居加穎，姜 寧

(1. 南京市寧海中學(xué)，江蘇南京，210003 2. 南京市金陵中學(xué)河西分校，江蘇南京，210003)

全球教育發(fā)展和課程改革趨向于信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)的深度交融，GeoGebra軟件作為一種全新的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它擴(kuò)展了幾何教學(xué)的內(nèi)涵，豐富了幾何教學(xué)的價值.GeoGebra軟件的應(yīng)用充分發(fā)揮了計算機(jī)的動態(tài)變化特征，幫助學(xué)生在“變化”中發(fā)現(xiàn)“不變的”的幾何本質(zhì)，并提高他們的思維品質(zhì).

基于此，本文設(shè)計了“祖暅原理”的GeoGebra軟件應(yīng)用案例，探索GeoGebra軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)上的優(yōu)勢.

1 教學(xué)設(shè)計

在立體幾何章節(jié)問題中，很多內(nèi)容與學(xué)生已有的空間想象能力有關(guān)，有的甚至要有一定的運(yùn)動變化，這無疑給學(xué)生畫圖并解決立體幾何問題增加了很大的難度.GeoGebra軟件的應(yīng)用為解決這一難題提供了強(qiáng)大的工具.基于這樣的思考，本節(jié)課設(shè)計如下：

1.1 階段Ⅰ：學(xué)前咨詢

學(xué)生在學(xué)習(xí)祖暅原理之前，筆者通過調(diào)查問卷及當(dāng)面交流的方式，了解學(xué)生對有關(guān)立體幾何圖形結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)等認(rèn)知水平，為進(jìn)行下一階段的教學(xué)做好準(zhǔn)備.為此，筆者設(shè)計了一個立體幾何學(xué)習(xí)狀況的調(diào)查問卷(見下表)：

題號題 目1你的性別是?A. 男 B. 女2你覺得立體幾何有趣嗎?A. 十分有趣 B. 有一點(diǎn)趣味 C. 沒多大意思3你覺得平面幾何難嗎?A. 非常容易 B. 容易 C. 適中 D. 困難4你覺得立體幾何難嗎?A. 非常容易 B. 容易 C. 適中 D. 困難5你覺得立體幾何難在哪些方面?A. 空間想象力欠缺B. 定理多,無從下手C. 初中平面幾何基礎(chǔ)不好,所以對幾何題目害怕D. 其它方面6你認(rèn)為學(xué)習(xí)立體幾何的關(guān)鍵能力是什么?A. 空間想象能力 B. 觀察作圖能力C. 邏輯推理能力 D. 計算能力7你覺得哪種學(xué)習(xí)方式學(xué)習(xí)立體幾何效果最好?A. 聽老師講授與和自身練習(xí)結(jié)合B. 用立體幾何模具做演示C. 用動態(tài)作圖軟件做演示D. 師生學(xué)習(xí)互動,讓學(xué)生交流參與8在學(xué)習(xí)過程中,你會自主梳理立體幾何相關(guān)章節(jié)(如《點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系》)的知識要點(diǎn)嗎?A. 會,并且做得很好 B. 會,但做得不夠好C. 不會,沒有建構(gòu)清晰的知識網(wǎng)絡(luò)D. 不會,沒有必要9你認(rèn)為你的空間想象能力如何?A. 可以在腦海中構(gòu)建一個復(fù)雜的立體模型B. 建立模型時,有時清楚有時迷糊C. 簡單三維幾何體很輕松D. 聯(lián)想空間立體模型很艱難10你知道下面哪些制作立體圖形的軟件?A. 幾何畫板 B. GeoGebra C. Flash D. PPT

【設(shè)計意圖】充分了解學(xué)生在學(xué)完立體幾何章節(jié)內(nèi)容后的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，以便教師根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計問題.便于下面運(yùn)用GeoGebra軟件解決問題，體現(xiàn)該軟件的優(yōu)勢.

1.2 階段Ⅱ：引導(dǎo)定向——祖暅原理的猜想

在這個階段，學(xué)生可以在視覺認(rèn)知的基礎(chǔ)上認(rèn)識幾何體的數(shù)學(xué)性質(zhì).通過GeoGebra軟件，可以建立符合祖暅原理條件與一般圖形之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生探求新知識的欲望，為此設(shè)計以下問題：

1.2.1 問題情境

(1) 洗撲克牌實驗：任意洗牌，并將這副撲克牌放置于桌面上，它的體積會變化嗎？

(2) 課桌上放置一疊無規(guī)則形狀的作業(yè)本，怎樣求它的體積呢？

1.2.2 介紹數(shù)學(xué)家祖暅

問題1：祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”觀點(diǎn)，其含義是什么？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從數(shù)學(xué)史中感受數(shù)學(xué)文化的美與豐富的內(nèi)涵，對本節(jié)課的主題有初步的感性認(rèn)識，提升學(xué)習(xí)的興趣和內(nèi)驅(qū)力.

問題2：如圖1，兩個不規(guī)則幾何體被任意平行于地面的平面所截，你能得出什么結(jié)論？

圖1 祖暅原理的猜想

【設(shè)計意圖】圖1為GeoGebra軟件設(shè)計的不規(guī)則幾何體在任意平行于底面的截面，學(xué)生能夠通過具體數(shù)據(jù)觀察兩個截面面積之間的關(guān)系，為猜想并驗證祖暅原理提供數(shù)據(jù)和圖形支持.此時學(xué)生的幾何思維水平能夠達(dá)到識別圖形并確定其性質(zhì)，即能夠根據(jù)幾何體的性質(zhì)去猜想原理內(nèi)容.

