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        以不變應(yīng)萬變

        2008-06-14 01:59:12侯國(guó)興
        關(guān)鍵詞:邊數(shù)五邊形邊形

        侯國(guó)興

        我們知道,任意多邊形的外角和等于360°.在求解涉及多邊形的角的問題時(shí),若能把多邊形的“內(nèi)角”問題轉(zhuǎn)化為“外角”問題來處理,則往往可以收到化繁為簡(jiǎn)、化難為易之效果.

        一、求多邊形的邊數(shù)

        例1已知n邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于162°,求該多邊形的邊數(shù).

        解:因?yàn)閚邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于162°,所以該n邊形的每一個(gè)外角都等于180°-162°=18°.

        因?yàn)槿我舛噙呅蔚耐饨呛投嫉扔?60°,所以該多邊形的邊數(shù)n==20.

        二、求多邊形的周長(zhǎng)

        例2小敏在課外活動(dòng)期間制作了一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)器人.小敏遙控它每前行2 m就向右轉(zhuǎn)30°,該機(jī)器人需要走多少路程才能回到原地?

        解:根據(jù)題意可知,該機(jī)器人所走過的路徑是一個(gè)外角為30°的正n邊形.

        由多邊形的外角和性質(zhì)得30°·n=360°,解得n=12.

        所以該機(jī)器人回到原地需要走的總路程為:2×12=24(m).

        三、求多邊形的內(nèi)角度數(shù)

        例3各內(nèi)角都相等的十五邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)等于.

        解:因?yàn)樵撌暹呅胃鲀?nèi)角都相等,所以它的各外角也相等.

        又因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛偷扔?60°,所以,該十五邊形的每個(gè)外角為:=24°.

        所以,該十五邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為:180°-24°=156°.

        四、求多邊形的內(nèi)角和

        例4已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°,則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為.

        解:因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛偷扔?60°,所以,該多邊形的邊數(shù)為:=10.

        所以該多邊形的內(nèi)角和為:(10-2)×180°=1 440°.

        五、判斷多邊形中銳角的個(gè)數(shù)

        例5在一個(gè)多邊形中,它的內(nèi)角最多可以有幾個(gè)是銳角?

        解:因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60°,所以多邊形的外角中最多有3個(gè)鈍角.

        所以多邊形的內(nèi)角中最多有3個(gè)銳角.

        六、判斷多邊形中小于某一指定角的個(gè)數(shù)

        例6在凸多邊形中,小于108°的內(nèi)角最多有( ).

        A.3個(gè)B.4個(gè) C.5個(gè)D.6個(gè)

        解:因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60°,所以多邊形中大于72°的外角不能多于4個(gè).

        所以多邊形中小于108°的內(nèi)角最多有4個(gè).故選B.

        七、求最值

        例7在一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中有且只有3個(gè)鈍角,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)的最大值是,最小值是.

        解:因?yàn)橥苟噙呅蔚膬?nèi)角中有且只有3個(gè)鈍角,所以多邊形的外角中有且只有3個(gè)銳角.

        又由例5知多邊形的外角中最多有3個(gè)鈍角,所以該多邊形最多有6個(gè)外角.

        由于凸多形邊的內(nèi)角中“有且只有3個(gè)鈍角”,所以這個(gè)多邊形不能是三角形,只有四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角中才能有3個(gè)鈍角.

        因此,滿足條件的最大值是6,最小值是4.

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