè)外角通過(guò)平移集中到一個(gè)點(diǎn)周圍，易得多邊形的外角和為360°.

方法二：N邊形的外角和=n對(duì)相鄰的內(nèi)外角和-n邊形的內(nèi)角和=n·180°-(n-2)·180°=360°.

3.5 課堂延伸：圓出于方

通過(guò)幾何畫(huà)板的迭代功能制作正多邊形.演示邊數(shù)增加下的動(dòng)態(tài)變化(如圖7)，中國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》早已揭示圓出于方.

圖7

設(shè)計(jì)意圖：此素材為本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的延伸，根據(jù)學(xué)情靈活選用.借助幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生充分感知正多邊形隨著邊數(shù)的增加無(wú)限趨近于圓，自然發(fā)現(xiàn)方與圓的聯(lián)系.根據(jù)平角定義和三角形的內(nèi)角和可得正多邊形的一個(gè)外角大小恰為一個(gè)圓心角的度數(shù)，從而再次解釋正多邊形的外角和為360°.希爾伯特曾說(shuō)，數(shù)學(xué)之道在于找出一個(gè)這樣的特例，它包含普遍原則的全部萌芽.多邊形外角和定理的特例是正多邊形，正多邊形與圓的關(guān)系滲透類比與極限思想，曲化直的微分內(nèi)涵.

3.6 總結(jié)提升

教師問(wèn)：回顧整節(jié)課，你的收獲是什么？

設(shè)計(jì)意圖：最后回顧反思環(huán)節(jié)往往也是學(xué)生沉淀升華的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生在課堂上充分參與，精神愉悅.通過(guò)回顧環(huán)節(jié)用自己的語(yǔ)言組織表達(dá)自己的所思所想，強(qiáng)化教學(xué)內(nèi)容的核心落點(diǎn).在課后，有學(xué)生圍著筆者要繼續(xù)操作使用幾何畫(huà)板軟件進(jìn)行觀察、驗(yàn)證，有學(xué)生則繼續(xù)討論相關(guān)證法.

4 結(jié) 語(yǔ)

縱觀整個(gè)探究多邊形外角和的教學(xué)實(shí)施過(guò)程，筆者借鑒“由內(nèi)而外”的大腦意識(shí)機(jī)制的理論，并沒(méi)有把教學(xué)環(huán)節(jié)的重心放在教授知識(shí)上，而是以組織者、引導(dǎo)者、合作者的身份力求為學(xué)生營(yíng)造有助于激發(fā)學(xué)生思維活躍度、參與度的課堂氛圍，讓他們做課堂活動(dòng)的主人，觀察、思考、表達(dá)，使他們內(nèi)在的思維活動(dòng)與教學(xué)內(nèi)容互相匹配，在交流互動(dòng)中實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).當(dāng)下，在實(shí)際教學(xué)中，教師或多或少存在教學(xué)焦慮，習(xí)慣于將眼光聚焦在解題技巧、解題策略上，忽視學(xué)生內(nèi)生性數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的挖掘、培養(yǎng).如何在教學(xué)效率、效果、效益三方面追求優(yōu)化與平衡，我們還是應(yīng)該積極轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，將教師的角色從塑造者轉(zhuǎn)變?yōu)楹献髡?，讓更多的學(xué)生產(chǎn)生良好的心流體驗(yàn)，激發(fā)潛能.