1.3 階段Ⅲ：闡明——祖暅原理的形成

問題3：通過圖1的觀察和猜想，你能否闡明祖暅原理的內(nèi)容和使用條件呢？

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過對GeoGebra軟件的動態(tài)圖形中變與不變量的觀察與概括總結(jié)，進(jìn)一步深化對原理的理解，將圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.學(xué)生幾何思維水平從分析圖形上升到進(jìn)行非形式化的演繹，即可以進(jìn)行非形式化演繹水平.

1.4 階段Ⅳ：自由定向——祖暅原理的推廣

問題4：如圖2所示，取底面半徑和高度相同的圓柱，以圓柱體上底面為底面，下底面為頂點(diǎn)挖一個圓錐體.在同一水平面上切割這兩個幾何體，你能得出什么結(jié)論？球體體積能由此導(dǎo)出嗎？

圖2 球體體積的推導(dǎo)

【設(shè)計意圖】推導(dǎo)未知幾何體體積，這就是祖暅原理的主要應(yīng)用價值.在截面移動過程中對截面面積的觀察，以祖暅原理為背景進(jìn)行探索，完成立體幾何中主要幾何體(柱、錐、臺、球體以及組合體)體積公式的歸納，實現(xiàn)從已知到未知的探索過程.

問題5：你還能設(shè)計出哪些幾何體來推廣祖暅原理并推導(dǎo)幾何體體積嗎？

【設(shè)計意圖】進(jìn)一步加深對祖暅原理的理解與應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生思考：可以將圓柱變成棱柱，圓錐變成棱錐，也可以將棱柱平放，設(shè)計相應(yīng)的棱錐.再通過類比聯(lián)想，給出用棱柱棱錐推導(dǎo)球的體積的方法(見下圖3).此階段借助于GeoGebra軟件動態(tài)演示使學(xué)生的思維水平達(dá)到形式演繹的層面.

圖3 球體體積的推導(dǎo)2

推導(dǎo)球體體積過程如下：

【設(shè)計意圖】運(yùn)用GeoGebra軟件設(shè)計過程流暢自然，圖形簡潔美觀，便于學(xué)生更好地在大腦中建構(gòu)空間模型，發(fā)現(xiàn)更多的優(yōu)美結(jié)論，真正感受數(shù)學(xué)之美，突出該軟件可視化、易操作等特點(diǎn).

2 應(yīng)用案例

可以借助實物、幾何模型和可視化Geogebra軟件，對事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析，對空間圖形的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系與變換進(jìn)行空間想象，從而大膽猜想、深入探索.運(yùn)用Geogebra軟件探究祖暅原理的過程就很好地體現(xiàn)了如何創(chuàng)設(shè)幾何情境，提出合理猜想并驗證的思維過程.

祖暅原理對學(xué)生學(xué)習(xí)有什么作用呢？其最終目標(biāo)是將原理轉(zhuǎn)化為解決幾何問題的能力及一般方法，并形成自身的邏輯體系.

【設(shè)計意圖】學(xué)生的幾何思維能力通過前幾個教學(xué)階段已經(jīng)達(dá)到一定的水平.在此基礎(chǔ)上，加強(qiáng)祖暅原理的實際運(yùn)用解決問題，不僅能夠?qū)?shù)學(xué)文化慢慢滲透到課堂教學(xué)中，而且能進(jìn)行更深層次演繹、計算、證明等復(fù)雜的內(nèi)化過程，實現(xiàn)祖暅原理整個知識體系的完善，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 總結(jié)與反思

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，立體幾何一直是幾何教學(xué)過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容之一.從初中平面思維到高中的三維空間的擴(kuò)展和提升對學(xué)生來說是一次重要的跨越，但學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往缺乏空間想象能力，且空間知覺與圖形認(rèn)識能力發(fā)展不足，故需要教師為學(xué)生建立適當(dāng)?shù)摹爸Ъ堋?

本節(jié)課以幾何教學(xué)中著名的范希爾理論作為基石，通過目前最流行的GeoGebra軟件，動態(tài)演示了“祖暅原理及其應(yīng)用”這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的背景、形成過程和方法.通過對祖暅原理的數(shù)學(xué)文化探秘，讓學(xué)生感受了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)現(xiàn)之美，讓學(xué)生親歷了GeoGebra軟件展示祖暅原理的動態(tài)生成與應(yīng)用過程，更讓學(xué)生親身體驗了自身幾何思維水平的提升過程.通過模具演示，結(jié)合GeoGebra軟件的動態(tài)演示，一步一步地通過問題逐層遞進(jìn)啟發(fā)，從“實驗—猜想—觀察—分析—總結(jié)—應(yīng)用”，引導(dǎo)學(xué)生突破難點(diǎn)，解決問題.其中運(yùn)用了圓柱挖掉圓錐，棱柱挖掉棱錐等解題技巧，體現(xiàn)了“化難為易”“空間問題平面化”的轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展了學(xué)生的思維.

在幾何教學(xué)中，最重要的不是幾何知識的獲取量，而是學(xué)生幾何思維水平的高低.在范希爾理論基礎(chǔ)上對教師幾何教學(xué)過程的設(shè)計，為學(xué)生幾何思維水平的提升提供了強(qiáng)有力的推動，不僅能快速提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更能有效培養(yǎng)學(xué)生類比、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、極限等數(shù)學(xué)思想的形成，為后續(xù)進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)深造打下了堅實的基礎(chǔ).